Bewegungsgleichung < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 10.01.2009 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Hallo ich habe hier ein freies teilchen, das zur zeit to einen anstoß erhält. die bewegungsglecihung ist:
x''=a [mm] \delta(t-t_0). [/mm] Ich soll jetzt x(t) bestimmen. |
ich weiß nicht so recht wie ich anfangen, soll ich kenne zwar einige eigenschaften der delta fuktion, kann die aber nciht anwenden. also die stammfunktion wäre doch die heaviside funktion oder? mit demselben argument?
würde mich über bisschen hilfe sehr freuen.
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ich habe hier ein freies teilchen, das zur zeit to
> einen anstoß erhält. die bewegungsglecihung ist:
> x''=a [mm]\delta(t-t_0).[/mm] Ich soll jetzt x(t) bestimmen.
> ich weiß nicht so recht wie ich anfangen, soll ich kenne
> zwar einige eigenschaften der delta fuktion, kann die aber
> nciht anwenden. also die stammfunktion wäre doch die
> heaviside funktion oder? mit demselben argument?
Es kommt die Heavisidefunktion heraus, aber das kannst du ganz einfach direkt ausrechnen, indem du die Bewegungsgleichung integrierst:
[mm] \integral_{t_1}^{t} x''(t') dt' = a \integral_{t_1}^{t} \delta(t'-t_0) dt' [/mm]
Laut Definition der [mm] $\delta$-Distribution [/mm] ist die rechte Seite nur ungleich 0, wenn [mm] $t_0$ [/mm] im Integrationsinterval liegt, also für [mm] $t_1
[mm] x'(t) - x'(t_1) = \begin{cases} 0, & t_0 < t_1 \\ a, & t_1
(Für [mm] $t_0=t_1$ [/mm] oder [mm] $t_0=t$ [/mm] ist das Integral über [mm] $\delta$ [/mm] nicht definiert: die Geschwindigkeit macht einen Sprung, ändert sich nicht stetig.)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Sa 10.01.2009 | | Autor: | aly19 |
hey danke, das habe ich schonmal verstanden. aber ich muss das ganze doch jetzt nocheinmal integrieren um x(t) zu erhalten ich will ja die bahn kennen.
$ x'(t) - [mm] x'(t_1) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & t_0 < t_1 \\ a, & t_1
[mm] also\integral_{r_1}^{r}{x'(t) - x'(t_1)dx}=\begin{cases} 0, & r_0 < r_1 \\ a*r-ar_1, & r_1
kann man das so machen oder ist das falsch verstanden von mir?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:25 Sa 10.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hey danke, das habe ich schonmal verstanden. aber ich muss
> das ganze doch jetzt nocheinmal integrieren um x(t) zu
> erhalten ich will ja die bahn kennen.
> [mm]x'(t) - x'(t_1) = \begin{cases} 0, & t_0 < t_1 \\ a, & t_1
Ist dir klar, dass [mm] $x'(t_1)$ [/mm] durch die Anfangsbedingung gegeben ist, es ist die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt [mm] $t_1$.
[/mm]
> [mm]also\integral_{r_1}^{r}{x'(t) - x'(t_1)dx}=\begin{cases} 0, & r_0 < r_1 \\ a*r-ar_1, & r_1
> kann man das so machen oder ist das falsch verstanden von
> mir?
Wieso integrierst du die Geschwindigkeit über den Ort? Du willst doch die Ortskurve haben, also integrierst du die Geschwindigkeit über die Zeit!
Und dann würde ich
[mm] x'(t) = x'(t_1) + \dots [/mm]
schreiben, das macht es deutlich einfacher.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Sa 10.01.2009 | | Autor: | aly19 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
okay also erstmal
$ x'(t) = \begin{cases} x'(t_1), & t_0 < t_1 \\ a+x'(t_1), & t_1<t_0<t \\ x'(t_1), & t <t}_0 \end{cases} $
so kann man das hoffentlich umsrehen.
also gut, ich muss über die zeit intgrieren natürlich.
also bekomm ich auf der linken seite x(t) rechts steht dann:
\begin{cases} \integral_{t_1}^{t}{x'(t_1)dt}, & t_0 < t_1 \\ \integral_{t_1}^{t}{a+x'(t_1) dt), & t_1<t_0<t \\ \integral_{t_1}^{t}{x'(t_1)dt}, & t <t}_0 \end{cases} $
also x(t_1) ist doch dann eine konstante oder? wenn das meine anfangsbedingung ist?
ich weiß nicht genau wie ich das integral ausführe.
kannst du mir da einen tipp geben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Di 13.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> okay also erstmal
> [mm]x'(t) = \begin{cases} x'(t_1), & t_0 < t_1 \\ a+x'(t_1), & t_1
>
> so kann man das hoffentlich umsrehen.
> also gut, ich muss über die zeit intgrieren natürlich.
> also bekomm ich auf der linken seite x(t) rechts steht
> dann:
> [mm]\begin{cases} \integral_{t_1}^{t}{x'(t_1)dt}, & t_0 < t_1 \\ \integral_{t_1}^{t}{a+x'(t_1) dt), & t_1
> $
> also [mm]x(t_1)[/mm] ist doch dann eine konstante oder? wenn das
> meine anfangsbedingung ist?
> ich weiß nicht genau wie ich das integral ausführe.
> kannst du mir da einen tipp geben?
Integration einer Konstanten ergibt doch eine lineare Funktion. Du musst aber aufpassen, denn deine Funktion $x'(t)$ ist ja nicht konstant. Eigentlich ist es anschaulich klar: Zum Zeitpunkt [mm] $t_1$ [/mm] haben wir gewisse Anfangswerte von Ort und Geschwindigkeit, nämlich [mm] $x(t_1)$ [/mm] und [mm] $x'(t_1)$. [/mm] Vor dem zeitpunkt [mm] $t_0$, [/mm] also für [mm] $tt_0$ [/mm] ist die Geschwindigkeit um $a$ größer; das ist die entscheidende physikalische Aussage.
Der dritte Fall, [mm] $t_1>t_0$ [/mm] bedeutet, dass die Geschwindigkeit [mm] $x'(t_1)$ [/mm] nicht der vor dem Stoß, sondern nach dem Stoß angegeben wird. Der ist aber für deine Betrachtung ohne Bedeutung. Wir können hier annehmen, dass [mm] $t_1
Damit sind bei deiner letzten Integration zwei Intervalle zu unterscheiden: vor dem Stoß [mm] ($tt_0$):
[/mm]
[mm]x(t) -x(t_1) = \int_{t_1}^{t} x'(t') dt' = \begin{cases} \int_{t_1}^{t_0} x'(t') dt' + \int_{t_0}^{t} x'(t') dt'
= x'(t_1) * (t_0-t_1) + (x'(t_1) +a)(t-t_0) = x'(t_1)*(t-t_1) + a* (t-t_0), & t>t_0 \\
\int_{t_1}^{t} x'(t') dt' = x'(t_1)*(t-t_1), & t
Wir haben also eine Superposition zweier linera gleichförmiger Bewegungen: der vor dem Stoß mit Geschwindigkeit [mm] $x'(t_1)$ [/mm] und der durch den Stoß erzeugten mit Geschwindigkeit a.
Wenn das Teilchen vor dem Stoß ruht [mm] ($x'(t_1)=0$, [/mm] so fliegt es nach dem Stoß mit konstanter Geschwindigkeit a.
Viele Grüße
Rainer
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