Bestimmung einer Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Wendepunkt W(-2/6), die an der Stelle x=-4 ein Maximum hat. Außerdem ist die Steigung der Wendetangente (Tangente im Wendepunkt) bekannt. Sie hat den Wert mt=-12. |
Mein Ansatz:
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f´(x)=3ax²+2bx+c
f´´(x)=6ax+2b
f´´´(x)=6a
mein Problem: Ich weiß nicht, wie ich jetzt so weit komme, dass ich ein Gleichungssystem erhalte (Addition). Ich weiß auch nicht, wie ich die Informationen in der Aufgabe in meine Funktion einbauen soll...
Bitte um Hilfe!!!!
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Hallo Nullstelle,
dein Ansatz stimmt schon mal, nur die 3. Ableitung brauchst du nicht, aber das wirst du dann auch selbst sehen, wenn du mehrere solcher Aufgaben gemacht hast.
Bei dir ist eine Funktion gesucht, bei der du vier Unbekannte hast.
Es hilft möglichst viele Informationen aus dieser Textaufgabe rauszuschreiben oder anzustreichen.
Eine Info wäre, Wendepunkt W(-2/6)
Was weisst du von diesem Punkt:
1. er liegt auf dem Graphen, dann muss gelten
f(-2)=6 und das heißt gleichzeitig eine Gleichung 6= -8a+4b-2c+d
das ist eine Gleichung, du brauchst nur so viele Gleichungen aufzustellen
wie viele Unbekannte du in der gesuchten Gleichung hast.
2. und zur Bestimmung von Wendepunkt brauchst du die 2.Ableilung
dann muss gelten
f''(-2)=0 das bedeutet 0=-12a+2b
Zwei Gleichungen hast du schon mal, jetzt versuche mal noch die anderen zu finden, du brauchst insgesamt noch 2 Stück 
gruß
tanujscha
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für meine dritte Funktion habe ich das Maximum von f(x) benutzt (x=-4):
d.h. bei f´(x)=3ax²+2bx+c
f´(4)=48y-8b+c
0=48y-8b+c.
Soweit richtig???
Wie bekomme ich nun die vierte Formel raus? (Anregung)
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> für meine dritte Funktion habe ich das Maximum von f(x)
> benutzt (x=-4):
> d.h. bei f´(x)=3ax²+2bx+c
> f´(4)=48y-8b+c
> 0=48y-8b+c.
>
> Soweit richtig???
Ja, da ist richtig, sehr schön
> Wie bekomme ich nun die vierte Formel raus? (Anregung)
für die vierte Formel bleibt nur die Wendetangente. Was weisst du von dieser Tangente?? Wo verläuft sie welche Steigung hat sie an dieser Stelle?
gruß
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Das ist die Tangente von meinem Wendepunkt.
Tangentensteigung = 1.Ableitung.
D.h. Ich muss die Steigung von m=-12 in meine erste Ableitung einsetzten...
f´(x)=3ax²+2bx+c
aber wie? Ich habe doch nicht m*x+b... Wo taucht denn dann meine Steigung auf?
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> Das ist die Tangente von meinem Wendepunkt.
> Tangentensteigung = 1.Ableitung.
Genau
> D.h. Ich muss die Steigung von m=-12 in meine erste
> Ableitung einsetzten...
> f´(x)=3ax²+2bx+c
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber wie? Ich habe doch nicht m*x+b... Wo taucht denn dann
> meine Steigung auf?
die Tangente hat die Form [mm]t(x)=mx+b[/mm] und Ihre Steigung ist m=-12
Das heißt du musst es mit der 1.Ableitung gleichsetzen, weil diese die Steigung wiedergibt, und zwar an einer bestimmten stelle...ich denke du weisst welche Stelle gemeint ist????
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also... ich bin mir bei diesem Schritt unsicher.
Ich habe gegeben: t(x)=m*x+b = -12*x+b
und f´(x)=3ax²+2bx+c
nun habe ich versucht beides gleichzusetzten...
-12*x+b=3ax²+2bx+c und umzuformen...
