Bestimmung des Quadriktyps < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:00 Di 15.03.2016 | | Autor: | capron02 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Quadriktyp für [mm] $\vec{x}^T [/mm] A [mm] \vec [/mm] x=0$
$$
[mm] A=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
$$ |
Lösungsidee:
Aus dem Skript ist folgende Liste mit Quadriktypen gegeben:
________________________________________________________________________________________
| 1) Ellipsoidoberfläche: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] + [mm] \gamma z^2=1,\,\alpha,\beta,\gamma>0$
[/mm]
| 2) Hyperboloidoberfläche, einschalig: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] = [mm] \gamma z^2+1,\,\alpha,\beta,\gamma>0$
[/mm]
| Hyperboloidoberfläche, zweischalig: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2 [/mm] +1= [mm] \gamma z^2,\,\alpha,\beta,\gamma>0$
[/mm]
| 3) Paraboloidoberfläche: [mm] $z=\alpha x^2+\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0$
[/mm]
| 4) hyperbolisches Paraboloid (Fläche): [mm] $z=\alpha x^2-\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0$
[/mm]
| 5) Zylinderoberfläche - elliptischer Zylinder: [mm] $\alpha x^2+\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0$
[/mm]
| 6) hyperbolischer Zylinder: [mm] $\alpha x^2-\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0$
[/mm]
| 7) Doppelebene: [mm] $\alpha x^2=\beta y^2,\,\alpha,\beta,>0$
[/mm]
________________________________________________________________________________________
Leider stehen zur Liste keine weiteren Erklärungen bezüglich der Bedeutung von [mm] $\alpha,\beta,\gamma$.
[/mm]
Soweit ich das korrekt verstanden habe, kommt es bei der Typbestimmung nur auf die Vorzeichen
der Eigenwerte an, also wie viele davon positiv, negativ, Null sind. Mir ist allerdings nicht
klar, inwiefern ich die Liste dann nutzen kann.
Ausmultipliziert sollte ich ja folgendes ergeben:
[mm] $-x^2-y^2-2z^2+4xz+2yz=0$
[/mm]
Im Skript ist folgendes Beispiel gegeben:
[mm] $$A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 2\\
3 & 2 & 30 \\
\end{pmatrix}$$
[/mm]
ist positiv definit, weil
$$det(1)=1>0,
[mm] det\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 5 \\
\end{pmatrix}=1>0,
[/mm]
[mm] det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 2\\
3 & 2 & 30 \\
\end{pmatrix}=5>0$$
[/mm]
Folgerung: Die Quadrik [mm] $x^2 [/mm] + [mm] 5y^2 [/mm] + [mm] 30z^2 [/mm] + 4xy + 6xz + 4yz = 1$
stellt eine Ellipsoidoberfläche dar.
Scheinbar wurde hier das Jacobi-Kriterium für positive Definitheit benutzt,
womit man prüfen kann, ob alle Eigenwerte positiv sind, aber ich verstehe
nicht, wie sich das auf die obige Liste beziehen lässt, vor allem auf [mm] $\alpha,\beta,\gamma$.
[/mm]
Auf die obige Aufgabe bezogen sollte sich für die Unterdeterminanten folgendes ergeben:
$$det(-1)=-1<0,
[mm] det\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}=1>0,
[/mm]
[mm] det\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}=3>0$$
[/mm]
Jetzt weiß ich nur, dass die Matrix nicht positiv definit ist.
Indefinitheit oder negative Definitheit könnte man noch überprüfen...
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie den Quadriktyp für [mm]\vec{x}^T A \vec{x}=0[/mm]
>
> [mm][/mm]
>
> [mm]A=\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}[/mm]
> [mm][/mm]
>
> Lösungsidee:
>
> Aus dem Skript ist folgende Liste mit Quadriktypen
> gegeben:
>
> ________________________________________________________________________________________
> | 1) Ellipsoidoberfläche: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 + \gamma z^2=1,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>
> | 2) Hyperboloidoberfläche, einschalig: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 = \gamma z^2+1,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>
> | Hyperboloidoberfläche, zweischalig: [mm]\alpha x^2+\beta y^2 +1= \gamma z^2,\,\alpha,\beta,\gamma>0[/mm]
>
> | 3) Paraboloidoberfläche: [mm]z=\alpha x^2+\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>
> | 4) hyperbolisches Paraboloid (Fläche): [mm]z=\alpha x^2-\beta y^2 +c,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>
> | 5) Zylinderoberfläche - elliptischer Zylinder: [mm]\alpha x^2+\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>
> | 6) hyperbolischer Zylinder: [mm]\alpha x^2-\beta y^2=1,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>
> | 7) Doppelebene: [mm]\alpha x^2=\beta y^2,\,\alpha,\beta,>0[/mm]
>
> ________________________________________________________________________________________
>
> Leider stehen zur Liste keine weiteren Erklärungen
> bezüglich der Bedeutung von [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm].
