Bestimmung des Minimalpolynoms < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:24 Do 04.02.2016 | | Autor: | Herbart |
Hallo,
ich suche nach einem alternativen Vorgehen zur Bestimmung des Minimalpolynoms von $ c=a+b $ mit $ a, b, [mm] c\notin\IQ [/mm] $ über [mm] \IQ. [/mm] Aus der Algebra kennt man für die meisten Fälle folgendes Standardverfahren:
0. [mm] $\IQ (c)\subseteq\IQ [/mm] (a, b) $, wobei $ c=a+b $.
1. Bestimme [mm] $[\IQ [/mm] (a, [mm] b):\IQ]=n$ [/mm] und die entsprechende Basis durch Betrachtung von [mm] $\IQ [/mm] (a)$ und [mm] $\IQ [/mm] (b) $.
2. Berechne die ersten $ n$ Potenzen von $ c $ und schreibe sie als Linearkombination der Basis.
3. Bestimme die Koeffizienten $ [mm] a_i [/mm] $ des Minimalpolynoms, indem man den Kern der Matrix [mm] $\sum_{i=0}^n a_ic^i [/mm] $ mit $ [mm] a_n=1$ [/mm] bestimmt.
4. Minimalpolynom aufstellen.
5. Schlussfolgerung: Es gilt Gleichheit im Falle 0. (vgl. Grad des Minimalpolynoms)
Natürlich kann man das Verfahren nicht immer einetzen. Ein Beispiel in dem der Einsatz sinnvoll erscheint wäre $ [mm] a=\sqrt [/mm] {2}, [mm] b=\sqrt [/mm] {3} $.
Ich suche nach einem Verfahren, das jedoch weniger rechenintensiv ist. Für hinreichend komplizierte a und b rechnet man sich sonst tot. 
Kennt jemand ein entsprechendes Verfahren?
LG
Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Di 09.02.2016 | | Autor: | Herbart |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Vielleicht ist meine Frage zu allgemein gefasst. Hier ein Beispiel, in dem obiges Verfahren nicht anwendbar ist.
Wie bestimme ich etwa das Minimalpolynom von $2i(\sin\left(\frac{2\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{4\pi}{7}\right)+\sin\left(\frac{6\pi}{7}\right))$ über $\IQ$?
Man könnte den Term vereinfachen, indem man trigonometrische Sätze ausnutzt.
Es ist $2i(\sin\left(y\right)+\sin\left(2y\right)+\sin\left(3y\right))=2i\left( \sin (y)+2 \sin (y)\cdot\sqrt{1-\sin^2 (y)}+3 \sin (y)+4\sin^3 (y)$ mit $y=\frac {2\pi}{7} $.
Das führt aber zu einem Term, der zwar von gleichem Winkel $x:= \frac{2\pi}{7}$ abhängt, aber dafür ein $\cos(x)=\sqrt{1-\sin^2(x)}$ enthält.
LG
Herbart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 14:45 Sa 13.02.2016 | | Autor: | Herbart |
Da obige Frage keinen Erfolg brachte, hier eine Frage zu dem in obiger Bemerkung geschilderten Fall.
Nehmen wir $ [mm] 2i(\sin\left(y\right)+\sin\left(2y\right)+\sin\left(3y\right))=2i\left( \sin (y)+2 \sin (y)\cdot\sqrt{1-\sin^2 (y)}+3 \sin (y)+4\sin^3 (y)\right) [/mm] $ wie oben mit [mm] $y=\frac{2\pi}{7}$.
[/mm]
Wie sieht das Minimalpolynom über [mm] $\IQ$ [/mm] aus?
Weiterhin bin ich an der Beantwortung der ursprünglichen Frage interessiert.
MfG
Herbart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:59 Sa 13.02.2016 | | Autor: | hippias |
Ich würde wie folgt vorgehen: Der Körper $L= [mm] \IQ[e^{\frac{2\pi i}{7}}]$ [/mm] enthält die Zahl, dessen Minimalpolynom Du suchst. Nun ist Dir vielleicht bekannt, dass $6$ der Grad von $L$ über [mm] $\IQ$ [/mm] ist. Somit kommen als Grade für das Minimalpolynom nur Teiler von $6$ in Frage.
Als erstes würde ich nun Potenzen bilden, um irgendein Polynom zu finden, das diese Zahl als Wurzel hat.
Ich bezweifle, dass ein leichtes allgemeines Verfahren zur Bestimmung von Minimalpolynomen bekannt ist. Aber es gibt natürlich Software, die das leistet. Mir ist über die verwendeten Algorithmen nichts bekannt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 21.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 11.02.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:37 Sa 13.02.2016 | | Autor: | Herbart |
Ich bin weiter an der Frage interessiert!
LG
Herbart
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