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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:08 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Moritz88 |
| Aufgabe | Bestimme die Extrema! Zweite Ableitung ist [mm] f(x)=x^{5}+x^4+x^3+x^2-x
[/mm]
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Mein Ansatz
x ausklammern, dann ist x=0
die Restgleichung nach 1 umgestellt lautet dann
[mm] 1=x^4+x^3+x^2+x
[/mm]
Wie kann ich hier x bestimmen? Ich hab leider ganz vergessen, wie das geht. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 18.09.2006 | | Autor: | murmel |
Gibt es eine genauere Formulierung der Aufgabenstellung?
Ich würde einmal Integrieren, dann hättest du die erste Ableitung f'
und könntest -nachdem du f' Null gesetzt hast - die Nullstellen berechnen.
Du müsstest jedoch überprüfen ob es sich dabei um relative Extremstellen handelt. Die zweite Ableitung hast du ja schon. Die Werte von f' (Also die ermittelten x-Werte) setzt du in die zweite gegebene Ableitung ein.
Sind die Funktionswerte der zweiten gegebenen Ableitung größer als Null ist, dann liegt ein relatives Minimum
vor und anders herum ein Maximum. Man könnte eigentlich nur von absoluten Maxima oder Minima sprechen, wenn man den kompletten Graphen (für x [mm] \to \infty [/mm] ) der Funktion vor Augen hat.
Übrigens, die Werte für die sechs Nullstellen (da das höchste Polynom dieser Gleichung -nach Integration- [mm] x^6 [/mm] sein wird) könntest du mit der Polynomdivision alle sechs Nullstellen ermitteln. Triviale Lösung ist Null, wenn die Konstant nicht wäre.
[mm]\integral_{}^{}{f \left(x^5+x^4+x^3+x^2-x \right) dx}[/mm]
[mm] F(x) = \left( \bruch{1}{6} x^6+\bruch{1}{5}x^5+\bruch{1}{4}x^4+\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2+x+C \right)[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = 0 (Triviale Lösung) Geht nicht! Da ja C steht!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:52 Mo 18.09.2006 | | Autor: | murmel |
An Moritz88
Sind die Funktionswerte der zweiten gegebenen Ableitung größer als Null, dann liegt ein relatives Minimum
vor und anders herum ein Maximum.
Ich hatte mich vorhin verschrieben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mo 18.09.2006 | | Autor: | murmel |
Wie kommst du eigentlich auf 1?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:06 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Moritz88 |
Ersteinmal danke für die Antwort.
Die Aufgabe lautet nur die Extrema und die Wendestellen zu bestimmen. Keine Nullstellen!
Wie kommst du eigentlich auf 1?
Ich hab vergessen zu erwähnen, daß die Wendestellen auch bestimmt werden müssen. Ich hab dann mit den Wendestellen angefangen.
Da hab ich dann ein x ausgeklammert
[mm] f(x)=x(x^4+x^3+x^2+x-1)
[/mm]
Satz von Vieta
x=0
oder
[mm] 0=x^4+x^3+x^2+x-1
[/mm]
[mm] 1=x^4+x^3+x^2+x
[/mm]
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter wie man die anderen vier x erhält. Ich kann mich nur noch irgendwie wage an eine Methode durch Prorbieren erinnern.
Lieber wäre mir nartürlich die Formel, wenn sie nicht allzuschwer ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Mo 18.09.2006 | | Autor: | murmel |
Du musst die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen, wenn du wissen möchtest welche Art von Extrema du vorliegen hast!
Lässt du nach Integration C einfach weg, könntest du mithilfe der Polynomdivision alle x-Werte ermitteln und in f'' einsetzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:48 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Moritz88 |
Du musst die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen, wenn du wissen möchtest welche Art von Extrema du vorliegen hast!
Du meinst die zweite Ableitung, wenn f(x)">0 dann ist die Stelle ein Tiefpunkt, wenn f"(x)<0 ein Hochpunkt.
Um x zu bestimmen muss ich der erste Ableitung gleich 0 setzen. Soweit versteh ich alles.
Es ist nur nach nach Extremstellen gefragt, nicht nach den Punkten, die Funktion muss ich also gar nicht bestimmen.
Soweit ist alles klar, das hab ich verstanden. Ich weiß aber immer noch nicht genau, wie man jetzt die 5 x bei der Wendestelle und den Extremstellen bestimmt. Aber hier komm ich nicht weiter, ich hab mit den Wendestellen angefangen.
Lässt du nach Integration C einfach weg. könntest du mithilfe der Polynomdivision alle x-Werte ermitteln und in f'' einsetzen
Genau da liegt ja mein Problem, ich weiß ja nicht mehr genau wie man mithilfe der Polynomdivision die Werte für x ermitteln kann.
