Bestimmung einer Menge < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Sa 01.11.2014 | | Autor: | LenaK90 |
| Aufgabe | Seien M:= {A|A ⊆{7,8,9}}, sowie
A:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y gerade},
B:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y ungerade}.
Stellen Sie die Menge M, A und B explizit dar. |
Hallo,
bin bei der Aufgabe etwas ratlos.
Das habe ich mir überlegt
M = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {7,8,9}, {8}, {8,9}, {9} }
Das wären dann doch alle Teilmengen oder? Nur warum MUSS ich alle Teilmengen angeben, wieso kann ich nicht einfach nur eine nehmen, so dass M={1,2,3} ist. Wäre das nicht genau so richtig?
Bei den Mengen A und B bin ich mir noch unsicherer.
Vielleicht so:
A= { {}, {7,9}, {7,8} {8} }
Leere Menge ist gerade, bei den anderen habe ich jeweils die beiden Zahlen addiert und dabei geguckt, ob ein gerades Ergebnis rauskommt. Bei der Menge B dann ein ungerades:
B= { {7}, {9}, {8,9} }
Nur was mit der Menge {1,2,3} ist, weiß ich dann nicht.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Naive-Mengenlehre-Mengen-explizit-darstellen
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> Seien M:= {A|A ⊆{7,8,9}}, sowie
> A:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y gerade},
> B:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y ungerade}.
>
> Stellen Sie die Menge M, A und B explizit dar.
> Hallo,
>
> bin bei der Aufgabe etwas ratlos.
> Das habe ich mir überlegt
>
> M = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {7,8,9}, {8}, {8,9}, {9} }
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
>
> Das wären dann doch alle Teilmengen oder?
Ja, die Menge M hast Du richtig angegeben.
> Nur warum MUSS
> ich alle Teilmengen angeben, wieso kann ich nicht einfach
> nur eine nehmen, so dass M={1,2,3} ist. Wäre das nicht
> genau so richtig?
Nein.
[mm] \{\red{A|}... \} [/mm] bedeutet: die Menge [mm] \red{aller \quad A}, [/mm] für die gilt...
>
> Bei den Mengen A und B bin ich mir noch unsicherer.
> Vielleicht so:
>
> A= { {}, {7,9}, {7,8} {8} }
>
> Leere Menge ist gerade,
Was meinst Du damit?
(Es ist aber richtig, daß die leere Menge ein Element von A ist.)
> bei den anderen habe ich jeweils
> die beiden Zahlen addiert
Es müssen sämtliche Summen, die man aus Elementen der Mengen bilden kann, gerade sein.
Bei zum Beispiel [mm] \{7,9\} [/mm] müssen wir nicht nur 7+9 und 9+7 prüfen, sondern auch 7+7 und 9+9.
Mit dieser Information solltest Du nochmal neu überlegen.
LG Angela
> und dabei geguckt, ob ein gerades
> Ergebnis rauskommt. Bei der Menge B dann ein ungerades:
>
> B= { {7}, {9}, {8,9} }
>
>
> Nur was mit der Menge {1,2,3} ist, weiß ich dann nicht.
>
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Naive-Mengenlehre-Mengen-explizit-darstellen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Sa 01.11.2014 | | Autor: | LenaK90 |
>
> Hallo,
>
> .
Danke :) gebe zu, der Aufbau dieser Seite ist noch arg ungewohnt für mich.
> > Leere Menge ist gerade,
>
> Was meinst Du damit?
> (Es ist aber richtig, daß die leere Menge ein Element
> von > A ist.)
Aus irgendeinem dummen Grund dachte ich dabei an eine 0. Also 0 ist eine gerade Zahl. Das trifft im Fall der leeren Menge dann auch zu, weil sie 0 Elemente hat, nehme ich an?
> > bei den anderen habe ich jeweils
> > die beiden Zahlen addiert
>
> Es müssen sämtliche Summen, die man aus Elementen der
> Mengen bilden kann, gerade sein.
