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| Aufgabe | Lösen folgender Betrags(un)gleichung (Bestimmungsgleichung!).
[mm]\left|x+a\right| >b[/mm]
[mm]x[/mm] -Unbekannte-
[mm]a,b[/mm] -Konstanten
[mm]x,a,b\in\IR[/mm]
[mm]b\ge0[/mm] |
Hallo Leute!!
... einen schönen Freitag Abend allerseits!
... ich hab bei meinem anderen Artikel dazu noch gar nicht geantwortet, war gestern etwas Stress.
Aber nun zu meiner Frage:
In der Aufgabestellung hat ich eine Einschrenkung für [mm]b[/mm] angegben. Ich denke, sie sollte gemacht werden, da sonst die Ungleichung für alle [mm]x\in\IR[/mm] wahr ist.
Als erstes kommt eine Fallunterscheidung:
1.Fall
[mm]x+a\ge0[/mm]
Dieser Fall gilt für:
[mm]x\ge-a[/mm]
Für diesen Fall ergibt als Lösung:
[mm]x+a>b[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x>-a+b[/mm]
2.Fall
[mm]x+a<0[/mm]
Dieser Fall gilt für:
[mm]x<-a[/mm]
Für diesen Fall ergibt als Lösung:
[mm]-(x+a)>b[/mm]
[mm] \gdw[/mm] [mm]x<-a-b[/mm]
Und wie geht es jetzt sinnvoll![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") weiter?
Also jetzt müssen ja zeuerst die beiden Bedingungen des 1. und 2. Falls "zusammgelegt" werden, danach die der beiden Fälle. Aber wie? Woher weis ich, welcher ausdruck den größeren Wert hat?
Bitte helft mir ein wenig auf die Strünge!
Schon mal DANKE für eure Antworten!
Mit freundlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Fr 21.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Goldener Schnitt,
> Lösen folgender Betrags(un)gleichung
> (Bestimmungsgleichung!).
> [mm]\left|x+a\right| >b[/mm]
> [mm]x[/mm] -Unbekannte-
> [mm]a,b[/mm] -Konstanten
> [mm]x,a,b\in\IR[/mm]
> [mm]b\ge0[/mm]
> Hallo Leute!!
> ... einen schönen Freitag Abend allerseits!
> ... ich hab bei meinem anderen Artikel dazu noch gar nicht
> geantwortet, war gestern etwas Stress.
>
> Aber nun zu meiner Frage:
> In der Aufgabestellung hat ich eine Einschrenkung für [mm]b[/mm]
> angegben. Ich denke, sie sollte gemacht werden, da sonst
> die Ungleichung für alle [mm]x\in\IR[/mm] wahr ist.
> Als erstes kommt eine Fallunterscheidung:
>
>
> 1.Fall
>
> [mm]x+a\ge0[/mm]
>
> Dieser Fall gilt für:
>
> [mm]x\ge-a[/mm]
>
> Für diesen Fall ergibt als Lösung:
>
> [mm]x+a>b[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]x>-a+b[/mm]
Da [mm] b\ \ge 0 [/mm] gilt [mm] -a + b\ \ge -a [/mm]
Damit gilt für alle $ b\ [mm] \ge\ [/mm] 0 $
$ x\ [mm] \ge [/mm] - a\ [mm] \wedge [/mm] x\ > - a +b $
$ [mm] \gdw [/mm] x\ > - a +b $
>
>
> 2.Fall
>
> [mm]x+a<0[/mm]
>
> Dieser Fall gilt für:
>
> [mm]x<-a[/mm]
>
> Für diesen Fall ergibt als Lösung:
>
> [mm]-(x+a)>b[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] [mm]x
Hier hast du einen Vorzeichenfehler:
[mm]\gdw\ x\ <\ -a-b[/mm]
Die weitere Rechnung schaffst du jetzt alleine
Gruß
Sigrid
>
>
> Und wie geht es jetzt sinnvoll weiter?
> Also jetzt müssen ja zeuerst die beiden Bedingungen des 1.
> und 2. Falls "zusammgelegt" werden, danach die der beiden
> Fälle. Aber wie? Woher weis ich, welcher ausdruck den
> größeren Wert hat?
>
> Bitte helft mir ein wenig auf die Strünge!
>
> Schon mal DANKE für eure Antworten!
>
>
> Mit freundlichen Grüßen
>
> Goldener Schnitt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Goldener_Schn.
Ich weiß nicht genau, an welcher Stelle du hängst.
Hier deine Lösung für den ersten Fall:
> 1.Fall
> $ [mm] x+a\ge0 [/mm] $
> Dieser Fall gilt für:
> $ [mm] x\ge-a [/mm] $
> Für diesen Fall ergibt als Lösung:
> $ x+a>b $
> $ [mm] \gdw [/mm] $ $ x>-a+b $
Du weißt also: Alle $ [mm] x\ge-a [/mm] $ , für die gilt: $ x>-a+b $ sind Lösungen.
Jetzt hast du aber schon festgestellt, dass $ b [mm] \ge [/mm] 0 $ sein muss, also ist
$ -a+b [mm] \ge [/mm] -a $.
Das heißt aber doch, dass alle $ x $ mit $ x>-a+b $ auf jeden Fall auch größer als $ -a $ sind.
Im Fall 1 sind also alle $ x $ mit
$ x>-a+b $
Lösungen.
Ist es jetzt verständlicher?
Für den 2. Fall bekommst du eine weitere Teil-Lösungsmenge. Die Vereinigungsmenge ergibt dann die Lösungsmenge deiner Betragsungleichung für $ b [mm] \ge [/mm] 0$
Gruß
Sigrid
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:13 Sa 22.04.2006 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Goldener_sch
> (Aufgabstellung entspricht nahezu der Aufgabenstelleung;
> speziell jedoch soll der 2. Fall betrachtet werden!)
> Hallo Sigrid!!1
> ... mal wieder DANKE für deine Antwort!
>
> Mein Gehirn ist einfach kaputt; die Argumentation über
> diesen Weg ist mir klar:
>
> Du weißt also: Alle [mm]x\ge-a[/mm] , für die gilt: [mm]x>-a+b [/mm] sind
> Lösungen.
>
> Jetzt hast du aber schon festgestellt, dass [mm]b \ge 0[/mm] sein
> muss, also ist
>
> [mm]-a+b \ge -a [/mm].
>
> Das heißt aber doch, dass alle x mit x>-a+b auf jeden
> Fall auch größer als -a sind.
>
> Im Fall 1 sind also alle x mit
>
> [mm]x>-a+b[/mm]
>
> Lösungen.
>
> Und doch:
>
> Ich sehe alleine in
>
> [mm]x>-a+b[/mm]
>
> und
>
> [mm]x\ge-a[/mm]
>
>
> für [mm]b\ge0[/mm]
>
> einen Wiederspruch.
>
> Das hat folgenden Grund:
>
>
> Wenn [mm]-a[/mm] schon genügend groß sein kann um kleiner oder
> gleich groß wie [mm]x[/mm] zu sein, dann kann eine Addtition einer
> positiven Zahl den Ausdruck [mm]-a+b[/mm] so groß zu machenn, dass
> die Bedingung eben nicht mehr erfüllt ist.
Dann ist dein x doch keine Lösung. Als Lösung muss es doch größer als $-a+b$ sein.
>
>
Gruß
Sigrid
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![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]"){kind=small}
