Betrag komplexer Zahl diffbar. < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:29 Do 19.03.2015 | | Autor: | Petra123 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie, an welchen Stellen [mm] z_{0} \in \IC [/mm] die folgende Funktion [mm] \IC \to \IC [/mm] jeweils differenzierbar ist:
[mm] \odot [/mm] z [mm] \mapsto [/mm] |z| |
Hallo,
ich sitze momentan an der Aufgabe, zu zeigen, an welchen Stellen die Funktion z [mm] \mapsto [/mm] |z| differenzierbar ist.
Ich sollte vielleicht an dieser Stelle sagen, dass ich bei meiner Recherche auch über die Differentialgleichungen von Cauchy-Riemann gestolpert bin, da wir diese aber noch nicht in der Vorlesung hatten, dürfen wir sie (noch) natürlich nicht benutzen.
Nun habe ich zuvor schon einige andere Funktionen behandelt, so z.B.
z [mm] \mapsto [/mm] z
z [mm] \mapsto z^{n}
[/mm]
z [mm] \mapsto e^{z}
[/mm]
z [mm] \mapsto \overline{z}
[/mm]
z [mm] \mapsto z*\overline{z}
[/mm]
und das bisher auch echt gut hinbekommen, nur bei der obigen Aufgabe fehlt mir noch ein wenig zur Lösung, weswegen ich ja hier bin :)
Zunächst habe ich schon herausgefunden, dass die Funktion z [mm] \mapsto [/mm] |z| nirgends auf [mm] \IC [/mm] differenzierbar ist, weswegen es ja eigentlich leicht fallen sollte, zwei Grenzwerte zu finden, die sich unterscheiden. Trotzdem habe ich das bisher nicht geschafft.
Ansatz 1:
Zunächst habe ich versucht das ganze mit der h-Methode zu machen, weil das bei den vorherigen Aufgaben auch recht gut geklappt hatte, also
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h}
[/mm]
Dabei habe ich benutzt, dass z [mm] \mapsto [/mm] |z| auch geschrieben werden kann als z [mm] \mapsto \wurzel{z*\overline{z}}.
[/mm]
Dann folgt:
z [mm] \mapsto \wurzel{z*\overline{z}}; [/mm]
h = [mm] h_{1} [/mm] + [mm] h_{2}; h_{1} [/mm] = a, [mm] h_{2} [/mm] = ib
[mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} - \wurzel{z*\overline{z}}}{h_{1}}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} - \wurzel{z*\overline{z}}}{h_{1}} [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}}}{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}}}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(z+h_{1})*(\overline{z}+h_{1}) - z\overline{z}}{h_{1}* (\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{z*h_{1} + \overline{z} * h_{1} + h_{1}^{2}}{h_{1}* (\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{z + \overline{z} + h_{1}}{(\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}
[/mm]
= [mm] \limes_{a\rightarrow 0} \bruch{2x + a}{(\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}
[/mm]
Nun finde ich jedoch nicht, dass die Rechnung allzu schön ist, zumal ja im Nenner noch eine Menge Dinge stehen, die bisher nicht beachtet wurden. Vielleicht fällt Euch hier ja ein besserer Weg ein, womit ich dann auch noch den Grenzwert für ein komplexes [mm] h_{2} [/mm] mit einbringe.
Ansatz 2:
Ich habe neben der h-Methode natürlich noch eine weitere Möglichkeit Differenzierbarkeit zu prüfen, nämlich über Folgen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(z_{n}) - f(z_{0})}{z_{n} - z_{0}}
[/mm]
Hierbei betrachte ich eine Folge [mm] z_{n}, [/mm] die als Grentzwert [mm] z_{0} [/mm] besitzt, so zum Beispiel:
[mm] z_{n1} [/mm] = [mm] z_{0} [/mm] + [mm] \bruch{z_{0}}{n} [/mm] = [mm] z_{0} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] z_{n2} [/mm] = [mm] z_{0} [/mm] * [mm] \bruch{z_{0}* i}{n} [/mm] = [mm] z_{0} [/mm] * (1 + [mm] \bruch{i}{n})
[/mm]
Ich habe also eine Folge mit und eine ohne Imaginärteil.
