Bew Inklusion 2 Mengen v. Meng < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Di 02.11.2010 | | Autor: | froehli |
| Aufgabe | Gegeben seien zwei Mengen von Mengen M und N mit M [mm] \subseteq [/mm] N.
(1) [mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
(2) [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcup \mathcal{M} [/mm] |
Lösung zur ersten.
Vorgabe: [mm] \mathcal{N}, \mathcal{M} [/mm] Mengen von mengen mit [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}
[/mm]
Beweis: Sei a [mm] \in \bigcup \mathcal{M}. [/mm] Zu zeigen a \ in [mm] \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
Dann existiert T [mm] \in \mathcal{M} [/mm] mit a [mm] \in [/mm] T
Nach Vorgabe ist [mm] \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
=> T [mm] \in \mathcal{N}
[/mm]
=> T [mm] \subseteq \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
=> a [mm] \in \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
=> für alle a [mm] \in \bigcup \mathcal{M} [/mm] gilt [mm] a\in \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
=> [mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
Will ich das nun Analog zu (2) umformen, so Fehlt es mir irgendwie an einem Verständnis für [mm] \bigcap [/mm] einer Menge von Mengen. Es ist auch der erste Beweis, den ich selbst schreibe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 02.11.2010 | | Autor: | froehli |
Ich habe mir nun Gedanken zu einem Lösungsweg gemacht.
Vorgabe: [mm] \mathcal{N}, \mathcal{M} [/mm] Mengen von mengen mit [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}
[/mm]
Beweis: Sei a [mm] \in \bigcap \mathcal{N}. [/mm] Zu zeigen a \ in [mm] \bigcap \mathcal{M}
[/mm]
Dann existiert X [mm] \in \mathcal{M} [/mm] und T [mm] \in \mathcal{N} [/mm] mit a [mm] \in \mathcal{M} [/mm] und a [mm] \in \mathcal{T}
[/mm]
Nach Vorgabe ist [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}
[/mm]
=> T [mm] \in \mathcal{N}
[/mm]
=> X [mm] \in \mathcal{N}
[/mm]
=> T [mm] \subseteq \bigcap \mathcal{N}
[/mm]
=> X [mm] \subseteq \bigcap \mathcal{N}
[/mm]
=> a [mm] \in \bigcap \mathcal{N}
[/mm]
=> für alle a [mm] \in \bigcap \mathcal{M} [/mm] gilt [mm] a\in \bigcap \mathcal{N}
[/mm]
=> [mm] \bigcap \mathcal{M} \subseteq \bigcap \mathcal{N}
[/mm]
=> [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M}
[/mm]
Sieht das richtig aus?
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edit: so, Logik berichtigt, müsste jetzt so weit richtig sein:
zu aller erst mal soll laut deiner obigen Aufgabenstellung [mm] $\bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcup \mathcal{M}$
[/mm]
gelten, nicht $ [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M} [/mm] $
Stellt sich jetzt natürlich die Frage bei welchem der beiden du dich vertippt hast.^^
Ich nehme mal an die Aufgabenstellung ist richtig, denn das (2) aus der Aufgabe lässt sich zeigen.
Du willst zeigen:
x [mm] $\in \bigcap \mathcal{N} \Rightarrow$ [/mm] x [mm] $\in \bigcup \mathcal{M}$
[/mm]
Das ist das gleiche wie:
x [mm] $\in$ [/mm] N [mm] $\forall$ [/mm] N [mm] $\in \mathcal{N} \Rightarrow \exists$ [/mm] M [mm] $\in \mathcal{M}$: [/mm] x [mm] $\in$ [/mm] M.
Da [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$ [/mm] muss ein x, dass in jeder Menge N [mm] $\in \mathcal{N}$ [/mm] steckt auch in jeder Menge M [mm] $\in \mathcal{M}$ [/mm] enthalten sein, denn sonst gebe es ja eine Menge M, die nicht in [mm] $\mathcal{N}$ [/mm] drinn ist und die Teilmengenrelation würde nicht mehr gelten.
Nun musst du das nurnoch schön mathematisch ausschreiben und vielleicht noch die leere Menge als Sonderfall angucken.
Und nochmal sorry, dass der Post vorhin etwas komisch bis falsch war...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:27 Mi 03.11.2010 | | Autor: | froehli |
Das sind zwei Verschiedene Aufgaben.
Ich soll $ [mm] \bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcap \mathcal{M} [/mm] $ beweisen.
Das macht ja auch Sinn, denn die Schnittmenge von Mengen der Obermenge N kann ja auch eine Teilmenge einer Kleineren Menge von Mengen in N sein.
Aber nun habe ich mein ganzes Pamflet mehr oder minder abgegeben. Mal gucken, was die korrenktoren darauß ziehen :-/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Fr 05.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Gegeben seien zwei Mengen von Mengen M und N mit M
> [mm]\subseteq[/mm] N.
> (1) [mm]\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}[/mm]
> (2)
> [mm]\bigcap \mathcal{N} \subseteq \bigcup \mathcal{M}[/mm]
> Lösung
> zur ersten.
Hallo,
ich finde, Dein Beweis ist Dir wirklich nett gelungen!