>
> Soweit ich das korrekt verstanden habe, kommt es bei der
> Typbestimmung nur auf die Vorzeichen
> der Eigenwerte an, also wie viele davon positiv, negativ,
> Null sind. Mir ist allerdings nicht
> klar, inwiefern ich die Liste dann nutzen kann.
>
> Ausmultipliziert sollte ich ja folgendes ergeben:
> [mm]-x^2-y^2-2z^2+4xz+2yz=0[/mm]
>
> Im Skript ist folgendes Beispiel gegeben:
>
>
> [mm][/mm][mm] A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 2\\
3 & 2 & 30 \\
\end{pmatrix}[/mm][mm][/mm]
>
> ist positiv definit, weil
>
> [mm][/mm]det(1)=1>0,
>
> [mm]det\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
2 & 5 \\
\end{pmatrix}=1>0,[/mm]
>
> [mm]det\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3\\
2 & 5 & 2\\
3 & 2 & 30 \\
\end{pmatrix}=5>0[/mm][mm][/mm]
>
> Folgerung: Die Quadrik [mm]x^2 + 5y^2 + 30z^2 + 4xy + 6xz + 4yz = 1[/mm]
>
> stellt eine Ellipsoidoberfläche dar.
>
>
> Scheinbar wurde hier das Jacobi-Kriterium für positive
> Definitheit benutzt,
> womit man prüfen kann, ob alle Eigenwerte positiv sind,
> aber ich verstehe
> nicht, wie sich das auf die obige Liste beziehen lässt,
> vor allem auf [mm]\alpha,\beta,\gamma[/mm].
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Man weiß dann, daß sich das durch [mm] \vec{x}^T [/mm] A [mm] \vec{x}=0 [/mm] beschriebene Gebilde so in ein Koordinatensystem legen kann, daß man es durch
[mm] \vec{x}^T \pmat{\alpha&0&0\\0&\beta&0\\0&0&\gamma} \vec{x}=1
[/mm]
<==> [mm] \alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=1
[/mm]
beschreiben kann,
wobei [mm] \alpha,\beta,\gamma [/mm] alle positiv sind,
und Deine Tabelle sagt Dir nun: Ellipsoid.
>
> Auf die obige Aufgabe bezogen sollte sich für die
> Unterdeterminanten folgendes ergeben:
>
> [mm][/mm]det(-1)=-1<0,
>
> [mm]det\begin{pmatrix}
-1 & 0\\
0 & -1\\
\end{pmatrix}=1>0,[/mm]
>
> [mm]det\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 2\\
0 & -1 & 1\\
2 & 1 & -2 \\
\end{pmatrix}=3>0[/mm][mm][/mm]
>
>
> Jetzt weiß ich nur, dass die Matrix nicht positiv definit
> ist.
Ein bißchen mehr weißt Du:
1. Sie ist nicht negativ definit, denn sonst müßten die Determinanten ihr Vorzeichen abwechselnd wechseln, beginnend mit einer negativen [mm] 1\times [/mm] 1-Deteminante.
2. Kein Eigenwert ist =0, denn sonst wäre Det A =0.
Die Matrix A hat also sowohl positive als auch negative Eigenwerte, keiner ist Null.
Also kann man dasGebilde so legen, daß man es durch
[mm] \vec{x}^T \pmat{\alpha&0&0\\0&\beta&0\\0&0&\gamma} \vec [/mm] x=0
<==>
[mm] \alpha x^2+\beta y^2+\gamma z^2=0
[/mm]
beschreiben.
Dabei sind zwei der Buchstaben positive Zahlen, einer negativ
und wenn es genau andersrum ist, multiplizieren wir die Gleichung mit(-1).
Nun bleibt nur noch ein Problem: dieser Fall kommt in Deiner Liste nicht vor...
Es ist ein Doppelkegel.
LG Angela
> Indefinitheit oder negative Definitheit könnte man noch
> überprüfen...
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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