Doch wenn ich versuche dies einzusetzen, komme ich bisher noch nicht so recht weiter:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(z_{n}) - f(z_{0})}{z_{n} - z_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|z_{0} * (1 + \bruch{1}{n})| - |z_{0}|}{z_{0} * (1 + \bruch{1}{n}) - z_{0}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|z_{0} * (1 + \bruch{1}{n})| - |z_{0}|}{\bruch{z_{0}}{n}}
[/mm]
Vielleicht kann mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich geschickt mit den Beträgen rechnen kann, um am Ende ein Ergebnis zu bekommen, sodass sich beide Grenzwerte unterscheiden.
Ich hoffe, einer von Euch, kann sich meiner erbarmen, und mir helfen :)
Liebe Grüße
Petra
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Do 19.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Untersuchen Sie, an welchen Stellen [mm]z_{0} \in \IC[/mm] die
> folgende Funktion [mm]\IC \to \IC[/mm] jeweils differenzierbar ist:
>
> [mm]\odot[/mm] z [mm]\mapsto[/mm] |z|
> Hallo,
>
> ich sitze momentan an der Aufgabe, zu zeigen, an welchen
> Stellen die Funktion z [mm]\mapsto[/mm] |z| differenzierbar ist.
>
> Ich sollte vielleicht an dieser Stelle sagen, dass ich bei
> meiner Recherche auch über die Differentialgleichungen von
> Cauchy-Riemann gestolpert bin, da wir diese aber noch nicht
> in der Vorlesung hatten, dürfen wir sie (noch) natürlich
> nicht benutzen.
schade, das ist ein schöner Satz. (![[]](/images/popup.gif) Satz 29.4).
Zur Aufgabe (ich mache es ähnlich wie Du beim Ansatz 2, vielleicht siehst
Du selbst, wie Du Deinen dann fertig bekommst):
$z [mm] \mapsto [/mm] |z|$ ist sicherlich schonmal nicht diff'bar an [mm] $z_0 \not=0\,.$ [/mm] Denn:
Sei $0 [mm] \not=z_0=x_0+iy_0 \in \IR +i\IR \cong \IC.$ [/mm] Sei durchweg $x [mm] \not=0$ [/mm] reell. Dann gilt einerseits
[mm] $\frac{|z_0+x|-|z_0|}{z_0+x-z_0}=\frac{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}-\sqrt{x_0^2+y_0^2}}{x}$
[/mm]
[mm] $=\frac{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}-\sqrt{x_0^2+y_0^2}}{x}*\frac{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2}}{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2}}$
[/mm]
[mm] $=\frac{x^2+2xx_0}{x*(\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2})}=\frac{x}{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2}}+\frac{2x_0}{\sqrt{x_0^2+2xx_0+x^2+y_0^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2}} \to [/mm] ...$ bei $x [mm] \to [/mm] 0$
sowie andererseits (Du kannst hier auch, wenn Dir das lieber ist, $y [mm] \in \IR \setminus \{0\}$ [/mm] anstatt [mm] $x\,$ [/mm]
schreiben und am Ende $y [mm] \to [/mm] 0$ laufen lassen)
[mm] $\frac{|z_0+ix|-|z_0|}{z_0+ix-z_0}=\frac{|x_0+i(y_0+x)|-|x_0+iy_0|}{x_0+iy_0+ix-(x_0+iy_0)}=\frac{x}{i*(\sqrt{x_0^2+(y_0+x)^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2})}+\frac{2y_0}{i*(\sqrt{x_0^2+(y_0+x)^2}+\sqrt{x_0^2+y_0^2})}$ $\to$ $...\,$ [/mm] bei $x [mm] \to [/mm] 0$
(Schreibe, wenn Du magst, noch den letzten Grenzwert in üblicher
Darstellung einer komplexen Zahl: Realteil + i*Imaginärteil.)
