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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:10 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Nicky09 |
Hi zusammen,
suche nun schon länger nach vernünftigen Erklärungen und habe auch Lösungen zu meinem Beispiel gefunden aber sowas bringt mich nicht wircklich weiter wenn ich nicht begreife was ich da kopiere :)
Also es geht um die Gleichung:
|x+1| = |x-1|
Hier soll ich nun Lösungen erarbeiten.
Ich weiß man unterscheidet in Fällen für x >=0 und x<0 nur wie genau gehe ich hier vor?
Kann ich die Betragsstriche einfach entfernen für x > 0 und bei x > 0 diese durch einen Vorzeichenwechsel ersetzen?
Ich weiß wircklich nicht wo ich anfangen soll bzw wie:
für x > 0 ergibt sich dann etwa:
|x+1| = |x-1|
x+1 = Nullstelle bei -1
x-1 = Nullstelle bei 1
somit x1=-1 (trifft nicht zu) und x2=1 (trifft zu)?
Währe über Hilfe sehr dankbar, an meiner alten Schule haben wir leider das Thema in der Form nie behandelt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> |x+1| = |x-1|
Um zur Lösung zu gelangen, würde ich einfach die vier möglichen Fälle durchprüfen:
1.) x+1 = x-1
2.) -(x+1) = x-1
3.) x+1 = -(x-1)
4.) -(x+1) = -(x-1)
Dann guckst du, was jeweils für x raus kommt, und setzt zur Kontrolle die gefundenen x-Werte in die Ausgangs-Gleichung ein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Nicky09 |
Dann gelange ich immer auf 0? :)
Fall:1
I. x+1 = x-1 |-1
II. x = x |-x
Da aber X !0 kann das schon ja nicht stimmen, bzw trifft der Fall nicht zu?.
Fall: 2
I. -(x+1) = x-1
II. -x-1 = x-1|+1
III. -x=x |+x
IV. 2x=0 ?
Fall: 3
I. x+1 = -(x-1)
II x+1 = -x+1 |-1
III x = -x |+x
IV 2x=0?
Fall 4:
I. -(x+1) = -(x-1)
II. -x-1 = -x+1 |11
III -x = -x |+x
Da aber X !0 kann das schon ja nicht stimmen, bzw trifft der Fall nicht zu?.
Hoffentlich hab ich mich nicht zu doll verrechnet, und wie gehts dann nun weiter oder bin ich hier fertig?
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Hallo!
> Fall:1
> I. x+1 = x-1 |-1
> II. x = x |-x
Hier hast du falsch gerechnet:
II. x = x-2
wäre der nächste Zwischenschritt (du rechnest ja auf beiden Seiten minus 1!)
Wenn du nun noch auf beiden Seiten x abziehst, kannst du erkennen, dass
III. 0 = -2
herauskommt, also eine falsche Aussage. Die Gleichung hat folglich keine Lösungen.
> Fall: 2
> I. -(x+1) = x-1
> II. -x-1 = x-1|+1
> III. -x=x |+x
> IV. 2x=0 ?
... Und daraus folgt x = 0, und das ist eine richtige Lösung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Fall: 3
> I. x+1 = -(x-1)
> II x+1 = -x+1 |-1
> III x = -x |+x
> IV 2x=0?
Genau, also erhältst du wieder x = 0 als Lösung.
> Fall 4:
>
> I. -(x+1) = -(x-1)
> II. -x-1 = -x+1 |11
> III -x = -x |+x
Vom zweiten zum dritten Schritt ist wieder ein Fehler passiert. Du dürftest auch hier auf eine falsche Aussage kommen.
--> Insgesamt erfüllt nur x = 0 die Gleichung, probier's aus!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicky!
Die o.g. Unterscheidungen der Fallunterscheidungen sind die maximal auftretenden Fälle.
Jedoch solltest Du Dir klar machen, dass z.B. der Fall II mit $x+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ und $x-1 \ < \ 0$ gar nicht auftreten kann, da sich diese beiden Ungleichungen widersprechen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Sa 10.10.2009 | | Autor: | Nicky09 |
Gilt es hier auch nach der Bedingung zu gehn?
Z.b.
x+1 |-> x=-1 und nun muss geprüft werden ob diese Bedingung erfüllt wird?
Z.b. hab ich ein Buch von Papular da,
hier wird angegeben das die Betragsfunktion nach x aufgelöst wird und der X-Wert dann als Bedingung gilt.
z.B.
|2x-1| = -x+1
2x-1 >= 0 d.h. x >= 0,5
Nun wird die entsprechende Funktion aufgelöst nach x und ich erhalte x=2/3 somit ist die Bedingung von 0,5 erfüllt.