[mm] 0=x^5+x^4+x^3+x^2-x
[/mm]
[mm] x_1=0 [/mm]
Wie krieg ich aber [mm] x_2, x_3 [/mm] X-4 X-5 raus? Da liegt eigentlich mein Problem.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Di 19.09.2006 | | Autor: | murmel |
Erster Schritt:
[mm] (x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] + x) : (x + 1) = [mm] x^3 [/mm] + x
[mm] x^4 [/mm] + [mm] x^3 [/mm]
[mm] x^2 [/mm] + x
[mm] x^2 [/mm] + x
0
[mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] x_2 [/mm] = -1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:43 Mo 18.09.2006 | | Autor: | leduart |
hallo murmel
Ne Formel für Gl. 4. Grades gibt es nicht! Nur wenn du eine Lösung raten kannst und dadurch dann dividieren. Scheint hier aber mit den einfachen ganzen Zahlen nicht zu klappen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:50 Mo 18.09.2006 | | Autor: | murmel |
Ja, das habe ich auch schon mitbekommen! Ich knobele ja noch... .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mo 18.09.2006 | | Autor: | Moritz88 |
hallo murmel
Ne Formel für Gl. 4. Grades gibt es nicht! Nur wenn du eine Lösung raten kannst und dadurch dann dividieren. Scheint hier aber mit den einfachen ganzen Zahlen nicht zu klappen!
Gruss leduart
Wie? Gibt es jetzt noch andere x-Werte, die aber nur durch Raten bestimmt werden können? Dann bleibt mir jetzt nichts übrig als die ganze über durch Probieren die x-Werte zu bekommen. Kann man denn wenigstens, wenn man einen anderen x-Wert außer 0 gefunden hat, die anderen irgendwie durch Rechnen erhalten. Du meinst ja was mit Dividieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:05 Di 19.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Moritz
Wenn du eine Nullstelle x1 ausser der 0 findest, musst du das Polynom durch (x-x1) dividieren. dann kommst du zu ner Gleichung 3. Grades, wieder ne Nullstelle raten, wieder dividieren, dann endlich hast du ne quadratische Gleichung.
Irgendwas mit der Aufgabenstellung ist komisch. Nullstellen von Polynomen 4. Grades macht man nicht auf der Schule.
Gruss leduart.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:34 Di 19.09.2006 | | Autor: | murmel |
leduart hat Recht, das Bestimmen der x-Werte ist ein wenig komplizierter.
Gehen wir vom Polynom 3. Grades aus.
Für [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] hatten wir ja die Lösungen niedergeschrieben.
Es bleibt ohne Rest:
[mm] x^3 + x [/mm]
Diese kubische Gleichung gilt es über ein bestimmtes Verfahren zu lösen.
[mm]\underline{Doch}[/mm] [mm] \underline{vorab:}[/mm]
Zunächst ist es wichtig, dass die Gleichung in Normalform vorliegt.
Also in der Form:
[mm]1)[/mm] [mm] rx^3 + sx^2 + tx + u = 0[/mm]
Man substituiert
[mm] y = x + \bruch{b}{3a}[/mm] und erhält nachstehende allg. Form,
hier liegt sie in der reduzierten Form vor:
[mm] y^3 + py + q = 0[/mm]
Das Glied [mm]rx^2[/mm] kommt nicht vor. Das beschert uns folgenden Lösungsansatz:
Man benutze die Lösungsformel nach CARDANO/TARTAGLIA. Du kannst also ablesen:
p = 1 und q = 0 (Bedeutet, betrachte hier nur die Koeffizienten!)
Gegeben ist eine der CARDANischen Formeln:
[mm]2)[/mm] [mm]p=\bruch{3*r*t - s^2}{3*r^2}[/mm], sie vereinfacht sich zu
[mm]3)[/mm] [mm]p=\bruch{3*r*t}{3*r^2}[/mm],
Wie bei quadratischen Gleichungen hat auch die kubische Gleichung allg. Lösungsformeln, jedoch kommen hier auch Kubikwurzeln vor.
Im quadratischen Lösungsansatz lautet die Formel
[mm]x_1/_2 = - \bruch{p}{2} \pm \wurzel{\left( \bruch{p}{2} \right)^2 -q}[/mm]
Die Diskriminante steht ja in der Wurzel, so auch hier!
[mm]y_2 = \wurzel[3]{- \bruch{q}{2} + \wurzel{ D }}+ \wurzel[3]{- \bruch{q}{2} - \wurzel{ D }}[/mm]
D.h., "D" > 0 und hat genau eine reelle Lösung. (Ich beschränke mich nur auf diesen Fall, mit D > 0! Es gibt noch den Fall D = 0 und D < 0!)
Die reelle Lösungsformel lautet:
[mm]y_2 = \wurzel[3]{- \bruch{q}{2} + \wurzel{\left(\bruch{q}{2}\right)^2 + \left(\bruch{p}{3} \right)^3}}+ \wurzel[3]{- \bruch{q}{2} - \wurzel{\left(\bruch{q}{2}\right)^2 + \left(\bruch{p}{3} \right)^3}}[/mm]
Wäre q ungleich 0, müsste man die Gleichung
[mm]y^2 + y_1 y - \bruch{q}{y_1}[/mm] für die komplexen Lösungen anführen, da q jedoch identsich gleich Null ist
lautet die komplexe Lösung:
[mm]y_3/_4 = \pm i* \wurzel{p}[/mm]
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