Bestimmung eines Dreiecks < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ein Dreieck hat den Flächeninhalt A=15cm² und wird begrenzt durch die 1. und 2. Achse, sowie durch eine Gerade, die durch den Punkt P(2/3,6) geht. Bestimme die Eckpunkte des Dreiecks. |
Also die Aufgabenstellung ist mir klar! Jedoch habe ich keine Idee wie ich sowas berechnen soll. Das einzige was mir die Logik sagt ist, dass es zwei Lösungen gibt. Welchen Lösungsweg schlagt ihr vor?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo PrinzValium!
> Ein Dreieck hat den Flächeninhalt A=15cm² und wird begrenzt
> durch die 1. und 2. Achse, sowie durch eine Gerade, die
> durch den Punkt P(2/3,6) geht. Bestimme die Eckpunkte des
> Dreiecks.
> Also die Aufgabenstellung ist mir klar! Jedoch habe ich
> keine Idee wie ich sowas berechnen soll. Das einzige was
> mir die Logik sagt ist, dass es zwei Lösungen gibt. Welchen
> Lösungsweg schlagt ihr vor?
Wie: zwei Lösungen??
Das Ganze ist hier nur zweidimensional, oder? Dann sind die 1. und 2. Achse doch die beiden (einzigen) Koordinatenachsen - und damit kennst du doch schon zwei Seiten des Dreiecks. Und die dritte Seite erhältst du durch die Gerade - stell sie auf und berechne die Schnittpunkte mit den Achsen. Allerdings frage ich mich, wozu der Flächeninhalt angegeben ist - meiner Meinung nach ist das eine Information zu viel - der Rest beschreibt das Dreieck schon eindeutig. ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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>Allerdings frage ich mich, wozu der
> Flächeninhalt angegeben ist - meiner Meinung nach ist das
> eine Information zu viel - der Rest beschreibt das Dreieck
> schon eindeutig.
Hallo,
nein, Du kannst durch den gegebenen Punkt auf vielerlei Arten Geraden legen, und erst die Angabe des gewüschten Flächeninhaltes des eingeschlossenen Dreiecks schränkt die Anzahl der Möglichkeiten ein.
Gruß v. Angela
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> Ein Dreieck hat den Flächeninhalt A=15cm² und wird begrenzt
> durch die 1. und 2. Achse, sowie durch eine Gerade, die
> durch den Punkt P(2/3,6) geht. Bestimme die Eckpunkte des
> Dreiecks.
> Also die Aufgabenstellung ist mir klar! Jedoch habe ich
> keine Idee wie ich sowas berechnen soll. Das einzige was
> mir die Logik sagt ist, dass es zwei Lösungen gibt. Welchen
> Lösungsweg schlagt ihr vor?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Wie von Bastiane vorgeschlagen solltest Du zunächst versuchen, die Geradengleichung aufzustellen.
Da Du nur einen Punkt gegeben hast, ist nicht zu erwarten, daß dies in eindeutiger Weise gelingt.
Eine Geradengleichung hat ja die Form y=mx + b, m ist die Steigung und b der y-Achsenabschnitt.
Nun weißt Du ja, daß der Punkt p auf der Geraden liegt. Setzt Du ihn ein in die Gleichung, so liefert Dir das eine Beziehung zwischen m und b:
3.6=2m+b ==> b=3.6-2m.
Also hat die Gleichung der Geraden die Gestalt: y=mx+... (Sie ist immer noch nicht eindeutig bekannt, denn wir haben noch die Variable m drin)
Alternativ - falls Du die Punktsteigungsform kennst - kannst Du natürlich auch direkt mit m und den Koordinaten des Punktes die Gleichung aufstellen.
Nun interessierst Du Dich für die Stellen [mm] (x_0,0) [/mm] und [mm] (0,y_0), [/mm] die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen.