Nur wie verhält sich das dann bei 2 Betragsfunktionen wie bei meiner von oben?
Gelten dann jeweils die Bedingung jeder Funktion und ich muss Schaun ob der X-Wert nach dem Auflösen im Bereich beider Bedingungen liegt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:39 Sa 10.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
|x+1|=|x-1|
Fallunterscheidung:
a) sowohl x+1>0 als auch x-1>0 d.h. x>1
man kann beide || weglassen
also x+1=x-1 keine Loesung.
b)x+1>0 aber x-1<0 also -1<x<1
dann ist |x-1|=-(x-1)=-x+1
also x+1=-x+1 x=0
c) x+1<0 x-1<0 also x<-1
-x-1==x+1 keine Loesung
also nur x=0 ist Loesung.
Du musst die Fallunterscheidungen fuer beide seiten machen, also hast du bei Gleichungen (oder Ungleichungen) mit 2 Betraegen immer 3 Faelle.
(wenn noch mehr Betraege auftreten entsprechend mehr Faelle).
Gruss leduart
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> |x+1| = |x-1|
Hallo Nicky,
diese Gleichung könnte man auch "anschaulich" lösen.
Wenn a und b zwei beliebige reelle Zahlen sind, so ist
|a-b| der Abstand der beiden auf der Zahlengeraden
markierten Punkte a und b. In deiner Gleichung ist die
linke Seite:
$\ |x+1|\ =\ |x-(-1)|\ =\ Abstand\ des\ Punktes\ x\ von\ -1$
und die rechte Seite:
$\ |x-1|\ =\ |x-(+1)|\ =\ Abstand\ des\ Punktes\ x\ von\ +1$
Damit linke und rechte Seite übereinstimmen, muss
also x von -1 und von +1 gleich weit entfernt sein.
Nun ist es offensichtlich, dass dies nur für die Zahl
stimmen kann, die im Mittelpunkt zwischen -1 und +1
sitzt, mit anderen Worten für x=0.
Kleiner Bonus:
Mit diesem kleinen "Trick" kannst du alle Gleichungen
der Sorte
|x-5| = |x-13|
|x+7| = |x-10|
|x+1| = |x+17|
.......
leicht lösen !
LG Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:49 So 11.10.2009 | | Autor: | Nicky09 |
Hallo Al-Chwarizmi,
gute und logische Ausführung vielen Dank.
Leider jedoch bei uns unbrauchbar da wir stets ausführlich die Lösungswege usw. beschreiben sollen.
Dennoch sehr interessant für die Überprüfung auf Richtigkeit der Ergebnisse :)
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> gute und logische Ausführung vielen Dank.
> Leider jedoch bei uns unbrauchbar da wir stets ausführlich
> die Lösungswege usw. beschreiben sollen.
>
> Dennoch sehr interessant für die Überprüfung auf
> Richtigkeit der Ergebnisse :)
Nach meiner Ansicht ist diese "gute und logische
"Ausführung" sehr wohl ein Lösungsweg, und ich
sehe nicht, weshalb dies "unbrauchbar" sein sollte.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:23 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Dass x =1 keine Lösung von
$|x+1| = |x-1| $
ist sieht man sofort.
Somit: $|x+1| = |x-1| [mm] \gdw [/mm] ( [mm] \bruch{x+1}{x-1}= [/mm] 1$ oder [mm] $\bruch{x+1}{x-1}= [/mm] -1)$
Die Gleichung [mm] $\bruch{x+1}{x-1}= [/mm] 1$ hat keine Lösung und die Gleichung [mm] $\bruch{x+1}{x-1}= [/mm] 1$ hat die Lösung x = 0.
Fazit: $|x+1| = |x-1| [mm] \gdw [/mm] x=0 $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Auch ich sehe die von Al vorgeschlagenen Methode als brauchbar an.
Rechnerisch kann man Aufgaben der Form
|x-5| = |x-13|
|x+7| = |x-10|
|x+1| = |x+17|
sehr einfach folgendermaßen lösen:
Gegeben: |x-a|=|x-b|
Fall 1: a =b. Jedes x löst obige Gleichung.
Fall 1: a [mm] \not= [/mm] b. Dann ist x = b keine Lösung und
$ |x-a|=|x-b| [mm] \gdw \bruch{x-a}{x-b}= [/mm] -1 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] \bruch{a+b}{2}$
[/mm]
FRED
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