Betrag bestimmen < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 So 15.03.2015 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | ich bestimme ich den Betrag folgender komplexer Zahl
z = [mm] \bruch{R}{1+jwRC}
[/mm]
R, w und C sind reelle Zahlen
Lösung: |z| = [mm] R/sqrt(1+(wRC)^2) [/mm] |
ich weiß das folgendes gilt
|z| = [mm] \wurzel{Re^2+Im^2}
[/mm]
aber ich weiß nicht was hier der real- und Imaginärteil ist.
muss ich hier sowohl den Zähler als auch Nenner in die Polarform bringen und dann kann ich den bruch so zusammenfassen, dass ich kein bruch mehr habe (wie nennt man sowas dann? irrationale Zahl? bitte diese frage auch beantworten )
z = [mm] \bruch{R}{1+jwRC} [/mm] = [mm] \bruch{R*e^0}{\wurzel{1+(wRC)^2}e^{arctan(wRC)}}=\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}e^{-arctan(wRC)}
[/mm]
ich würde jetzt die euler formel benutzen
[mm] e^{jx} [/mm] = cos(x)+jsin(x)
darus folgt dann
z = [mm] \bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}*(cos(-arctan(wRC)) [/mm] + j*sin(-arctan(wRC)))
ist das soweit richtig? wie kommt man auf die oben genannte Lösung?
da wurde quasi der teil mit sinus und cosinus weggelassen, wieso?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:28 So 15.03.2015 | | Autor: | rmix22 |
> ich bestimme ich den Betrag folgender komplexer Zahl
>
> z = [mm]\bruch{R}{1+jwRC}[/mm]
>
> R, w und C sind reelle Zahlen
>
> Lösung: |z| = [mm]R/sqrt(1+(wRC)^2)[/mm]
> ich weiß das folgendes gilt
>
> |z| = [mm]\wurzel{Re^2+Im^2}[/mm]
>
> aber ich weiß nicht was hier der real- und Imaginärteil
> ist.
>
> muss ich hier sowohl den Zähler als auch Nenner in die
> Polarform bringen und dann kann ich den bruch so
> zusammenfassen, dass ich kein bruch mehr habe (wie nennt
> man sowas dann? irrationale Zahl? bitte diese frage auch
> beantworten )
>
>
> z = [mm]\bruch{R}{1+jwRC}[/mm] =
> [mm]\bruch{R*e^0}{\wurzel{1+(wRC)^2}e^{arctan(wRC)}}=\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}e^{-arctan(wRC)}[/mm]
>
>
> ich würde jetzt die euler formel benutzen
>
> [mm]e^{jx}[/mm] = cos(x)+jsin(x)
>
> darus folgt dann
>
> z = [mm]\bruch{R}{\wurzel{1+(wRC)^2}}*(cos(-arctan(wRC))[/mm] +
> j*sin(-arctan(wRC)))
>
>
> ist das soweit richtig? wie kommt man auf die oben genannte
> Lösung?
>
> da wurde quasi der teil mit sinus und cosinus weggelassen,
> wieso?
>
Man kann es sicher auch ganz kompliziert und aufwändig rechnen, aber vielleicht hilft dir Folgendes weiter:
Mit [mm] $z=\br{z_1}{z_2}$ [/mm] gilt [mm] $|z|=\br{|z_1|}{|z_2|}$
[/mm]
Gruß RMix
|
|
|
|
