Bestimmung einer Darstellungsm < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Mi 09.12.2009 | | Autor: | janmoda |
| Aufgabe | Gegeben ist eine lineare Abbildung [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IR^3 \to \IR^3. [/mm] Die Darstellungsmatrix [mm] \varphi [/mm] bezüglich der geordneten Standardbasis [mm] E_{3} [/mm] = [mm] (e_{1}, e_{2}, e_{3}) [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] lautet:
[mm] E_{3}M(\varphi)_E_{3} [/mm] = [mm] \pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1} \in \IR^3x3
[/mm]
(a) Begründen Sie: B := [mm] (\vektor{2 \\ 2 \\ 3}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{2 \\ 1 \\ 1}) [/mm] ist eine geordnete Basis des [mm] \IR^3.
[/mm]
(b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [mm] BM(\varphi)_B [/mm] |
Aufgabe (a) ist mir soweit verständlich. Es handelt sich um eine geordnete Basis von [mm] \IR^3 [/mm] da die Vektoren linear unabhängig sind und somit den [mm] \IR^3 [/mm] aufspannen.
Aufgabe (b) macht mir so Ihre Probleme. Die Aufgabe stammt aus dem Buch "Mathemaik" - Spektrum-Verlag ist vielleicht dem ein oder anderen ein Begriff. Wer sie nachlesen möchte, sie ist auf Seite 582 zu finden. Die Lösung ist ebenfalls bekannt und kann auf der Verlagsseite eingesehen werden ![[]](/images/popup.gif) hier klicken Die Lösung ist auf Seite 11 zu finden (Aufgabe 17.12)
Mein Probelm liegt darin, dass ich die Schritte zu dem Ergebnis [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm] nicht nachvollziehen kann.
Vielen Dank und Grüße Jan
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> Gegeben ist eine lineare Abbildung [mm]\varphi[/mm] : [mm]\IR^3 \to \IR^3.[/mm]
> Die Darstellungsmatrix [mm]\varphi[/mm] bezüglich der geordneten
> Standardbasis [mm]E_{3}[/mm] = [mm](e_{1}, e_{2}, e_{3})[/mm] des [mm]\IR^3[/mm]
> lautet:
>
> [mm]E_{3}M(\varphi)_E_{3}[/mm] = [mm]\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1} \in \IR^3x3[/mm]
>
> (a) Begründen Sie: B := [mm](b_1:=\vektor{2 \\ 2 \\ 3}, b_2:=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, b_3:=\vektor{2 \\ 1 \\ 1})[/mm]
> ist eine geordnete Basis des [mm]\IR^3.[/mm]
>
> (b) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix [mm]_BM(\varphi)_B[/mm]
> Aufgabe
Hallo,
[mm] _BM(\varphi)_B [/mm] ist die matrix, die einem für Vektoren, die in Koordinaten bzgl B gegeben sind, deren Bild unter der Abbildung [mm] \varphi [/mm] ebenfalls in Koordinaten bzgl B liefert.
Wenn Du mit Darstellungsmatrizen ein wenig vertraut bist, dann weißt Du, daß in den Spalten die Bilder der Basisvektoren stehen.
Damit steht ein möglicher Plan für den Weg zur Matrix:
Berechne [mm] \varphi(b_i), [/mm] schreibe das Ergebnis als [mm] \varphi(b_i)=r_ib_1+s_ib_2+t_ib_3=\vektor{r_i\\s_i\\t_i}_{(B)}.
[/mm]
Dieser Koordinatenvektor kommt in die i-te Spalte.
Der nur auf den ersten Blick andere Weg zur Matrix [mm] _BM(\varphi)_B [/mm] führt über die Basistransformationsmatrizen.
Die Matrix [mm]E_{3}M(\varphi)_E_{3}[/mm] kann keine Koordinatenvektoren bzgl B fressen, sie müssen erst umgewandelt werden in solche bzgl [mm] E_3.
[/mm]
Nennen wir die Matrix, die dies für uns tut S.
Dann ist [mm] E_{3}M(\varphi)_E_{3}S [/mm] die Matrix, die uns für Koordinatenvektoren bzgl B deren Bild in Standardkoordinaten liefert, also [mm] E_{3}M(\varphi)_B.
[/mm]
Wir wollen die Bilder aber in Koordinaten bzgl B, müssen das, was uns [mm] E_{3}M(\varphi)_B [/mm] liefert, also noch umwandeln in Koordinaten bzgl. B. Das tut [mm] S^{-1}, [/mm] so daß wir haben
[mm] _BM(\varphi)_B=S^{-1}E_{3}M(\varphi)_E_{3}S.
[/mm]
Nun stellt sich noch die Frage, woher man S bekommt.
S wandelt wie gesagt die Koordinatenvektoren bzgl B um in solche bzgl. [mm] E_3. [/mm] Also stehen in den Spalten von S die Basisvektoren von B in Koodinaten bzgl. [mm] E_3. [/mm] Diese Matrix aufzustellen, ist nicht schwer...
Gruß v. Angela
> Mein Probelm liegt darin, dass ich die Schritte zu dem
> Ergebnis [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm] nicht
> nachvollziehen kann.
>
> Vielen Dank und Grüße Jan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mi 09.12.2009 | | Autor: | janmoda |
Erst mal vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Ziemlich zu Beginn stellt sich aber schon wieder die erste Frage:
In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der Basis.