> Bei zum Beispiel [mm]\{7,9\}[/mm] müssen wir nicht nur 7+9 und 9+7
> prüfen, sondern auch 7+7 und 9+9.
>
> Mit dieser Information solltest Du nochmal neu überlegen.
Also können x und y jeweils das gleiche Element sein.
Dann müsste das ja auch bei Mengen mit nur einem Element so sein.
M = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {7,8,9}, {8}, {8,9}, {9} }
A = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {8}, {8,9}, {9}, {7,8,9} }
B = { {7,8}, {8,9}, {7,8,9} }
Die Menge {7,8,9} kann ich dann ja sowohl zur Menge A als auch zur Menge B zählen.
Bspw. weil 7+8 = ungerade und 9+9 = gerade ist. So ist es dann auch im Fall {7,8} und {8,9}.
So richtig?
Ich danke dir wirklich für die Hilfe. :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:22 Sa 01.11.2014 | | Autor: | abakus |
> >
> > Hallo,
> >
> > .
>
> Danke :) gebe zu, der Aufbau dieser Seite ist noch arg
> ungewohnt für mich.
>
> > > Leere Menge ist gerade,
> >
> > Was meinst Du damit?
> > (Es ist aber richtig, daß die leere Menge ein Element
> > von > A ist.)
>
> Aus irgendeinem dummen Grund dachte ich dabei an eine 0.
> Also 0 ist eine gerade Zahl. Das trifft im Fall der leeren
> Menge dann auch zu, weil sie 0 Elemente hat, nehme ich an?
>
>
> > > bei den anderen habe ich jeweils
> > > die beiden Zahlen addiert
> >
> > Es müssen sämtliche Summen, die man aus Elementen der
> > Mengen bilden kann, gerade sein.
> > Bei zum Beispiel [mm]\{7,9\}[/mm] müssen wir nicht nur 7+9 und
> 9+7
> > prüfen, sondern auch 7+7 und 9+9.
> >
> > Mit dieser Information solltest Du nochmal neu überlegen.
>
>
> Also können x und y jeweils das gleiche Element sein.
> Dann müsste das ja auch bei Mengen mit nur einem Element
> so sein.
>
> M = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {7,8,9}, {8}, {8,9}, {9} }
>
>
> A = { {}, {7}, {7,8}, {7,9}, {8}, {8,9}, {9}, {7,8,9} }
>
> B = { {7,8}, {8,9}, {7,8,9} }
>
> Die Menge {7,8,9} kann ich dann ja sowohl zur Menge A als
> auch zur Menge B zählen.
NEIN!
In der jeweiligen Mengendefinition von A und B steht "für alle Paare (x,y) gilt..."
Damit dürftest du {7, 8, 9} weder zu A noch zu B zuordnen, da sich bei (un)geeigneter Auswahl von x und y jeweils Gegenbeispiele ergeben.
Gruß Abakus
> Bspw. weil 7+8 = ungerade und 9+9 = gerade ist. So ist es
> dann auch im Fall {7,8} und {8,9}.
>
> So richtig?
>
>
>
> Ich danke dir wirklich für die Hilfe. :)
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:30 So 02.11.2014 | | Autor: | LenaK90 |
Stimmt, mir war diese Lesart noch nicht klar.
Danke euch allen :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Marcel |
edit: Korrektur durchgeführt, siehe Tobis Hinweis!
Hallo,
noch zwei ergänzende Hinweise:
> Seien M:= {A|A ⊆{7,8,9}}, sowie
> A:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y gerade},
Da gehört
[mm] $A:=\{X \in M \mid \text{ Für alle }x,y \red{\,\in\,}X \text{ ist }x+y \text{ gerade}\}$
[/mm]
hin.
> B:= {X∈M| Für alle x,y⊆X ist x+y ungerade}.
