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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Mi 23.10.2013 | | Autor: | elacs |
Folgende Aufgabe soll nach x aufgelöst werden:
|x-4|=|2x+3|
Mein Ansatz ist es nun die Beträge mit x >= 4 aufzulösen:
x-4=2x+3
Nach umformen erhalte ich dann:
x=-7.
Dies entspricht auch der Aufgaben-Lösung in meinem Übungsheft.
Aber x ist doch jetzt nicht >= 4 sonder kleiner.
Wieso ist -7 dennoch richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Mi 23.10.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Folgende Aufgabe soll nach x aufgelöst werden:
> |x-4|=|2x+3|
>
> Mein Ansatz ist es nun die Beträge mit x >= 4
> aufzulösen:
> x-4=2x+3
>
> Nach umformen erhalte ich dann:
> x=-7.
>
> Dies entspricht auch der Aufgaben-Lösung in meinem
> Übungsheft.
> Aber x ist doch jetzt nicht >= 4 sonder kleiner.
> Wieso ist -7 dennoch richtig?
nein, da ist was verloren gegangen:
1. Fall: Sei $x [mm] \ge 4\,,$ [/mm] dann ... folgt (wie bei Dir), dass nur $x=-7$ die Gleichung
lösen würde. Wegen $-7 [mm] \not \ge [/mm] 4$ hat die Gleichung also keine Lösung im
Falle $x [mm] \ge 4\,.$
[/mm]
Es gibt aber noch andere Fälle, die zu betrachten sind:
Für $x < [mm] 4\,$ [/mm] kann man zwei Unterfälle betrachten:
Fall 2a): Sei $-1,5 [mm] \le [/mm] x < [mm] 4\,.$
[/mm]
Fall 2b): Sei $x < [mm] -1,5\,.$
[/mm]
Im Falle 2b) ist dann klar, dass dort die Lösung [mm] $x=-7\,$ [/mm] rauskommen wird (klar
ist das mit obiger Rechnung), denn hier gilt:
$|x-4|=|2x+3|$ [mm] $\iff$ [/mm] $-(x-4)=-(2x+3)$
und multiplizierst Du die letzte Gleichung mit [mm] $-1\,,$ [/mm] so geht das rechnerisch
in das über, was Du im ersten Fall gesehen hast.
P.S. Ein alternativer Lösungsweg:
Beide Seiten der Gleichung
$|x-4|=|2x+3|$
sind [mm] $\ge 0\,.$ [/mm] Daher ist die Gleichung äquivalent zu der, wenn man sie quadriert
($x=y$ [mm] $\iff$ $x^2=y^2$ [/mm] ist richtig, wenn [mm] $x,y\,$ [/mm] das gleiche Vorzeichen haben - aber:
Wenn verschiedene Vorzeichen möglich sind, dann kann man aus [mm] $x^2=y^2$ [/mm] nur
[mm] $(x+y)*(x-y)=0\,,$ [/mm] also $x=y$ ODER $x=-y$ folgern):
$|x-4|=|2x+3|$ [mm] $\iff$ $|x-4|^2=|2x+3|^2$ $\iff$ $(x-4)^2=(2x+3)^2\,.$
[/mm]
Rechnest Du weiter, so kommst Du zur gleichwertigen Gleichung
[mm] $3x^2+20x-7=0$ $\iff$ $x^2+\frac{20}{3}x-\frac{7}{3}=0\,.$
[/mm]
Damit wegen  PQFormel
[mm] $x_{1,2}=-\frac{10}{3}\pm\frac{\sqrt{10^2+3*7}}{3}=-\frac{10}{3}\pm\frac{11}{3}\,.$
[/mm]
Also [mm] $x_1=-21/3=-7$ [/mm] und [mm] $x_2=1/3\,.$ [/mm] (Den Wert von [mm] $x_2$ [/mm] solltest Du auch im
Fall 2b) rechnerisch ermitteln können!)
Gruß,
Marcel
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