Bestimmung von Aut(E) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Sa 04.06.2011 | | Autor: | Muzzy |
| Aufgabe | z.Z.:
Ist f: E [mm] \to [/mm] E biholomorph mit f(0)=0,dann gibt es ein [mm] c\in\IC [/mm] mit |c|=1, so dass f(z)=cz für alle z [mm] \in [/mm] E.(Wobei E die offene Einheitskreisscheibe ist) |
Meine Frage ist nun: Wie sollte ich an diese Aufgabe ran?
Ich weiß z.B das f holomorph ist und somit kann ich eine Taylorentwicklung um z.B den Nullpunkt machen.In dieser Taylorentwicklung dann ein z ausklammern,sodass f(z)= z*g(z) ist(g(z) ist dann halt der Teil was in der Klammer steht,wenn ich z ausklammere).Dann hätte ich schonmal was.Nun weiß ich nicht mehr weiter.Was könnte ich mit g(z) noch machen?Den muss ich ja irgendwie hinbiegen sodass die Aussage stimmt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:11 So 05.06.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> z.Z.:
> Ist f: E [mm]\to[/mm] E biholomorph mit f(0)=0,dann gibt es ein
> [mm]c\in\IC[/mm] mit |c|=1, so dass f(z)=cz für alle z [mm]\in[/mm] E.(Wobei
> E die offene Einheitskreisscheibe ist)
> Meine Frage ist nun: Wie sollte ich an diese Aufgabe ran?
> Ich weiß z.B das f holomorph ist und somit kann ich eine
> Taylorentwicklung um z.B den Nullpunkt machen.In dieser
> Taylorentwicklung dann ein z ausklammern,sodass f(z)=
> z*g(z) ist(g(z) ist dann halt der Teil was in der Klammer
> steht,wenn ich z ausklammere).Dann hätte ich schonmal
> was.Nun weiß ich nicht mehr weiter.Was könnte ich mit
> g(z) noch machen?Den muss ich ja irgendwie hinbiegen sodass
> die Aussage stimmt.
Kennst du das Lemma von Schwarz? Das besagt ja u.a. $|f'(0)| [mm] \le [/mm] 1$, und aus $|f'(0)| = 1$ folgt die Behauptung.
Nimm dir nun die Umkehrfunktion $h : E [mm] \to [/mm] E$ mit $h [mm] \circ [/mm] f = f [mm] \circ [/mm] h = [mm] id_E$. [/mm] Leite $h [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_E$ [/mm] in 0 ab und benutze $|f'(0)|, |h'(0)| [mm] \le [/mm] 1$ und folgere daraus $|f'(0)| = |h'(0)| = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:48 Mo 06.06.2011 | | Autor: | Muzzy |
Hi Felix
danke für deine Antwort.Lemma von Schartz habe ich irgendwie im Skript übersprungen xD
vielen vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mo 06.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hi Felix
>
> danke für deine Antwort.Lemma von Schartz
Ich bin schon lange im Geschäft, aber diese Lemma ist mir unbekannt !
Mann, der Mann heißt nicht Schartz und auch nicht Schwartz , sondern Schwarz.
http://de.wikipedia.org/wiki/Hermann_Amandus_Schwarz
FRED
> habe ich
> irgendwie im Skript übersprungen xD
>
> vielen vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:26 Do 09.06.2011 | | Autor: | Muzzy |
hehe stimmt :D
Im Skript stand Schwartz :O (ich habe mich aber vertippt)
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