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, würde die Gleichheit der obigen
Grenzwerte [mm] ($\lim_{\IR \setminus \{0\} \ni x \to 0} [/mm] ...$) dann
[mm] $2ix_0=2y_0$
[/mm]
nach sich ziehen. Wegen [mm] $y_0 \in \IR$ [/mm] muss dann [mm] $x_0=0$ [/mm] sein, was aber wiederum
[mm] $y_0=0$ [/mm] und damit [mm] $z_0=0$ [/mm] nach sich ziehen würde. Wir hatten aber [mm] $z_0 \in \IC \setminus \{0\}$.
[/mm]
Und dass die Betragsfunktion an der Stelle 0 nicht diff'bar ist, ist klar. Wäre
sie es, so wären insbesondere auch der rechtsseitige und linksseitige
Differentialquotient dort gleich. Aber $1 [mm] \not=-1$.
[/mm]
P.S. Merke: Oft ist es bei [mm] $\sqrt{blabla}-\sqrt{blubb}$ [/mm] sinnvoll, an eine Erweiterung
mit der 3. binomischen Formel zu denken:
[mm] $\sqrt{blabla}-\sqrt{blubb}=\red{(}\sqrt{blabla}-\sqrt{blubb}\red{)}*\frac{\sqrt{blabla}+\sqrt{blubb}}{\sqrt{blabla}+\sqrt{blubb}}=\frac{blabla-blubb}{\sqrt{blabla}+\sqrt{blubb}}$
[/mm]
Gruß,
Marcel
P.P.S. Verzeihe mir, wenn ich mir Deine doch sehr lange folgende Rechnung
noch nicht ganz angeguckt habe. Ich habe die Hoffnung, dass sich Deine
Frage eh von alleine klären wird, wenn Du meine obige Rechnung verstehst
und das dann analog auf Deinen Ansatz 2 überträgst!
> Nun habe ich zuvor schon einige andere Funktionen
> behandelt, so z.B.
>
> z [mm]\mapsto[/mm] z
> z [mm]\mapsto z^{n}[/mm]
> z [mm]\mapsto e^{z}[/mm]
> z [mm]\mapsto \overline{z}[/mm]
>
> z [mm]\mapsto z*\overline{z}[/mm]
>
> und das bisher auch echt gut hinbekommen, nur bei der
> obigen Aufgabe fehlt mir noch ein wenig zur Lösung,
> weswegen ich ja hier bin :)
>
> Zunächst habe ich schon herausgefunden, dass die Funktion
> z [mm]\mapsto[/mm] |z| nirgends auf [mm]\IC[/mm] differenzierbar ist,
> weswegen es ja eigentlich leicht fallen sollte, zwei
> Grenzwerte zu finden, die sich unterscheiden. Trotzdem habe
> ich das bisher nicht geschafft.
