Betrag einer Ungleichung < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie die Menge aller x [mm] \in \IR, [/mm] für die gilt:
$ [mm] |x^2-x| \le x^2 [/mm] + 2x $ |
Um den Betrag in einer Ungleichung wegzukriegen, quadrier ich die Ungleichung einfach (da das ergebnis eines Quadrates immer positiv ist, was das Betragzeichen ja überflüssig macht) oder ich mache eine Fallunterscheidung:
1. $ [mm] x^2-x \le x^2 [/mm] + 2x $
2. $ [mm] x^2-x \ge -(x^2 [/mm] + 2x) $
Ich hoffe ich hab nicht hier schon Fehler gemacht.
zu 1.
$ [mm] x^2-x \le x^2 [/mm] + 2x $ | [mm] -x^2
[/mm]
$ -x [mm] \le [/mm] 2x $ | +x
$ 0 [mm] \le [/mm] 3x $ | :3
$ 0 [mm] \le [/mm] x $
zu 2.
$ [mm] x^2-x \ge -(x^2 [/mm] + 2x) $ | Distributiv
$ [mm] x^2-x \ge -x^2 [/mm] - 2x $ | [mm] +x^2
[/mm]
$ [mm] 2x^2-x \ge [/mm] -2x $ | +2x
$ [mm] 2x^2+x \ge [/mm] 0 $ | :2
$ [mm] x^2+1/2x \ge [/mm] 0 $ | Ausklammern
$ x(x+1/2) [mm] \ge [/mm] 0 $
=> [mm] x_1 [/mm] = 0
=> [mm] x_2 [/mm] = -1/2
Eigentlich kann ich mit der -1/2 ja nichts anfangen oder? Im Schritt davor ist ja schon klar das für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt x [mm] \ge [/mm] 0, da [mm] x^2 [/mm] immer größer als 0 ist für x [mm] \not= [/mm] 0.
Wie stelle ich das nun als Lösung da (vorausgesetzt es ist richtig)?
$M = [mm] \{\IR^+_0\}$
[/mm]
edit: warum wird "x²" nicht angezeigt in latex? hab es nun an relevanten stellen verbessert und in x ^ 2 umgewandelt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> [mm]|x^2-x| \le x^2 + 2x[/mm]
>
>
> Um den Betrag in einer Ungleichung wegzukriegen, quadrier
> ich die Ungleichung einfach (da das ergebnis eines
> Quadrates immer positiv ist, was das Betragzeichen ja
> überflüssig macht) oder ich mache eine
> Fallunterscheidung:
Welche Fälle unterscheidest du denn?
Es geht doch darum, ob [mm]x^2-x[/mm] positiv oder negativ ist.
Für Fall 1: 0<x<1 ist es negativ, DORT gilt also [mm]-(x^2-x)\le x^2 + 2x[/mm] bzw.
[mm]2x^2+x\ge 0[/mm]. Diese Ungleichung wird auch für alle x zwischen 0 und 1 erfüllt.
Im Fall 2: [mm] $x\le [/mm] 0 [mm] \vee [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1$ gilt [mm] $x^2-x\le x^2+2x$ [/mm] bzw. [mm] $0\le [/mm] x$.
Diese Ungleichung wird nur (in diesem Bereich) für [mm] $x\ge [/mm] 1$ erfüllt.
Gruß Abakus
>
> 1. [mm]x^2-x \le x^2 + 2x[/mm]
> 2. [mm]x^2-x \ge -(x^2 + 2x)[/mm]
>
> Ich hoffe ich hab nicht hier schon Fehler gemacht.
>
> zu 1.
> [mm]x^2-x \le x^2 + 2x[/mm] | [mm]-x^2[/mm]
> [mm]-x \le 2x[/mm] | +x
> [mm]0 \le 3x[/mm] | :3
> [mm]0 \le x[/mm]
>
> zu 2.
> [mm]x^2-x \ge -(x^2 + 2x)[/mm] | Distributiv
> [mm]x^2-x \ge -x^2 - 2x[/mm] | [mm]+x^2[/mm]
> [mm]2x^2-x \ge -2x[/mm] | +2x
> [mm]2x^2+x \ge 0[/mm] | :2
> [mm]x^2+1/2x \ge 0[/mm] | Ausklammern
> [mm]x(x+1/2) \ge 0[/mm]
> => [mm]x_1[/mm] = 0
> => [mm]x_2[/mm] = -1/2
> Eigentlich kann ich mit der -1/2 ja nichts anfangen oder?
