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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:15 Mi 22.10.2014 | | Autor: | Flume |
| Aufgabe | Beweisen Sie die Äquivalenz:
a) G ist eine Gerade mit G ={ p + tu | t [mm] \in \IR [/mm] }
b) Es gibt a,b [mm] \in \IR, [/mm] nicht beide 0, und c [mm] \in \IR, [/mm] sodass H = { [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] | [mm] a*x_{1}+b*x_{2} [/mm] = c } |
Guten Abend,
ich sitze gerade daran, die Äquivalenz dieser Aussage zu beweisen. Den Schritt von a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) habe ich bereits, doch bei b) [mm] \Rightarrow [/mm] a) hakt es etwas.
Ich schreibe einfach mal, was ich bisher habe:
Ich muss bei b) [mm] \Rightarrow [/mm] a) es schaffen, von der Darstellung der Geraden von H = { [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] | [mm] a*x_{1}+b*x_{2} [/mm] = c } nach G ={ p + tu | t [mm] \in \IR [/mm] } zu kommen, da die beiden Aussagen ja äquivalent sind.
Was ich nun versucht habe zu tun, ist, dass ich die Gerade in Koordinatenform so versuche in Parameterform umzuformen, wie man es damals noch in der Schule gemacht hatte:
Ich nehme H = { [mm] (x_{1},x_{2}) \in \IR^{2} [/mm] | [mm] a*x_{1}+b*x_{2} [/mm] = c } wodurch dann für jeden Punkt auf der Geraden H gilt, dass er die Gleichung [mm] a*x_{1}+b*x_{2} [/mm] = c erfüllt. Diese Gleichung löse ich nun zunächst nach [mm] x_{2} [/mm] auf:
[mm] a*x_{1}+b*x_{2} [/mm] = c | - ( [mm] a*x_{1} [/mm] )
[mm] \gdw b*x_{2} [/mm] = c - [mm] a*x_{1} [/mm] | / b
[mm] \gdw x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{b} [/mm] - [mm] x_{1}*\bruch{a}{b}
[/mm]
Nun ersetze ich [mm] x_{1} [/mm] durch t und erhalte:
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{b} [/mm] - [mm] t*\bruch{a}{b}
[/mm]
Sodass für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gilt:
[mm] x_{1} [/mm] = 0 + t
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{c}{b} [/mm] - [mm] t*\bruch{a}{b}
[/mm]
Wenn ich dies nun wieder als Vektor schreibe, erhalte ich:
G = [mm] \vektor{0 \\ \bruch{c}{b}} [/mm] + [mm] t*\vektor{1 \\ \bruch{-a}{b}}
[/mm]
Das in vereinfachter Form ist genau das selbe wie:
G ={ p + tu | t [mm] \in \IR [/mm] }
So, ich hoffe, Ihr könnt mir sagen, ob mein Weg so okay ist, oder ob, und wenn ja, was ich noch ändern muss, um vielleicht besser auf den Beweis einzugehen.
Vielen Dank
Flume
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:35 Mi 22.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
sieht i.W. in Ordnung aus.
Beachte allerdings, dass a,b nicht beide 0 sind, also kann man O.E. [mm] $b\neq [/mm] 0$ annehmen (Für b=0 ist [mm] $a\neq [/mm] 0$, also [mm] $H=\{ p + tu | t \in \IR \}$ [/mm] mit $p= [mm] \vektor{\bruch{c}{a} \\ 0} [/mm] $ und [mm] $u=\vektor{0 \\ 1}$.)
[/mm]
Liebe Grüße
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