Indem Du in der Geradengleichung y=0 einsetzt, kannst Du [mm] x_0 [/mm] (in Abhängigkeit von m) errechnen,
ebenso durch Einsetzen von x=0 das gesuchte [mm] y_0.
[/mm]
Nun stören noch die m.
Hier kommt die Fläche des Dreiecks ins Spiel. [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] sind eben nicht beliebig, sondern es soll die Dreiecksfläche ja den Flächeninhalt 15 haben.
Das bedeutet: [mm] x_0*y_0=???
[/mm]
Lösen dieser Gleichung liefert Dir m (möglicherweise sogar mehrere, das wird sich zeigen ), die Du dann dort, wo Du sie gebrauchen kannst, einsetzt.
Gruß v. Angela
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Ich glaube ich hab das jetzt nicht ganz begriffen.
Wir haben: y=mx + b eingesetzt wäre das 3,6 = 2*m + b
Dann soll ich in der Gleichung X=0 und y=0 setzen
y=0
0=m*2+b
-b/2 = m
x=0
3,6=m*0+b
3,6=b
Demnach dann y=-1,8x+3,6
das kommt aber nicht hin!
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> Wir haben: y=mx + b eingesetzt wäre das 3,6 = 2*m + b
Genau. Du kennst einen Punkt, (2, 3.6) der auf der Geraden liegt. Den setzt Du ein, das liefert Dir die Information:
b=-2m+3.6,
d.h. Deine Geradengleichung ist Dir nun schon eine wenig besser bekannt, sie hat die Form:
y=mx + (-2m+3.6)= m(x-2) + 3.6.
Da Dreieck wird ja lt. Aufgabenstellung durch die Punkte begrenzt, in denen die Gerade die Koordinatenachsen schneidet.
Schnittpunkt mit der x-Achse liegt dort, wo der y-Wert der Geraden =0 ist. Guck Dir einfach mal eine Gerade, an, welche die Koordinatenachsen schneidet.
Zu y=0 ist das passende x zu berechnen:
[mm] 0=m(x_0-2) [/mm] + 3.6
Auflösen nach x ergibt
[mm] x_0=\bruch{-3.6}{m} [/mm] + 2
Dasgleiche Procedere nun mit der y-Achse.
Du erhältst [mm] y_0=...
[/mm]
Nun kennst Du die Kathetenlängen Deines rechtwinkligen Dreiecks, leider steckt das m noch drin.
Das bekommst Du durch die Bedingung, daß die Dreieicksfläche, also [mm] \bruch{x_0y_0}{2}=15 [/mm] ist.
Also ist 15=... (einsetzen, was Du für [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] errechnet hast, hieraus m errechnen)
Indem Du m dann in die Gleichungen für [mm] x_0 [/mm] und y-0 einsetzt, erhältst Du Deine Seitenlängen.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Ich glaube ich bin zu doof dafür... :'( leider auch mein Mathelehrer, der sagte heute, die Lösung sei nur durch probieren zu finden.
Ich würde jetzt gerne morgen damit glänzen in dem ich das Ergniss rechnerisch herleite aber leider hab ich gerade alles so nachgebaut und komme nicht weiter. Würde mir mal jemand die Gleichung lösen??? Ich bin zwar schon bei: [mm] x_{0}*y_{0}/2=15 [/mm] aber habe so drastisch schlimme Zahlen da eingesetzt, dass es kaum nach 10Klasse Realschule ausschaut und selbt mein Nachhilfelehrer hat keine Ahnung was ich da gemacht habe. Also würde mich sehr über eine Lösung freuen. Danke
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> Ich würde jetzt gerne morgen damit glänzen in dem ich das
> Ergniss rechnerisch herleite aber leider hab ich gerade
> alles so nachgebaut und komme nicht weiter. Würde mir mal
> jemand die Gleichung lösen??? Ich bin zwar schon bei:
> [mm]x_{0}*y_{0}/2=15[/mm] aber habe so drastisch schlimme Zahlen da
> eingesetzt, dass es kaum nach 10Klasse Realschule ausschaut
> und selbt mein Nachhilfelehrer hat keine Ahnung was ich da
> gemacht habe. Also würde mich sehr über eine Lösung freuen.
