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Und hier kommt gleich alles gehasste auf einmal....Ungleichung und Betrag zugleich.... :/ Ich könnte verzweifeln.
Hier mal meine Ansätze, soweit ich gekommen bin....
[mm] \vmat{x-6} [/mm] > [mm] \vmat{x^2-5x+9}
[/mm]
Die Nullstelle des ersten Betrags beträgt 6.
Somit habe ich 3 Fälle unterschieden:
1. Fall x>6
2. Fall: 0<x [mm] \le [/mm] 6
3. Fall x<6
So beim ersten Fall erhalte ich dann:
x-6 > [mm] x^2-5x+9
[/mm]
Nach Umformung: 0> [mm] x^2-6x [/mm] +15
Anwenden der PQ Formel klappt hier nicht, daher für diesen Fall keine Lösung.
2. Fall
[mm] \vmat{x-6} [/mm] wird hier zu - [mm] \vmat{x-6} [/mm] ist somit 6-x
Der andere Term bleibt gleich.
Also: 6-x > [mm] x^2-5x+9 [/mm]
Nach Umformung:
0> [mm] x^2-4x+3
[/mm]
NAch Anwenden der Pq Formel erhalte ich dann als Lösungsmenge 1 und 3
3. Fall:
Eigentlich genauso wie der 2......
Würde mich über Korrektur sehr freuen! :0)
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Hallo rotespinne!
Beginnen wir mit der rechten Seite. Der Ausdruck ist immer positiv, da er sich folgendermaßen umformen lässt:
[mm] $x^2-5x+9 [/mm] \ = \ [mm] x^2-2*2.5*x+6.25+2.75 [/mm] \ = \ [mm] x^2-2*2.5+2.5^2+2,75 [/mm] \ = \ [mm] (x-2.5)^2+2.75 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2.75 \ [mm] \red{> \ 0}$
[/mm]
Damit gilt auch immer: [mm] $\left| \ x^2-5x+9 \ \right| [/mm] \ = \ [mm] x^2-5x+9$
[/mm]
Damit verbleiben nun folgenden beide Fälle zu unterscheiden:
Fall 1: $x-6 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 6$
$x-6 \ > [mm] x^2-5x+9$
[/mm]
Wie Du bereits geschrieben hast: keine Lösung(en)!
Fall 2: $x-6 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 6$
$-(x-6) \ = \ 6-x \ > [mm] x^2-5x+9$
[/mm]
Mit Deinen Lösungen kannst Du also umformen zu:
$(x-1)*(x-3) \ < \ 0$
Und ein Produkt aus 2 Faktoren ist genau dann negativ, wenn beide Faktoren unterschiedliche Vorzeichen haben.
$x-1 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 1$
$x-3 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 3$
Widerspruch [mm] $\Rightarrow$ [/mm] keine Lösung!
$x-1 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 1$
$x-3 \ < \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ < \ 3$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $1 \ < \ x \ < \ 3$
Zudem muss ja erfüllt sein: $x \ < \ 6$ , da wir ja noch im Fall 2 sind.
Dies ist für das Intervall $1 \ < \ x \ < \ 3$ immer erfüllt und damit unsere Lösung.
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo Roadrunner!
Erstmal lieben Dank dass du dir so viel Zeit nimmst. :0)
Finde ich super super lieb und es macht mir voll Spaß wenn du mir Sachen erklärst weil sie gut verständlich sind!!!
DANKE!
Aber eine Sache verstehe ich noch nicht ganz:
Warum kann ich meine Lösungen umschreiben zu:
(x-1)(x-3)<0
Warum kommt hier <0 und nicht >0 hin?
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Hallo rotespinne!
> weil sie gut verständlich sind!!!
Fein!
> Warum kommt hier <0 und nicht >0 hin?
Streng genommen haben wir die Ungleichung doch umgeformt zu:
$0 \ > \ [mm] x^2-4x+3 [/mm] \ = \ (x-1)*(x-3)$
Und dann habe ich die gesamte Ungleichung umgedreht hingeschrieben, wobei ich auch das Ungleichheitszeichen "mitdrehen" muss.
Nun klar(er) ?
Gruß vom
Roadrunner
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Und auch hier bitte mal drüber schauen.....
[mm] \bruch{ \vmat{x-3}}{x^2-5x+6} \ge [/mm] 2
Die Nullstelle des Betragterms lautet 3, die des Nenners 2 und 3.
Somit muss ich auch hier wieder 3 Fälle unterscheiden:
1. Fall: [mm] \vmat{x-3} \ge [/mm] 0 d. h. ich kann einfdach (x-3) schreiben.
Ich bekomme dann hier für x1 = 3 und für x2 = 2,5.
Demnach ist nur die 3 relevant, da die 2,5 nicht in unserem dfinierten Bereich liegt.
2. Fall: 0<x<3
Der betragsterm verändert sich hier nun zu (3-x).
Nach auflösen komme ich dann auf die Lösungen 3 und 1,5. Demnach ist nur die 1n5 relevant, die die 3 nicht in unserem Bereich liegt.
3. Fall [mm] \vmat{x-3} [/mm] < 0 --> x<3
Ergibt die selben Lösungen wie oben.
Kommt ihr auch auf 1,5 und 3 ????
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Hallo rotespinne!
Gehen wir hier mal etwas anders vor, da es sich wegen des Nenners so anbietet:
[mm]\bruch{|x-3|}{x^2-5x+6} \ = \ \bruch{|x-3|}{(x-2)*(x-3)} \ \ge \ 2[/mm]
Nun machen wir unsere Fallunterscheidung ...
Fall 1: $x-3 \ [mm] \ge [/mm] \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3$
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
[mm]\bruch{|x-3|}{(x-2)*(x-3)} \ = \ \bruch{(x-3)}{(x-2)*(x-3)} \ = \ \bruch{1}{x-2} \ \ge \ 2[/mm]
Nun müssen wir mit $(x-2)_$ multiplizieren, dabei aber kontrollieren, ob das positiv oder negativ ist:
$x-2 \ > \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $x \ > \ 2$
Das ist hier im Fall 1 wirklich erfüllt wegen $x \ [mm] \ge [/mm] \ 3 \ > \ 2$.
Daher: $1 \ [mm] \ge [/mm] \ 2*(x-2)$ usw.
Bei Fall 2 musst Du analog vorgehen, allerdings eine weitere Fallunterscheidung vornehmen für $x \ < \ 2$ und $2 \ < \ x \ [mm] \le [/mm] \ 3$ .
Gruß vom
Roadrunner
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Danke :0) Ist mein Weg so denn völlig falsch????
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Hallo rotespinne!
Ich nehme mal an, dass Du im 2. Umformungsschritt dann mit dem Nenner multiplizierst ... und genau da musst Du wieder aufpassen, ob Du bei dieser Umformung mit einer negativen oder mit einer positiven Zahl multiplizierst (Du weißt ja: das Ungleichheitszeichen dreht sich um ...).
Gruß vom
Roadrunner
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