Das müsste doch heißen Spalte 1 meiner Darstellungsmatrix findet sich durch Multiplikation der gegebenen Abbildungsmatrix mit den entsprechenden Basisvektoren b1 bis b3:
[mm] \pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{2 \\ 2 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{2 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
dann müsste die gesuchte Darstellungsmatrix doch aussehen wie folgt: [mm] \pmat{ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 }
[/mm]
warum geht man nun aber her, wie in der Lösung des Verlags und folgert aus den Rechnungen
[mm] Ab_{1} [/mm] = [mm] 1b_{1} [/mm] + [mm] 0b_{2} [/mm] + [mm] 0b_{3}
[/mm]
[mm] Ab_{2} [/mm] = [mm] 0b_{1} [/mm] + [mm] 2b_{2} [/mm] + [mm] 0b_{3}
[/mm]
[mm] Ab_{3} [/mm] = [mm] 0b_{1} [/mm] + [mm] 0b_{2} [/mm] + [mm] 3b_{3}
[/mm]
die ja noch sehr gut nachvollziehbar sind die Darstellungsmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }
[/mm]
oder sind die beiden Darstellungsmatrizen identisch und die zweite Version ist einfach schöner, oder mache ich noch einen Fehler und meine erste Version ist nicht brauchbar?
Viele Grüße Jan
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> Erst mal vielen Dank für deine ausführliche Antwort.
> Ziemlich zu Beginn stellt sich aber schon wieder die erste
> Frage:
>
> In den Spalten der Darstellungsmatrix stehen die Bilder der
> Basis.
>
> Das müsste doch heißen Spalte 1 meiner Darstellungsmatrix
> findet sich durch Multiplikation der gegebenen
> Abbildungsmatrix mit den entsprechenden Basisvektoren b1
> bis b3:
Hallo,
wir müssen uns in dem fall, in welchem wir es mit verschiedenen Basen zu tun haben, ganz genau klarmachen, welche Darstellungsmatrix gefordert ist.
Hier ist es [mm] _BM(\varphi)_B, [/mm] welche für Koordinatenvektoren bzgl B ihr Bild ebenfalls als Koordinatenvektor bzgl B liefern soll.
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 2 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1 } \vektor{2 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> = [mm]\vektor{6 \\ 3 \\ 3}[/mm]
Deine Ergebnisse sind die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl der Standardbasis.
>
> dann müsste die gesuchte Darstellungsmatrix doch aussehen
> wie folgt: [mm]\pmat{ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 }[/mm]
Das ist dann die Matrix [mm] _E_3M(\varphi)_B.
[/mm]
Test: [mm] \pmat{ 2 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 3 }*\vektor{1\\0\\0}_{B)}=\vektor{2\\2\\3}_{E_3}. [/mm] Stimmt.
Die Ergebnisvektoren sollen jedoch lt. Aufgabenstellung auch in Koordinaten bzgl B geliefert werden.
Offensichlich ist [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 3}=1*b_1+0*b_2+0*b_3=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
die anderen beiden Bildvektoren entsprechend.
So kommst Du zur Matrix [mm] _BM(\varphi)_B=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }.
[/mm]
Test: [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }*\vektor{1\\0\\0}_{B)}=\vektor{1\\0\\0}_{B)}. [/mm] Stimmt!
Gruß v. Angela
> warum geht man nun aber her, wie in der Lösung des Verlags
> und folgert aus den Rechnungen
>
> [mm]Ab_{1}[/mm] = [mm]1b_{1}[/mm] + [mm]0b_{2}[/mm] + [mm]0b_{3}[/mm]
> [mm]Ab_{2}[/mm] = [mm]0b_{1}[/mm] + [mm]2b_{2}[/mm] + [mm]0b_{3}[/mm]
> [mm]Ab_{3}[/mm] = [mm]0b_{1}[/mm] + [mm]0b_{2}[/mm] + [mm]3b_{3}[/mm]
>
> die ja noch sehr gut nachvollziehbar sind die
> Darstellungsmatrix
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }[/mm]
>
> oder sind die beiden Darstellungsmatrizen identisch und die
> zweite Version ist einfach schöner, oder mache ich noch
> einen Fehler und meine erste Version ist nicht brauchbar?
>
> Viele Grüße Jan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:41 Mi 09.12.2009 | | Autor: | janmoda |
Danke dir Angela, tolle Hilfe, ich habs verstanden!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:51 Mi 09.12.2009 | | Autor: | janmoda |
//Diese Frage hat sich erübrigt//
Ich habe mich nun noch einmal eine Weile mit der Basistransformationsformel beschäftigt mit Hilfe derer man ja auf das gleiche Ergebnis von [mm] _BM(\varphi)_B [/mm] kommen sollte.
[mm] _BM(\varphi)_B=S^{-1}E_{3}M(\varphi)_E_{3}S
[/mm]
[mm] S^{-1}=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 0}
[/mm]
[mm] E_{3}M(\varphi)_E_{3}=\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1}
[/mm]
wenn ich das nun wie geschrieben ausmultipliziere komme ich nicht auf das aus der Lösung bekannte [mm] _BM(\varphi)_B
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 4 & -2 \\ 1 & -1 & 0}\pmat{ 4 & 0 & -2 \\ 1 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -1}=\pmat{ 0 & -1 & 3 \\ -2 & 8 & -4 \\ 3 & -3 & 0}
[/mm]
und
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 3 \\ -2 & 8 & -4 \\ 3 & -3 & 0}\pmat{ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1}=\pmat{ 7 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}\not=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3}
[/mm]
was mach ich falsch, ich habs nun schon mehrfach durchgerechnet komme immer wieder auf das gleiche ergebnis
Grüße Jan
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