Bestimmung des Minimalpolynoms < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Mark.M |
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Hallo,
in der Vorlesung Lineare Algebra I wurde das Minimalpolynom (bzw. dessen Definition) vorgestellt, allerdings kein Verfahren um es zu bestimmen.
Die Minpols die wir bestimmen sollen, sind auch nicht so schwer (naja, ansichtssache *g*) dass sie den dafür existierenden Algorithmus brauchen, das kommt wohl erst in Lineare Algebra II oder woanders, was ich nicht hören werde.
Trotzdem hätte ich gerne gewusst, wie man am einfachsten das Minpol bestimmen kann, denn schließlich kommt das in der Klausur vor.
Ich weiß dass man vom Charpol zum Minpol kommen kann, aber das ist mir zu viel Raterei. (Gibt es da eine sichere Vorgehensweise?)
Mir wurde folgender, anderer Weg gezeigt:
"Man potenziert die Matrix (die man als Vektor auffasst) so lange, bis sie linear abhängig wird und schreibt das dann als Linearkombination auf".
Wenn man also die Matrix und die potenzierten Matrizen als Vektoren nebeneinander schreibt, z.B. [mm]A, A^{2}, A^{3}, ...[/mm] dann muss z.B. [mm]v*A^{x} + w*A^{y} = 0[/mm] sein um lineare Abhängigkeit zu erfüllen.
Das ist aber auch nicht gerade der beste Weg, denn man muss unbekannt oft die Matrix potenzieren und dann noch herausfinden wie man diese Matrizen alle zu Null kombinieren kann - im Kopf, so schnell wie möglich und natürlich fehlerfrei.
Bei [mm]
\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 5 \\
-2 & -1 & 8 \\
-1 & 0 & 4
\end{pmatrix}[/mm] käme ich mit dieser Methode nie auf [mm]1-2x-2x^{2}+x^{3}[/mm]
Wie kann man bei relativ einfachen Matrizen nun am besten zum Minimalpolynom kommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 20.02.2006 | | Autor: | sara_20 |
Hallo,
also, ich weiss nicht was so schwer ist. Ich brauchte nur 3 Schritte um das Minimalpolynom der gegebenen Matrix zu finden.
Bekomme [mm] $det(A-\alpha [/mm] E) = [mm] (1+\alpha)(\alpha^{2}-3\alpha [/mm] +1)$
Das MinimalPolinom lautet dann auch [mm] $(1+x)(x^{2}-3x+1)$.
[/mm]
Ich weiss keinen schnelleren Weg fuer die gegebene Matrix.
Ich hoffe ich konnte dir so weiterhelfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 20.02.2006 | | Autor: | Mark.M |
ok, in dem Beispiel ist es jetzt dummerweise identisch mit dem charakteristischen Polynom.
Mir gehts nicht um dieses konkrete Beispiel (ich hab nach der erstbesten Matrix gegriffen die vor mir lag und in Maple eingegeben), sondern um einen möglichst schnellen+sicheren Lösungsweg.
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Also, du hast doch lapidar ausgedrückt folgende Aussagen:
1) Wenn man die Matrix A in das charakteristische Polynom "einsetzt", kommt 0 raus!
2) Das Minimalpolynom teilt das charakteristische Polynom.
3) Das Minimalpolynom ist das Polynom kleinsten Grades, bei dem 0 raus kommt, wenn man A dort "einsetzt"
Damit kriegt man (ohne großes Raten) einfach durch Ausprobieren heraus, was das Minimalpolynom ist, oder?
D.h.:
a) charakteristisches Polynom ausrechnen (ist vom Grad n bei A aus Mat(n;K))
b) Die Teiler des charakteristischen Polynoms bestimmen.
c) In die Teiler die Matrix A "einsetzen"
d) kommt irgendwo 0 raus?
i) NEIN => Das char. Polynom isses.
ii) JA => das ist ein Kandidat, wenn nicht ein Teiler kleineren Grades existiert, wo auch 0 rauskommt.