3ax²+12bx+c
Aber das kommt mir irgendwie falsch vor.
Vielleicht muss ich m*x+b einsetzen?
f´(x)=3ax²+2bx+c mit -12x+b
das wäre dann: -36ax³+36bx+c
Was stimmt? Oder ist beides falsch :( ???
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> also... ich bin mir bei diesem Schritt unsicher.
> Ich habe gegeben: t(x)=m*x+b = -12*x+b
> und f´(x)=3ax²+2bx+c
>
> nun habe ich versucht beides gleichzusetzten...
> -12*x+b=3ax²+2bx+c und umzuformen...
> 3ax²+12bx+c
>
> Aber das kommt mir irgendwie falsch vor.
>
> Vielleicht muss ich m*x+b einsetzen?
>
> f´(x)=3ax²+2bx+c mit -12x+b
> das wäre dann: -36ax³+36bx+c
>
> Was stimmt? Oder ist beides falsch :( ???
Du hast es nut etwas durcheinander gebracht du brauchst lediglich nur
f'(-2)=-12
Die gesuchte Funktion hat einen Wendepunkt an der Stelle W(-2/6) und die Wendetangente verläuft auch durch den Graphen. Das bedeutet an der Stelle x=-2 ist die Steigung m=-12
Du musst keine Gleichungen gleichsetzen nur richtig zuordnen. Verstehst du? oder ist das noch unklar?
gruß
tanujscha
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Ahhhhhh :)
Dennoch, um sicher zu gehen: ich hab m*x+b jetzt in f(x) eingesetzt.
Und komme dann auf f(-2)=-12*-2+b
=24+b
Welchen y-Wert habe ich an dieser Stelle? 6?
Kann ich das b für meine weitere Rechnung wie das b von
ax³+b!!!x²+cx+d verwenden?
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Ich verstehe nicht so ganz warum du die mx+b in f(x) einsetzst. Wenn du die Tangentengleichung rausbekommen willst, dann musst du nur den b-Wert bestimmen:
[mm]6=-12*\left(-2\right)+b[/mm]
[mm]-18=b[/mm]
[mm]t(x)=-12x-18[/mm]
> Kann ich das b für meine weitere Rechnung wie das b von
> ax³+b!!!x²+cx+d verwenden?
Nein Nein Nein, auf gar keinen Fall, das sind total unterschiedliche b´s
die eine gehört zu der Funktionsgleichung und das zweite b zu der Tangentengleichung
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Ich habe jetzt meine 2.Funktion und meine 3. in ein Gleichungssystem eingesetzt:
0=-12a+2b *(-4)
0=48a-8b+c
0=-48a-8b
0=48a-8b+c addieren
-16b+c=0 d.h. c=16b
wieder in die Ausgangsformel: 48a-8b+c
=48a-8b+16b = 48a+8b=0
d.h.: b=-6a
erneut in die Ausgangsformel: 48a-8*-6a+16*-6a=0
=48a+48a-96a=0
=0=0
damit habe ich aber keine genauen Wert herausbekommen :(
Wo liegt der Fehler?
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Das würde ich an deiner Stelle so nicht machen. Du kannst am besten dann die Gleichungen aufstellen wenn du gleich viele Unbekannten in beiden Gleichungen hast.
I [mm]6=-8a+4b-2c+d[/mm]
II [mm]0=-12a+2b[/mm]
III [mm]0=48a-8b+c[/mm] Substitution
IV [mm]-12=12a-4b+c[/mm] (c fällt weg)
Deswegen dann eher mit der III und IV
[mm]-12=36a-4b[/mm]
[mm]0=-12a+2b[/mm] *2
[mm]-12=36a-4b[/mm]
[mm]0=24a+4b[/mm] Addition
[mm]-12=60a[/mm]
[mm]-\bruch{1}{5}=a[/mm]
das Ergebnis für a hast du, jetzt musst du das nur in die anderen Gleichungen einsetzen um die anderen drei rauszukriegen.
gruß
tanujscha
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