Bestimmung ganzrationaler Fkt. < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Di 08.03.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo,
mittlerweile bin ich bei meinen hausaufgaben zwar um einiges voran gekommen, hänge aber nun leider schon wieder fest.............
wahrscheinlih weil ich nicht weiß, wie ich den letzten teil der aufgabe verstehen soll und mir damit die letzte bedingung fehlt!!!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Aufgabe:
Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 4, die gerade ist, die Wendestelle x=1 und das relative Minimum 0 hat.
meine frage: ist das relative minimum jetzt an der Stelle 0 oder ist das der funktionswert??????
meine bisherigen Ansätze:
[mm] f(x)=a*x^{4}+b*x^{2}+c
[/mm]
1) wendestelle [mm] x_1=1:
[/mm]
[mm] f''(x_1)=0=12*a+2*b
[/mm]
was anderes fällt mir absolut nicht ein, wäre also schön wenn mir jemand helfen könnte......................
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> hallo,
> mittlerweile bin ich bei meinen hausaufgaben zwar um
> einiges voran gekommen, hänge aber nun leider schon wieder
> fest.............
> wahrscheinlih weil ich nicht weiß, wie ich den letzten
> teil der aufgabe verstehen soll und mir damit die letzte
> bedingung fehlt!!!!!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Aufgabe:
> Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vom Grad 4,
> die gerade ist, die Wendestelle x=1 und das relative
> Minimum 0 hat.
>
> meine frage: ist das relative minimum jetzt an der Stelle 0
> oder ist das der funktionswert??????
hmm, die Frage ist wirklich komisch gestellt, du kannst aber davon ausgehen, dass damit gemeint ist, dass bei x=0 ein Mininum vorliegt,
also f'(0)=0. Damit rechnest du jetzt mal weiter...
> meine bisherigen Ansätze:
> [mm]f(x)=a*x^{4}+b*x^{2}+c
[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 1) wendestelle [mm]x_1=1:
[/mm]
> [mm]f''(x_1)=0=12*a+2*b
[/mm]
>
> was anderes fällt mir absolut nicht ein, wäre also schön
> wenn mir jemand helfen könnte......................
>
Gruß
OLIVER
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 08.03.2005 | | Autor: | nina182 |
[mm] f'(x_E) [/mm] kann nicht gleich 0 sein, weil sonst würde gelten:
[mm] 4*a*x_E^{3}+2*x_E=0 [/mm]
und das tut es ja für jedes beliebige a und b...............
also ich bin jetz noch etwas weiter gekommen, aber hab keine ahnung wie ich auf c kommen soll, da ich in der aufgabe absolut keine bedingung für c finden kann, vielleicht sieht ja einer von euch was................
also meine weiteren ansätze:
minimum an der stelle [mm] x_E:
[/mm]
1) [mm] f'(x_E)=0=4*a*x_E^{3}+2*x_E
[/mm]
durch umstellen erhält man dann für [mm] x_E:
[/mm]
[mm] x_E=\wurzel{\bruch{b}{2*a}}
[/mm]
2) der funktionswert an der stelle [mm] x_E [/mm] ist gleich 0:
[mm] f(x_E)=0=a*x_E^{4}+b*x_E^{2}+c
[/mm]
durch einsetzen von [mm] x_E [/mm] kommt man dann auf:
0=27*a+c
jetz fehlt mir nur noch des dumme c, aber vielleicht hat ja einer von euch ne idee.....................
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Hi, Nina,
schau einfach weiter unten!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:38 Di 08.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nina,
zunächst auch Dir ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Kann es sein, daß es heißt "ein Minimum bei O" (also der Buchstabe "O").
Damit wäre dann der Ursprung $O \ ( \ 0 \ | \ 0 \ )$ gemeint und es würde gelten: $f(0) \ = \ 0$
Die Info $f'(0) \ = \ 0$ wird Dir wahrscheinlich nicht ganz weiterhelfen.
Denn durch die gerade Funktion entsteht hier der Ausdruck "$0 \ = \ 0$" ...
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 Di 08.03.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo,
ne des is definitiv kein O..........
außerdem wärs schwachsinn, da hast du recht, hab obendrüber noch en bissl weitergedacht, kannst ja mal gucken, wennst dich interessiert.............
trotzdem danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Di 08.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Hallo Nina,
eine gerade Polynomfunktion (ausgenommen konstante Fkt.) besitzt bei x=0 ja stets ein Extremum.
Wenn wir anehmen, dass bei f=0 ein Minimum gefordert ist, gilt entweder
a)
das Min liegt im Ursprung, d.h. a<0, b=-6a (Wendepunktsbed.)
b) 2 Minima (bei x [mm] \not= [/mm] 0), etwa bei -e und e
Ansatz: [mm] f(x)=a(x+e)^2*(x-e)^2
[/mm]
[mm] f(x)=ax^4-2x^2ab^2+ab^4
[/mm]
Mit f''(1)=0 ergibt sich nur ein möglicher Wert für e
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Hi, Nina,
dass eine Funktion 4.Grades, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse liegt, bei x=0 ein Extremum aufweist, ist logisch, und müsste nicht extra erwähnt werden. Wenn man aber drauf hinweisen möchte, dass es speziell ein Minimum ist, kann daraus ja allenfalls auf das Vorzeichen der Konstanten a geschlossen werden: Etwas wenig für ein Gleichungssystem, mit dem man 3 Konstante ausrechnen möchte.
Ich vermute daher, dass es doch darum gehen könnte, dass es um einen Tiefpunkt auf der x-Achse geht: [mm] T(x_{E}/0). [/mm] Nun: Dann liegt der 2. Tiefpunkt bei [mm] T(-x_{E}/0) [/mm] und bei beiden handelt es sich um "doppelte Nullstellen".
Besserer Ansatz: f(x) = [mm] a*(x^{2}-x_{E}^{2})^{2} [/mm] (da beide NS doppelt!)
Wenn Du das ausmultiplizierst und 2-mal ableitest, erhältst Du (bitte nachprüfen: Rechenfehler möglich!):
[mm] f''(x)=a*(12x^{2}-4x_{E}^{2}) [/mm]
und damit: f''(1) = [mm] a(12-4x_{E}^{2}) [/mm] = 0.
a kann nicht Null sein (erinnerst Du Dich an was??!!), daher muss die Klammer =0 ergeben und somit: [mm] x_{E}=\pm\wurzel{3} [/mm] (das sind die x-Koordinaten der beiden Tiefpunkte!)
So: Und für a kann mann nur sagen, dass es positiv sein muss, weil sonst die beiden Punkte keine Tief- sondern Hochpunkte wären.
Damit hast Du als Lösung eine Funktionsschar, deren Funktionen die Terme haben: [mm] f_{a}(x)= a*(x^{2}-3)^{2} [/mm] mit a > 0.
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Di 08.03.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo zwerglein,
vielen dank, dass du mir nochmal geholfen hast, total lieb von dir.......... :D
wenn du so weiter machst wirst du mein mathe-held!!!!!!!!!
> (erinnerst Du Dich an was??!!)
jo, da erinner ich mich schon dran, aber ich hab die gleichung leider nich auf die form bringen können und die achsensymmetrie hab ich wohl auch mal so etwas unterschlagen.....................
lg nina
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