Betrag in Ungleichung < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IR, [/mm] die die jeweilige Ungleichung erfüllen:
a.) |x-1| [mm] \ge [/mm] 3|x+1|
b.) [mm] \bruch{-12}{x+2}\le [/mm] |x-1| +1 mit x [mm] \not=-2
[/mm]
Hinweis: Fallunterscheidung |
Hallo,
ich habe mit der Aufgabe a schon angefangen und wollte wissen, ob ich dabei richtig vorgehe:
|x-1| [mm] \ge [/mm] 3|x+1|
x-1 [mm] \begin{cases} \ge 0, & \mbox{d.h } x \ge 1 \mbox{} \\ \le 0, & \mbox{d.h } x \le 1 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
x+1 [mm] \begin{cases} \ge 0, & \mbox{d.h } x \ge -1 \mbox{} \\ \le 0, & \mbox{d.h } x \le -1 \mbox{} \end{cases }
[/mm]
Fall 1: x [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = x-1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| = x+1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
x-1 [mm] \ge [/mm] 3(x+1) [mm] \gdw [/mm] x-1 [mm] \ge [/mm] 3+3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere [mm] \Rightarrow [/mm] -2x [mm] \ge [/mm] 4 | :2 [mm] \Rightarrow [/mm] x= -2
L1=[-2, [mm] \infty)
[/mm]
Fall 2: -1 [mm] \le [/mm] x < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = -x+1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| = -x-1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
-x+1 [mm] \ge [/mm] -3x-3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
L2 = [-1, [mm] \infty)
[/mm]
Fall 3: x < -1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = -x+1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| = -x-1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
-x+1 [mm] \ge [/mm] -3x-3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
L3 = [mm] [\infty, [/mm] -1)
Ist das richtig? Mein Gefühl sagt mir "Nein" - Mein Kopf sagt "Ich weiß es nicht"
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Hallo,
leider kann ich gerade wegen einer Fehlfunktion des Forums keine Beiträge mehr zitieren.
Daher ganz kurz:
Bei Fall 1 stimmt die Lösungsmenge nicht, da ja nur x-Werte größer gleich 1 in Frage kommen. Bei Fall 2 ist
|x+1|=x+1
und du musst nochmal nachrechnen.
Bei Fall 3 ist wieder die Lösungmenge falsch, siehe Fall 1.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Mi 01.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Ich denke, es soll folgendermaßen richtig sein:
Fall 1: x [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = x-1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| = x+1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
x-1 [mm] \ge [/mm] 3(x+1) [mm] \gdw [/mm] x-1 [mm] \ge [/mm] 3+3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere
[mm] \Rightarrow [/mm] -2x [mm] \ge [/mm] 4 | :2 [mm] \Rightarrow [/mm] x = -2
L1=[1, [mm] \infty) [/mm] Falls es jetzt falsch ist, hab ich es nicht richtig verstanden. Ich hoffe das es mir jemand erklären kann.
Fall 2: -1 [mm] \le [/mm] x < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = -x+1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| =x+1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
-x+1 [mm] \ge [/mm] 3x+3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge \bruch{-1}{2}
[/mm]
L2 = [mm] [\bruch{-1}{2}, [/mm] 1] - Da [mm] \bruch{-1}{2} [/mm] zwischen -1 und 1 liegt
Fall 3: x < -1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x-1| = -x+1
[mm] \Rightarrow [/mm] |x+1| = -x-1
Daraus ergibt sich folgende Ungleichung:
-x+1 [mm] \ge [/mm] -3x-3 - jetzt bringe ich, dass x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \ge [/mm] -1
L3 = Keine Lösungsmenge
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Hallo,
nach wie vor kann ich deine Beiträge nicht zitieren, bei anderen funktioniert es. Die Ursache ist mir noch nicht klar, aber dies zur Erklärung weshalb ich es nicht tue.
Fall 1 ist jetzt richtig.
Beim zweiten Fall hast du bei der Division durch -4 vergessen, die Relation umzudrehen.
Der Fall 3 ist wiederum richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Do 02.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Hallo, danke erstmal für die Hilfe.
Bei der b.) hab ich bei Fall 1: x [mm] \ge [/mm] 1 folgendes: |x-1|=x-1
[mm] \bruch{-12}{x+2} \le [/mm] x-1+1 | *(x+2)
-12 [mm] \le x^2 [/mm] + 2x
Wie ich weiter hier vorgehen soll, bin ich mir nicht sicher und bitte daher um Rat.
Bei Fall 2: x [mm] \le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow [/mm] |x-1|=-x+1
[mm] \bruch{-12}{x+2} \le [/mm] x+2 | *(x+2)
-12 [mm] \le x^2 [/mm] + 4 | -4
-16 [mm] \le x^2
[/mm]
Hier weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen soll. Das [mm] x^2 [/mm] irritiert mich bei den beiden Fällen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:07 Do 02.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo, danke erstmal für die Hilfe.
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> Bei der b.) hab ich bei Fall 1: x [mm]\ge[/mm] 1 folgendes:
> |x-1|=x-1
> [mm]\bruch{-12}{x+2} \le[/mm] x-1+1 | *(x+2)
> -12 [mm]\le x^2[/mm] + 2x
Es ergibt sich: [mm] $x^2+2x+12 \ge [/mm] 0$. Das ist aber richtig, denn
[mm] x^2+2x+12=x^2+2x+1+11=(x+1)^2+11 \ge [/mm] 11.
>
> Wie ich weiter hier vorgehen soll, bin ich mir nicht sicher
> und bitte daher um Rat.
>
> Bei Fall 2: x [mm]\le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow[/mm] |x-1|=-x+1
> [mm]\bruch{-12}{x+2} \le[/mm] x+2 | *(x+2)
> -12 [mm]\le x^2[/mm] + 4 | -4
Das bekommst Du nur, wenn x>-2 ist !
> -16 [mm]\le x^2[/mm]
Das ist doch trivialerweise richtig ! Deine Ungl. stimmt schon mal für -2<x [mm] \le [/mm] 1
Betrachte jetzt noch ( innerhalb von Fall 2) x<-2.
FRED
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> Hier weiß ich auch nicht wie ich weiter vorgehen soll. Das
> [mm]x^2[/mm] irritiert mich bei den beiden Fällen.
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