Analoge Korrektur.
Ferner noch ein Hinweis: Die Notation für [mm] $M\,$ [/mm] oben ist keine schöne - schreibe
lieber
[mm] $M:=\{Y \mid Y \subseteq \{7,8,9\}\}\,.$
[/mm]
(Übrigens ist
[mm] $M=\text{Pot}(\{7,8,9\})\,,$
[/mm]
und wird demnach [mm] $2^3=8$ [/mm] Elemente haben!)
Ich finde es nicht gut, wenn [mm] $A\,$ [/mm] innerhalb von [mm] $M\,$ [/mm] auftaucht, danach aber
[mm] $A\,$ [/mm] mithilfe von [mm] $M\,$ [/mm] definiert wird. (Genau das hatte mich eben verwirrt,
bevor ich es überhaupt bemerkt habe!)
Es gilt:
[mm] $\varnothing \in A\,,$ [/mm] weil (edit:... es sonst $x,y [mm] \in \varnothing$ [/mm] gäbe mit [mm] $x+y\,$ [/mm] ungerade)
man "die leere Summe" als 0 definiert!
Und ich sage jetzt mal, es gilt:
[mm] [s][nomm]$\varnothing \notin [/mm] B$[/nomm][/s]
Korrektur:
[mm] $\varnothing \in [/mm] B$ (Warum?)
Weiterhin: Angenommen, es wäre $B [mm] \not=\red{\{\,}\varnothing\red{\,\}}\,.$ [/mm] Dann gibt es ein [mm] $\varnothing \not=\blue{\mathbf{X}} \in [/mm] M$
mit $X [mm] \in B\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $\exists$ [/mm] $n [mm] \in \{7,8,9\}$ [/mm] mit $n [mm] \in [/mm] X [mm] \in B\,.$
[/mm]
Wegen $n [mm] \in [/mm] X [mm] \in [/mm] B$ muss dann aber
[mm] $n+n\,$ [/mm] ungerade
sein. Was sagst Du dazu?
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:45 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marcel!
> [mm]\varnothing \in A\,,[/mm] weil man "die leere Summe" als 0
> definiert!
Zwar gilt [mm] $\varnothing\in [/mm] A$, aber das hat nichts mit einer leeren Summe zu tun:
In der Definition von $A$ taucht nur die Summe zweier (nicht notwendigerweise verschiedener) Elemente auf.
Vielmehr gilt [mm] $\varnothing\in [/mm] A$, weil es sonst [mm] $x,y\in\varnothing$ [/mm] (mit einer gewissen Eigenschaft) gäbe.
> Und ich sage jetzt mal, es gilt:
>
> [mm]\varnothing \notin B[/mm] (Warum?)
Aus selbigem Grunde gilt vielmehr [mm] $\varnothing\in [/mm] B$.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 So 02.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi Tobi,
> Hallo Marcel!
>
>
> > [mm]\varnothing \in A\,,[/mm] weil man "die leere Summe" als 0
> > definiert!
> Zwar gilt [mm]\varnothing\in A[/mm], aber das hat nichts mit einer
> leeren Summe zu tun:
> In der Definition von [mm]A[/mm] taucht nur die Summe zweier (nicht
> notwendigerweise verschiedener) Elemente auf.
> Vielmehr gilt [mm]\varnothing\in A[/mm], weil es sonst
> [mm]x,y\in\varnothing[/mm] (mit einer gewissen Eigenschaft) gäbe.
>
> > Und ich sage jetzt mal, es gilt:
> >
> > [mm]\varnothing \notin B[/mm] (Warum?)
> Aus selbigem Grunde gilt vielmehr [mm]\varnothing\in B[/mm].
stimmt, Danke. Ich war da irgendwie gedanklich auf [mm] $\sum_{x \in \varnothing}x=0$ [/mm] gefallen. ^^
Ich korrigiere das mal!
Gruß,
Marcel
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