Bestimmung eines Termes < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 So 18.09.2005 | | Autor: | ONeill |
Unsere Lehrerin hat uns eine Übungsklausur mit nach Hause gegeben und mit folgender Aufgabe komme ich nicht zurecht.
Das Profil einer Wasserrutsche ist durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades festgelegt (siehe Skizze)
a.) Bestimme den Term der Funktion
b.) In welchem Punkt ist das gefälle der Rutsche am größten? Wie groß ist das stärkste Gefälle?
Der Skizze ist folgendes zu entnehmen:
Die Funktion hat am Punkt (5/0) einen relativen Hochpunkt und bei (0/5) ein relativen Tiefpunkt. links vom Hochpunkt geht der Graph dann nach "unten" und rechts vom Tiefpunkt nach "oben". Der Tiefpunkt ist zugleich eine Nullstelle und der Hochpunkt ein Schnittpunkt mit der y Achse.
Nun weiß ich aber nicht wie ich den Term bestimmen soll.
zu b.) also das Gefälle ist im Wendepunkt am größten. Wenn ich also den Term hätte müsste ich über die 2. Ableitung den Wendepunkt berechnen können. Aber wie bekomme ich dann raus wie groß das Gefälle auch wirklich ist?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
|
|
| |
|
Hallo,
du musst bei dieser Aufgabe die gegebenen Infos in Gleichungen übersetzen. Los geht's mit "ganzrationale Funktion dritten Grades".
Das heißt also die Funktion hat die Form
[mm]f(x)=a*x^3 + b*x^2 + c*x + d [/mm] wobei [mm]a,b,c,d \in \RI[/mm] gilt. Zu bestimmen sind also diese vier Parameter, d.h. wir brauchen vier Gleichungen um sie eindeutig festzulegen.
1. Wenn am Punkt [mm](5,0)[/mm] ein relativer Hochpunkt sein soll, müssen zwei Sachen gelten: [mm]f'(5) = 3a*5^2+2b*5+c = 0[/mm], also waagrechte Tangente in diesem Punkt und die Krümmung sieht man auch aus der Skizze: [mm]f''(5) = 6a*5+2b < 0[/mm] (OK, diese Rechtskrümmung in dem Punkt bringt uns nicht viel, da sie nur eine Ungleichung liefert.)
2. Ebenfalls waagrechte Tangent im Punkt [mm](0,5)[/mm], also Gleichung
[mm]f'(0) = 0[/mm] muss erfüllt sein.
3. Und natürlich müssen die Punkte auf dem Graphen liegen, d.h. es muss gelten [mm]f(0)=5[/mm] und
4.[mm]f(5)=0[/mm]
Jetzt hast du 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, dieses System musst du lösen.
Zur b): "Das Gefälle am größten" heißt wo ist der Tiefpunkt der 1. Ableitung. Denn die Ableitung gibt dir ja genau die Steigung für jeden x-Wert an, und Gefälle heißt negative Steigung.
mfg
Daniel
|
|
|
|
