Bestimmung von Körpergraden < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:13 Mi 17.11.2004 | | Autor: | quak |
Hallo,
ich habe größere Probleme in Algebra und hoffe hier kann mir jemand helfen.
Ich soll die Körpergrade der Teilkörper von [mm] \IC [/mm] bestimmen:
[ [mm] \IQ( \wurzel{6}): \IQ]
[/mm]
[ [mm] \IQ( \wurzel{3}, \wurzel{5} \wurzel{11}): \IQ]
[/mm]
[ [mm] \IQ( \wurzel{3}+ \wurzel{5}): \IQ]
[/mm]
An sich würde es mir reichen, wenn mir jemand sagt, wie es funktioniert, besonders bei der zweiten.
Danke.
Gruß, quakie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo quak,
In der ersten und dritten Aufgabe hast du eine sogenannte einfache Erweiterung, d.h. der Oberkörper entsteht durch Adjunktion eines neuen Elements.
In diesem Fall ist der Grad der Erweiterung gleich dem Grad des Minimalpolynoms dieses neuen Elements über dem Grundkörper.
Weißt du, was ein Minimalpolynom ist und wie man z.B. das Minimalpolynom von [mm] \sqrt{6} [/mm] über [mm] \IQ [/mm] bestimmt?
Kennst du den Gradsatz? Den kannst du bei der zweiten Aufgabe anwenden. Dadurch reduzierst du das Problem auf den Fall von zwei einfachen Erweiterungen, nämlich [mm] $\IQ(\sqrt{3})/\IQ$ [/mm] und [mm] $\IQ(\sqrt{3})(\sqrt{55})/\IQ(\sqrt{3})$, [/mm] wo in der zweiten Erweiterung der Grundkörper gerade der Oberkörper der ersten Erweiterung ist.
Gruss,
SirJective
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 11:42 Do 18.11.2004 | | Autor: | quak |
Hi,
erstmal danke für deine Antwort.
Wie man das Minimalpolynom bestimmt, weiß ich leider nicht.
Ich weiß, dass man [mm] \wurzel{6} [/mm] zerlegen muss, allerdings nicht, ob in [mm] \IQ( \wurzel{2}, \wurzel{3}) [/mm] oder in [mm] \IQ( \wurzel{2}+ \wurzel{3}).
[/mm]
Was der Gradsatz ist, weiß ich auch, aber anwenden kann ich ihn nicht.
Grüße,
quakie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Di 23.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal wird dir ![[]](/images/popup.gif) dieser Artikel zukünftig sehr weiterhelfen. Vor zehn Jahren habe ich selber mal ein ausführliches, 80 Seiten umfassendes Skript für Lehramtskandidaten zu Körpererweiterungen und zur Galoistheorie geschrieben, nur leider ist es in elektronischer Form nicht mehr verfügbar, sonst hätte ich dich darauf verlinkt. Damals war ich recht fit in Algebra, mittlerweile habe ich vieles vergessen und meine Antworten in diesem Bereich sind mit Vorsicht zu genießen. 
> Ich weiß, dass man [mm]\wurzel{6}[/mm] zerlegen muss, allerdings
> nicht, ob in [mm]\IQ( \wurzel{2}, \wurzel{3})[/mm] oder in [mm]\IQ( \wurzel{2}+ \wurzel{3}).
[/mm]
Zunächst einmal gilt:
[mm] $\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] = [mm] \IQ(\wurzel{2}+\wurzel{3})$,
[/mm]
d.h. [mm] $\wurzel{2} [/mm] + [mm] \wurzel{3}$ [/mm] ist ein primitives Element der Körpererweiterung [mm] $[\IQ(\wurzel{2},\wurzel{3}) [/mm] : [mm] \IQ]$. [/mm] Daher ist es egal, welchen Oberkörper du nimmst. Ist es sowieso, wichtig ist nur, dass dieser [mm] $\sqrt{6}$ [/mm] enthält.
Gesucht ist jetzt das normierte Polynom $p(X)$ kleinsten Grades aus [mm] $\IQ[X]$ [/mm] mit
[mm] $p(\sqrt{6})=0$.
[/mm]
Und es ist klar, dass dies gerade
$p(X) = [mm] X^2 [/mm] - 6 [mm] \in \IQ[X]$
[/mm]
ist, oder? 
Es muss ja mindestens vom Grad $2$ sein, denn sonst wäre [mm] $\sqrt{6} \in \IQ$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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