> Danke
Hallo,
dann zeig mal, wie Dein [mm] x_0 [/mm] und Dein [mm] y_0 [/mm] jetzt aussehen, und am besten sagar, wie Du sie ausgerechnet hast.
Weil: erst wenn die garantiert richtig sind, hat es Sinn [mm] x_{0}*y_{0}/2=15 [/mm] zu lösen.
Gruß v. Angela
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Also gut:
Y=0
0=-3,6/m +2
X=0
y=-2m+3,6
x*y/2=15
(-3,6/m +2)(-2m+3,6) * 1/2 = 15
soweit bin ich!
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Wie soll das denn bitte gehen... ich hab die Klammern ausmultipliziert und komme auf
2m*3,6/m-3,6*3,6/m-4m+7,2=30
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> Wie soll das denn bitte gehen... ich hab die Klammern
> ausmultipliziert und komme auf
>
>
> 2m*3,6/m-3,6*3,6/m-4m+7,2=30
Hallo,
also ist
[mm] 30=\bruch{2m}{1}*\bruch{3.6}{m}-\bruch{3.6}{1}*\bruch{3.6}{m}-4m+7.2
[/mm]
<==>
[mm] 30=\bruch{7.2}{1}-\bruch{12.96}{m}-4m+7.2= [/mm] 14.4 [mm] -\bruch{12.96}{m}-4m [/mm] jetzt multiplizieren wir beide Seiten mit m, damit der Bruch verschwindet, und das ist der Hauptwitz an der ganzen Gleichungsumformung.
<==>
[mm] 30m=14.4m-12.96-4m^2 [/mm] |- 14.4m + [mm] 4m^2
[/mm]
<==>
[mm] 4m^2 [/mm] + 15.6m =-12.96 |:4
<==>
[mm] m^2+ [/mm] 3.9m= - 3.24
und nun muß man mit quadratischer Ergänzung oder pq-Formel diese quadratische Gleichung lösen.
Gruß v. Angela
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Okay ich habe für m1= 0,4703770901 und für m2= -4,603770902 errechnet
Als einfache Überprüfung nutze ich die Formel X0*Y0/2=15
(-3,6/-4,603770902 + 2) * (-2 * -4,603770902) = 30?
leider kommt nur 25,61508361 raus
das Einsetzen von 0,470377... kann man eh vergessen, da die Steigung m negativ sein muss!
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> Okay ich habe für m1= 0,4703770901 und für m2= -4,603770902
> errechnet
Hm.
Schade, daß Du nicht vorrechnest, wie Du die quadratische Gleichung gelöst hast.
Ich habe andere Ergebnisse.
>
> Als einfache Überprüfung nutze ich die Formel X0*Y0/2=15
>
> (-3,6/-4,603770902 + 2) * (-2 * -4,603770902) = 30?
>
> leider kommt nur 25,61508361 raus
Das deutet ganz stark daraufhin, daß Du verkehrt gerechnet hast. Rechne nochmal.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 03.09.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast noch nen kleinen Fehler:
y=2mx+3,6-2m
aus y=0 folgt [mm] x_0=1,8-m [/mm] nicht deine Gleichung.
das ändert an der Art der Rechnung aber nix, nur die Werte.
Gruss leduart
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> Du hast noch nen kleinen Fehler:
> y=2mx+3,6-2m
Nein, nein, die Gleichung war y=m(x-2)+3.6, daher stimmt PrinzValiums Gleichung für [mm] x_0.
[/mm]
Gruß v. Angela
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
. Nun die Klammern ausmultiplizieren und anschließend die entstehende quadratische Gleichung mit der 
p/q-Formel