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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Invarianten Teilräume aus einer Zerlegung des Minimalpolynoms der folgenden Matrix A:
A= [mm] \pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 } [/mm] |
hallo,
also die Bestimmung der Eigenwerte, der Eigenvektoren und des charakteristischen bzw. Minimalpolynoms (hier das gleiche) war nicht schwer.
EW: [mm] x_{1} [/mm] = 0 -->EV: (1,-1,0,0)
[mm] x_{2} [/mm] = 1 -->EV: (0,0,1,-1)
Minimalpolynom: [mm] x^{2}(x^{2} [/mm] -2x +1)
Mir ist klar dass ich folgende Invariante Teilräume habe:
[mm] U_{0} [/mm] = {0}
[mm] U_{1}= [/mm] <(1,-1,0,0)>
[mm] U_{2}= [/mm] <(0,0,1,-1)>
Erste Frage: Ein invarianter Teilraum ist ja immer der ganze Raum. Mein Vektorraum hat die Dimension 4, meine Matrix den Rang 3, hab ich dann also einen Invarianten Unterraum [mm] U4=\IR^{3} [/mm] oder [mm] U4=\IR^{4} [/mm] ?? Ich komm mir grad selbst blöd vor bei der Frage, ich würde sagen [mm] U4=\IR^{3}, [/mm] aber ich bin mir nicht 100% sicher :)
Mein Hauptroblem ist nun aber die Bestimmung der zweidimensionalen Unterräume. Ich habe schon einige Beispiele gelesen, meist einfache mit 2x2 Matrizen, das hilft mir aber nicht weiter. Auch Beispiele in denen das Minimalpolynom schön in Linearfaktoren zerfällt, das ist aber leider auch nicht der Fall.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Di 05.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie die Invarianten Teilräume aus einer
> Zerlegung des Minimalpolynoms der folgenden Matrix A:
> A= [mm]\pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ -2 & -2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & 0 }[/mm]
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> hallo,
>
> also die Bestimmung der Eigenwerte, der Eigenvektoren und
> des charakteristischen bzw. Minimalpolynoms (hier das
> gleiche) war nicht schwer.
> EW: [mm]x_{1}[/mm] = 0 -->EV: (1,-1,0,0)
> [mm]x_{2}[/mm] = 1 -->EV: (0,0,1,-1)
> Minimalpolynom: [mm]x^{2}(x^{2}[/mm] -2x +1)
Ich habs nicht nachgerechnet. Wenns stimmt so ist
[mm] \IR^4=Kern(A^2) \oplus Kern((A-I)^2)
[/mm]
FRED
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> Mir ist klar dass ich folgende Invariante Teilräume habe:
> [mm]U_{0}[/mm] = {0}
> [mm]U_{1}=[/mm] <(1,-1,0,0)>
> [mm]U_{2}=[/mm] <(0,0,1,-1)>
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> Erste Frage: Ein invarianter Teilraum ist ja immer der
> ganze Raum. Mein Vektorraum hat die Dimension 4, meine
> Matrix den Rang 3, hab ich dann also einen Invarianten
> Unterraum [mm]U4=\IR^{3}[/mm] oder [mm]U4=\IR^{4}[/mm] ?? Ich komm mir grad
> selbst blöd vor bei der Frage, ich würde sagen
> [mm]U4=\IR^{3},[/mm] aber ich bin mir nicht 100% sicher :)
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> Mein Hauptroblem ist nun aber die Bestimmung der
> zweidimensionalen Unterräume. Ich habe schon einige
> Beispiele gelesen, meist einfache mit 2x2 Matrizen, das
> hilft mir aber nicht weiter. Auch Beispiele in denen das
> Minimalpolynom schön in Linearfaktoren zerfällt, das ist
> aber leider auch nicht der Fall.
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> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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