Bew.: Grenzwert, Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:35 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Markus_H |
| Aufgabe | Zeige:
a) Für jedes a>0 gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} [/mm] = 1.
b) Ist g: Q-->R eine Fkt. mit g(x+y) = g(x)*g(y), so ist g stetig in 0.
c) Eine solche Fkt. ist stetig in 0 (und damit in Q). |
Tipp zur a):
Betrachtung für a>1.
[mm] 0\lea^{1/n}<\varepsilon [/mm] für jedes bel. kleine [mm] \varepsilon
[/mm]
Argumentation:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n} [/mm] = 1
Dazu habe ich gefunden:
lim (n^(1/n))
= lim (exp(ln(n^(1/n))))
= lim (exp(ln(n)/n)
= exp (lim(ln(n)/n)
= exp (0)
= 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:56 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeige:
> a) Für jedes a>0 gilt: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a}[/mm]
> = 1.
> b) Ist g: Q-->R eine Fkt. mit g(x+y) = g(x)*g(y), so ist g
> stetig in 0.
> c) Eine solche Fkt. ist stetig in 0 (und damit in Q).
Okay.
> Tipp zur a):
> Betrachtung für a>1.
> [mm]0\lea^{1/n}<\varepsilon[/mm] für jedes bel. kleine [mm]\varepsilon[/mm]
Was soll das hier heißen? Da verstehe ich den Sinn der Aussage nicht. Meintest Du vielleicht [mm] $a^{\frac{1}{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon$? [/mm] Das genügt aber nur, wenn man zudem $0 < [mm] a^\frac{1}{n}$ [/mm] beachtet.
> Argumentation:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{n}[/mm] = 1
> Dazu habe ich gefunden:
> lim (n^(1/n))
> = lim (exp(ln(n^(1/n))))
> = lim (exp(ln(n)/n)
> = exp (lim(ln(n)/n)
> = exp (0)
> = 1
Okay, aber: Dabei benutzt Du die Stetigkeit von [mm] $\exp(.)$ [/mm] und zudem wird de L'Hôpital benutzt, um [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n)}{n}=0$ [/mm] zu beweisen. Zudem zeigst Du ja gar nicht, dass [mm] $a^\frac{1}{n}=\sqrt[n]{a} \to [/mm] 1$, denn $a$ ist hierbei fest, bei Dir ist aber mit $a=n$ das $a$ eine von $n$ abhängige Variable. Nichtsdestotrotz:
Wenn Du die Stetigkeit von [mm] $\exp(.)$ [/mm] und Hôpital z.B. benutzen darfst, kannst Du das machen, um zunächst mal [mm] $n^{\frac{1}{n}} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] zu zeigen.
So als Tipp für a):
Ansatz:
Für $a=1$ ist alles trivial.
Andernfalls:
Sei [mm] $r_n:=a^{\frac{1}{n}}-1$ [/mm] (dann ist stets [mm] $r_n [/mm] > -1$). Dann gilt [mm] $(\star)$ $(1+r_n)^n=a$. [/mm] Jetzt suche nach einer Begründung, warum [mm] $|r_n| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gilt (vll. mit dem binomischen Lehrsatz bei [mm] $(\star)$ [/mm] und einer Abschätzung, die sich daraus folgern läßt?!).
Was natürlich auch geht:
Wenn Du [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] benutzen darfst:
Im Falle $a > 1$:
$1 < [mm] \sqrt[n]{a} \le \sqrt[n]{n}$ [/mm] ab einem genügen großen [mm] $n_0$ [/mm] (kannst Du ein solches [mm] $n_0$ [/mm] mal konkreter angeben?).
Rest folgt mit dem Sandwichkriterium für Folgen.
Denn Fall $0 < a < 1$ kannst Du sicherlich durch Betrachtung von [mm] $b:=\frac{1}{a} [/mm] > 1$ auf obigen zurückführen.
Bei b):
$g(0)=g(0+0)=g(0)*g(0)$, d.h. entweder ist $g(0)=0$, oder es ist $g(0)=1$.
Der Fall $g(0)=0$ ist eine Trivialität, weil daraus schon folgt, dass [mm] $\black{g(q)=0}$ [/mm] für alle $q [mm] \in \IQ$ [/mm] gilt (Warum?).
Im Falle $g(0)=1$ kannst Du Dir vll. zunächst nocheinmal mit dem Folgenkriterium überlegen:
Sind [mm] $q_n \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $q_n \to [/mm] 0$, so gilt auch [mm] $\sum_{k=1}^m q_n=m*q_n \to [/mm] 0$ ($m [mm] \in \IN$ [/mm] fest).
Nun überlege Dir für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $g\left(\frac{1}{n}\right) \to [/mm] 1=g(1)$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Hilfreich dabei sind vll. Überlegungen der Art:
[mm] $g\left(\frac{1}{n}\right)=g\left(\frac{1}{2n}\right)*g\left(\frac{1}{2n}\right)$. [/mm] Wenn [mm] $g=\lim_{n \to \infty}g(1/n)$ [/mm] existiert, so kommt daher nur $g=0$ oder $g=1$ in Frage. Man muss natürlich die Existenz von $g$ begründen, und dann, dass $g=1$ gilt.)
Folgere damit für $n [mm] \in \IN$:
[/mm]
[mm] $g\left(\frac{m}{n}\right) \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für alle $m [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Folgere daraus nun:
[mm] $g\left(\frac{m}{n}\right) \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] für alle $m [mm] \in \blue{\IZ}$.
[/mm]
Bei Aufgabe c) solltest Du ggf. nochmal die Aufgabenstellung überprüfen, das verwirrt mich gerade, was da steht.
P.S.:
Nochmal zu b):
Dort gibt es generell interessante Eigenschaften im Falle $g(0)=1$:
[mm] $g(-q)=\frac{1}{g(q)}$ [/mm] für alle $q [mm] \in \IQ$
[/mm]
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Einfach mal gucken, was Dir für Eigenschaften auffallen und ob und ggf. wie die sich verwenden lassen...
Gruß,
Marcel
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