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| Aufgabe | Weisen Sie nach, dass die Menge [mm] {[a_i;b_i] i \in \IN} [/mm] eine Intervallschachtelung bildet!
Es gilt:
[mm] a_i [/mm] = [mm] (1+1/i)^i
[/mm]
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] b_i [/mm] = (1+1/i)^(i+1)
Zu zeigen:
(1) [mm] a_i [/mm] < [mm] b_i
[/mm]
(2) [mm] a_i [/mm] < a_(i+1)
[mm] \wedge
[/mm]
[mm] b_i [/mm] > b_(i+1)
(3) [mm] (b_i-a_i) \to [/mm] 0 ( i [mm] \to \infty [/mm] ) |
Also: (1) zu zeigen ist für mich kein Problem gewesen, aber bei (2) komme ich gar nicht weiter und bei (3) habe ich nur den Ansatz. Es ist mir gelungen (3) derart zu schreiben: [mm] (1+1/i)^i [/mm] * (1/i)
Es ist eindeutig das (1/i) [mm] \to [/mm] 0 geht für i [mm] \to \infty. [/mm] Ich weiß auch, dass der andere Term konvergent gegen e, also konvergent gegen einen konstanten Wert ist, aber das darf ich natürlich nicht vorraussetzen. Ich muss also noch zeigen, dass [mm] [(1+1/i)^i] [/mm] / i [mm] \to [/mm] 0 geht. Es ist klar, dass das so ist nur wie forme ich das algebraisch so um, dass es eindeutig erkennbar ist?
Wäre nett wenn ihr mir bei (2) und (3) helft. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Di 20.12.2005 | | Autor: | Paulus |
> Weisen Sie nach, dass die Menge [mm]{[a_i;b_i] i \in \IN}[/mm] eine
> Intervallschachtelung bildet!
> Es gilt:
> [mm]a_i[/mm] = [mm](1+1/i)^i[/mm]
> [mm]\wedge[/mm]
> [mm]b_i[/mm] = (1+1/i)^(i+1)
> Zu zeigen:
> (1) [mm]a_i[/mm] < [mm]b_i[/mm]
> (2) [mm]a_i[/mm] < a_(i+1)
> [mm]\wedge[/mm]
> [mm]b_i[/mm] > b_(i+1)
> (3) [mm](b_i-a_i) \to[/mm] 0 ( i [mm]\to \infty[/mm] )
> Also: (1) zu zeigen ist für mich kein Problem gewesen,
> aber bei (2) komme ich gar nicht weiter und bei (3) habe
> ich nur den Ansatz. Es ist mir gelungen (3) derart zu
> schreiben: [mm](1+1/i)^i[/mm] * (1/i)
> Es ist eindeutig das (1/i) [mm]\to[/mm] 0 geht für i [mm]\to \infty.[/mm]
> Ich weiß auch, dass der andere Term konvergent gegen e,
> also konvergent gegen einen konstanten Wert ist, aber das
> darf ich natürlich nicht vorraussetzen. Ich muss also noch
> zeigen, dass [mm][(1+1/i)^i][/mm] / i [mm]\to[/mm] 0 geht. Es ist klar, dass
> das so ist nur wie forme ich das algebraisch so um, dass es
> eindeutig erkennbar ist?
> Wäre nett wenn ihr mir bei (2) und (3) helft. Danke.
>
Hallo
vielleicht habt ihr diesen Satz irgendo mal bewiesen:
Das Produkt von n nichtnegativen Zahlen mit konstanter Summe ist dann und nur dann am grössten, wenn alle Faktoren gleich sind.
Damit kannst du setzen:
[mm] $1*(1+\bruch{1}{i})^i [/mm] < [mm] (1+\bruch{1}{i+1})^{i+1}$
[/mm]
Bei dieser Ungleichung hast du auf der linken Seite (i+1) Faktoren: 1 mal die 1 und i mal den Faktor in der Klammer. Die Summe dieser Faktoren ist 2+1.
Auf der rechten Seite hast du auch (i+1) Faktoren, und zwar sind alle gleich gross. Ihre Summe ist ebenfalls 2+i.
Nach obigem Satz ist also das Produkt auf der rechten Seite maximal, also insbesondere grösser als das Produkt auf der linken Seite.
Die Aufgabe 3) sollte nicht zu schwierig sein:
[mm] $b_i-a_i=(1+\bruch{1}{i})^{i+1}-(1+\bruch{1}{i}) ^i=(1+\bruch{1}{i})^i(1+\bruch{1}{i}-1)=(1+\bruch{1}{i})^i*\bruch{1}{i}$
[/mm]
Der erste Teil ist [mm] $a_i$, [/mm] und da hast du ja gezeigt, dass der kleiner als [mm] $b_i$ [/mm] ist. Die [mm] $b_i$ [/mm] bilden eine monoton fallende Folge, wie bei 2) gezeigt worden ist. das heisst: die Folge [mm] $a_i$ [/mm] ist beschränkt.
[mm] $\bruch{1}{i}$ [/mm] strebt aber gegen Null, womit alles gezeigt ist.
Gruss
Paul
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Danke für die Antwort
(3) hatte ich ja anscheinend selbst fast hinbekommen, aber bei (2) habe ich das Problem das wir diesen Satz nicht bewiesen haben. Ich darf ihn also auch nicht benutzen, wenn ich ihn nicht beweise. Naja ich habe heute wieder Mathe: mal sehen, wie wir es machen
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