> Im Schritt davor ist ja schon klar das für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt x [mm]\ge[/mm] 0, da [mm]x^2[/mm] immer größer als 0 ist für x [mm]\not=[/mm]
> 0.
>
> Wie stelle ich das nun als Lösung da (vorausgesetzt es ist
> richtig)?
> [mm]M = \{\IR^+_0\}[/mm]
Du meinst sicher [mm]M = \{\IR^+\}[/mm].
>
> edit: warum wird "x²" nicht angezeigt in latex? hab es nun
> an relevanten stellen verbessert und in x ^ 2 umgewandelt.
>
</x<1>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Di 06.11.2012 | | Autor: | Ifeeldumb |
Danke für die Antwort.
Deine Ausführung hat mich leicht verwirrt um ehrlich zu sein, aber ich hoffe ich hab verstanden was du meinst:
Das x [mm] \le [/mm] 0 für beide Fälle gilt, einerseits im Bereich 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1, was Fall 1 wäre, der Betrag ist negativ, und für Fall 2 (x [mm] \le [/mm] 0 oder 1 [mm] \le [/mm] x). Demnach gibt es nur eine Lösung: M = [mm] \{\IR^+\}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo, Ifeeldumb
> Bestimmen Sie die Menge aller x [mm]\in \IR,[/mm] für die gilt:
> [mm]|x^2-x| \le x^2 + 2x[/mm]
>
>
> Um den Betrag in einer Ungleichung wegzukriegen, quadrier
> ich die Ungleichung einfach (da das ergebnis eines
> Quadrates immer positiv ist, was das Betragzeichen ja
> überflüssig macht) oder ich mache eine
> Fallunterscheidung:
>
> 1. [mm]x^2-x \le x^2 + 2x[/mm]
> 2. [mm]x^2-x \ge -(x^2 + 2x)[/mm]
Gute Wahl! Andernfalls hättest Du eine "Ungleichung vierten Grades", was ich lieber nicht analysieren möchte.
Aber mache Dir klar, daß 1. und 2. gleichwertig zu [mm] $|x^2 [/mm] - x| [mm] \le x^2 [/mm] + 2x$ ist.
Genauer: [mm] $|x^2 [/mm] - x| [mm] \le x^2 [/mm] + x [mm] \gdw x^2 [/mm] - x [mm] \le x^2 [/mm] + 2x$ und [mm] $x-x^2 \le x^2 [/mm] + 2x$.
>
> Ich hoffe ich hab nicht hier schon Fehler gemacht.
Alles richtig!
>
> zu 1.
> [mm]x^2-x \le x^2 + 2x[/mm] | [mm]-x^2[/mm]
> [mm]-x \le 2x[/mm] | +x
> [mm]0 \le 3x[/mm] | :3
> [mm]0 \le x[/mm]
>
Richtig! Genauer [mm] $0\le [/mm] x$ ist äquivalent zu 1.
> zu 2.
> [mm]x^2-x \ge -(x^2 + 2x)[/mm] | Distributiv
> [mm]x^2-x \ge -x^2 - 2x[/mm] | [mm]+x^2[/mm]
> [mm]2x^2-x \ge -2x[/mm] | +2x
> [mm]2x^2+x \ge 0[/mm] | :2
> [mm]x^2+1/2x \ge 0[/mm] | Ausklammern
> [mm]x(x+1/2) \ge 0[/mm]
Bis hierher richtig! Ab hier kann man etwa wie folgt argumentieren:
Wir wissen, daß jede Lösung $x$ die erste Ungleichung erfüllt und damit [mm] $0\le [/mm] x$ ist. Umgekehrt wissen wir,
daß aus [mm] $0\le [/mm] x$ sowohl 1. folgt [mm] ($0\le [/mm] x$ ist ja gleichwertig zu 1.) als auch 2. [mm] ($0\le [/mm] x [mm] \Rightarrow [/mm] x(x+1/2) [mm] \ge [/mm] 0$). Damit ist die Lösungsmenge genau [mm] $\{x\in \IR\colon 0\le x\}$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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