Verbesserungsvorschlag: wenn Du einen Schluß ziehst, solltest Du nicht nur [mm] "\Rightarrow" [/mm] schreiben, sondern auch sagen, warum das gilt.
Erstens wollen die Korrektoren das in der Regel wissen, und zweitens geht man sich nicht so leicht selbst auf den Leim, wenn man sich immer wieder fragt: "Warum eigentlich?".
>
> Vorgabe: [mm]\mathcal{N}, \mathcal{M}[/mm] Mengen von mengen mit
> [mm]\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}[/mm]
> Beweis: Sei a [mm]\in \bigcup \mathcal{M}.[/mm]
> Zu zeigen a \ in [mm]\bigcup \mathcal{N}[/mm]
> Dann existiert T [mm]\in \mathcal{M}[/mm] mit a [mm]\in[/mm] T
nach Def. von [mm] $\bigcup \mathcal{M}$ [/mm]
> Nach Vorgabe ist [mm]\mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}[/mm]
Nein. Es ist [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$, [/mm] was Du auch meinst.
>
> => T [mm]\in \mathcal{N}[/mm]
nach Def. von "Teilmenge".
> => T [mm]\subseteq \bigcup \mathcal{N}[/mm]
Nach Def. von [mm] \bigcup \mathcal{N}$.
[/mm]
>
> => a [mm]\in \bigcup \mathcal{N}[/mm]
nach Def. "Teilmenge".
Damit ist gezeigt:
> für alle a [mm]\in \bigcup \mathcal{M}[/mm]
> gilt [mm]a\in \bigcup \mathcal{N}[/mm]
> => [mm]\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 07.11.2010 | | Autor: | froehli |
Ich habe mich eben noch einmal daran gesetzt, um den Beweis komplett aus eigener Kraft zu stemmen. Hierbei ist nun eine menge Weggefallen. Ich frage mich aber, ob es so auch Erkennbar ist, sprich die Fehler eher Formal sind.
Vorg: Seien [mm] \mathcal{M}, \mathcal{N} [/mm] Mengen mit [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}
[/mm]
Beh: [mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}
[/mm]
Beweis: Sei X [mm] \in \mathcal{M} [/mm] und X [mm] \in \mathcal{N}, [/mm] da [mm] \mathcal{M} \subseteq \mathcal{N} [/mm] gilt.
So ex. a [mm] \in [/mm] X.
Damit ist a [mm] \in \mathcal{M} [/mm] und a [mm] \in \mathcal{N}
[/mm]
Somit ergibt sich [mm] \bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}.
[/mm]
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> Vorg: Seien [mm]\mathcal{M}, \mathcal{N}[/mm] Mengen mit [mm]\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}[/mm]
>
> Beh: [mm]\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}[/mm]
>
> Beweis: Sei X [mm]\in \mathcal{M}[/mm] und X [mm]\in \mathcal{N},[/mm] da
> [mm]\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}[/mm] gilt.
> So ex. a [mm]\in[/mm] X.
> Damit ist a [mm]\in \mathcal{M}[/mm] und a [mm]\in \mathcal{N}[/mm]
> Somit
> ergibt sich [mm]\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}.[/mm]
>
Hallo,
ich jedenfalls kann Dir jetzt überhaupt nicht mehr folgen.
> Somit
> ergibt sich [mm]\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}.[/mm]
Du mußt doch vorrechnen, wie aus [mm] a\in $\bigcup \mathcal{M} [/mm] folgt, daß [mm] a\in\bigcup \mathcal{N}$.
[/mm]
Ich erkenne nicht, daß Du das tust(, und frage mich, mit welchem Ziel Du Deinen Beweis so entsetzlich verstümmelt hast.)
Mal noch ein paar grundsätzliche Dinge.
> Beweis: Sei X [mm] $\in \mathcal{M}$ [/mm] und X [mm] $\in \mathcal{N},$ [/mm] da
> [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$ [/mm] gilt.
Du meinst dies: Sei [mm] X\in \mathcal{M}. [/mm] Dann ist [mm] X\in \mathcal{N}, [/mm] da [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$ [/mm] gilt.
>Sei X [mm] $\in \mathcal{M}$ [/mm] und X [mm] $\in \mathcal{N},$ [/mm] da
> [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$ [/mm] gilt.
> So ex. a [mm] $\in$ [/mm] X.
Ich sehe keinen Grund dafür, daß es in X ein Element gibt.
Woraus folgerst Du die Existenz eines Elementes in X, daß also X nichtleer ist?
> Sei X [mm] $\in \mathcal{M}$ [/mm] und X [mm] $\in \mathcal{N},$ [/mm] da
> [mm] $\mathcal{M} \subseteq \mathcal{N}$ [/mm] gilt.
> So ex. a [mm] $\in$ [/mm] X.
> Damit ist a [mm] $\in \mathcal{M}$
[/mm]
Wieso? Es ist die Menge X ein Element von [mm] \mathcal{M}.
[/mm]
Jetzt hast Du ein Element a von X. Wieso liegt das in [mm] \mathcal{M}?
[/mm]
Ich sehe keinen Grund dafür.
> Somit
> ergibt sich [mm] $\bigcup \mathcal{M} \subseteq \bigcup \mathcal{N}.$ [/mm]
Wie sich das ergibt, erfahren wir leider nicht...
Gruß v. Angela
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