>
> Ansatz 1:
>
> Zunächst habe ich versucht das ganze mit der h-Methode zu
> machen, weil das bei den vorherigen Aufgaben auch recht gut
> geklappt hatte, also
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h}[/mm]
>
> Dabei habe ich benutzt, dass z [mm]\mapsto[/mm] |z| auch geschrieben
> werden kann als z [mm]\mapsto \wurzel{z*\overline{z}}.[/mm]
>
> Dann folgt:
>
> z [mm]\mapsto \wurzel{z*\overline{z}};[/mm]
> h = [mm]h_{1}[/mm] + [mm]h_{2}; h_{1}[/mm] = a, [mm]h_{2}[/mm] = ib
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(z_{0}+h) - f(z_{0})}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} - \wurzel{z*\overline{z}}}{h_{1}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} - \wurzel{z*\overline{z}}}{h_{1}}[/mm]
> * [mm]\bruch{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}}}{\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{(z+h_{1})*(\overline{z}+h_{1}) - z\overline{z}}{h_{1}* (\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{z*h_{1} + \overline{z} * h_{1} + h_{1}^{2}}{h_{1}* (\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{z + \overline{z} + h_{1}}{(\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{a\rightarrow 0} \bruch{2x + a}{(\wurzel{(z+h_{1})*(\overline{z+h_{1}})} + \wurzel{z*\overline{z}})}[/mm]
>
> Nun finde ich jedoch nicht, dass die Rechnung allzu schön
> ist, zumal ja im Nenner noch eine Menge Dinge stehen, die
> bisher nicht beachtet wurden. Vielleicht fällt Euch hier
> ja ein besserer Weg ein, womit ich dann auch noch den
> Grenzwert für ein komplexes [mm]h_{2}[/mm] mit einbringe.
>
>
> Ansatz 2:
>
> Ich habe neben der h-Methode natürlich noch eine weitere
> Möglichkeit Differenzierbarkeit zu prüfen, nämlich über
> Folgen:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(z_{n}) - f(z_{0})}{z_{n} - z_{0}}[/mm]
>
> Hierbei betrachte ich eine Folge [mm]z_{n},[/mm] die als Grentzwert
> [mm]z_{0}[/mm] besitzt, so zum Beispiel:
>
> [mm]z_{n1}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] + [mm]\bruch{z_{0}}{n}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
Die Bezeichnung ist etwas unglücklich; und meinst Du hier nicht eher
[mm] $z_0+1/n$?
[/mm]
(Besser könntest Du schreiben: [mm] $(z^{(1)}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist gegeben durch
[mm] $z^{(1)}_n:=z_0+1/n$.)
[/mm]
> [mm]z_{n2}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * [mm]\bruch{z_{0}* i}{n}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{i}{n})[/mm]
Meintest Du hier nicht eher
[mm] $z_0+\red{i}/n$?
[/mm]
(Besser könntest Du schreiben: [mm] $(z^{(2)}_n)_{n \in \IN}$ [/mm] ist gegeben durch
[mm] $z^{(2)}_n:=z_0+\red{i}/n$.)
[/mm]
> Ich habe also eine Folge mit und eine ohne Imaginärteil.
>
> Doch wenn ich versuche dies einzusetzen, komme ich bisher
> noch nicht so recht weiter:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{f(z_{n}) - f(z_{0})}{z_{n} - z_{0}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|z_{0} * (1 + \bruch{1}{n})| - |z_{0}|}{z_{0} * (1 + \bruch{1}{n}) - z_{0}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|z_{0} * (1 + \bruch{1}{n})| - |z_{0}|}{\bruch{z_{0}}{n}}[/mm]
>
> Vielleicht kann mir hier jemand einen Tipp geben, wie ich
> geschickt mit den Beträgen rechnen kann, um am Ende ein
> Ergebnis zu bekommen, sodass sich beide Grenzwerte
> unterscheiden.
>
> Ich hoffe, einer von Euch, kann sich meiner erbarmen, und
> mir helfen :)
>
> Liebe Grüße
>
> Petra
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Do 19.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> Hierbei betrachte ich eine Folge [mm]z_{n},[/mm] die als Grentzwert
> [mm]z_{0}[/mm] besitzt, so zum Beispiel:
>
> [mm]z_{n1}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] + [mm]\bruch{z_{0}}{n}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{1}{n})[/mm]
>
> [mm]z_{n2}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * [mm]\bruch{z_{0}* i}{n}[/mm] = [mm]z_{0}[/mm] * (1 +
> [mm]\bruch{i}{n})[/mm]
>
> Ich habe also eine Folge mit und eine ohne Imaginärteil.
bist Du Dir da sicher? Teste es notfalls mal mit Beispielen, etwa
[mm] $z_0=3+i*7$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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