Grüße,
Raphael.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:24 Do 23.02.2006 | | Autor: | felixf |
> Also, du hast doch lapidar ausgedrückt folgende Aussagen:
>
> 1) Wenn man die Matrix A in das charakteristische Polynom
> "einsetzt", kommt 0 raus!
> 2) Das Minimalpolynom teilt das charakteristische
> Polynom.
> 3) Das Minimalpolynom ist das Polynom kleinsten Grades,
> bei dem 0 raus kommt, wenn man A dort "einsetzt"
Und noch viel wichtiger ist folgende Aussage:
4) Das charakteristische Polynom teilt das Minimalpolynom hoch $n$ (wenn es um $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen geht).
Daraus folgt: Wenn du charakteristisches Polynom und Minimalpolynom in irreduzible Faktoren zerlegst (z.B. Linearfaktoren), dann kommt jeder Faktor aus dem char. Polynom auch im Minimalpolynom vor und umgekehrt; nur die Vielfachheiten sind kleiner.
(Insbesondere: Wenn das char. Polynom in paarweise verschiedene Faktoren zerfaellt, so ist das Minimalpolynom gleich dem char. Polynom.)
> Damit kriegt man (ohne großes Raten) einfach durch
> Ausprobieren heraus, was das Minimalpolynom ist, oder?
>
> D.h.:
> a) charakteristisches Polynom ausrechnen (ist vom Grad n
> bei A aus Mat(n;K))
> b) Die Teiler des charakteristischen Polynoms bestimmen.
> c) In die Teiler die Matrix A "einsetzen"
> d) kommt irgendwo 0 raus?
Nein (wegen 4).
> i) NEIN => Das char. Polynom isses.
...was damit falsch ist.
Wie man also effektiv das Minimalpolynom bestimmen kann: man faengt mit dem char. Polynom an (zerlegt in unzerlegbare Faktoren) und faengt an, welche davon wegzulassen (aber nur welche mit Vielfachheit > 1); wenn die Matrix eingesetzt nicht mehr 0 ergibt dann muss dieser Faktor bleiben, ansonsten nicht. Dies macht man dann so lange bis egal, was man weglaesst, es nicht mehr 0 ist: dann ist der verbleibende Rest das Minimalpolynom.
Und da man meistens eh nur Matrizen recht kleinem Formates hat (sagen wir mal $n [mm] \le [/mm] 5$) und es bei $n > 2$ oft mehr als einen irreduziblen Faktor gibt (etwa weil zwei oder mehr verschiedene Eigenwerte), gibt es oft nur ganz wenige Moeglichkeiten fuer das Minimalpolynom.
(Wenn man aus irgendeinem Grund ne Jordan-Normalform der Matrix hat geht das natuerlich noch viel schneller, aber das hattet ihr in Linearer Algebra I sicher noch nicht  )
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:28 Do 23.02.2006 | | Autor: | felixf |
> > b) Die Teiler des charakteristischen Polynoms bestimmen.
Oder hab ich dich hier falsch verstanden, das du nicht eine Faktorisierung meinst sondern wirklich eine Liste aller Teiler? Dann ist der Rest natuerlich richtig, auch wenn das ein wenig umstaendlich ist da in einigen Teilern irgend ein irreduzibler Faktor fehlt...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Do 23.02.2006 | | Autor: | uncledoc |
Genau, ich hab mich einfach mal wieder etwas missverständlich ausgedrückt, so wie du es erklärt hast, wird es deutlicher.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:16 Di 21.02.2006 | | Autor: | cycilia |
eigentlich ist das Verfahren, welches du genannt hast, auch das einzige mir bekannte Verfahren, um ein Minimalpolynom zu bestimmen. In deinem Fall dürfte es allerdings meist schneller gehen, über das charakteristische Polynom zu gehen. So viel "raten" ist das doch nun auch nicht.
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