Bewegungsgleichung lösen < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine homogene Kette der Länge L und linearer Massendichte [mm] \mu=\bruch{m}{L} [/mm] befindet sich in einem abgeknickten Rohr mit Neigungswinkel [mm] \phi [/mm] . Das Rohr sei so, dass die Kette keine Reibung erfährt. Ein Kettenteil mit Länge x(0) = [mm] x_{0} [/mm] soll anfangs senkrecht über den Knick herab hängen. Berechnen Sie die Trajektorie x(t) des herabhängenden Endes der unter ihrem eigenen Gewicht abgleitenden Kette bis zu dem Zeitpunkt ab dem sie frei fällt.
Tipp: cosh(x) = [mm] \bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x}) [/mm] |
Vorüberlegung:
Kraft die auf den schrägen Teil der Kette wirkt: [mm] F_{1} [/mm] = [mm] (1-\bruch{x}{L})\*m\*g\*sin(\phi)
[/mm]
Kraft die auf den senkrechten Teil der Kette wirkt: [mm] F_{2} [/mm] = [mm] \bruch{x}{L}\*m\*g
[/mm]
Bewegungsgleichung:
[mm] m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} [/mm] = [mm] F_{1} [/mm] + [mm] F_{2}
[/mm]
[mm] m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} [/mm] = (1 - [mm] \bruch{x}{L})\*m\*g\*sin(\phi) [/mm] + [mm] \bruch{x}{L}\*m\*g
[/mm]
Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter Ordnung:
[mm] m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*x [/mm] = [mm] m\*g\*sin(\phi)
[/mm]
1. Schritt:
Lösung der homogenen Gleichung:
[mm] m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*x [/mm] = 0
Ansatz: x = [mm] e^{\gamma t}
[/mm]
[mm] \Rightarrow m\*\gamma^{2}\*e^{\gamma t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*e^{\gamma t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*e^{\gamma t} [/mm] = 0
[mm] \gdw m\*\gamma^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi) [/mm] - [mm] \bruch{1}{L}\*m\*g [/mm] = 0
[mm] \Rightarrow \gamma_{1, 2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(t) = [mm] a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}\*t} [/mm] + [mm] a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}\*t}
[/mm]
Als nächstes brauche ich eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung, aber genau hier komme ich nicht mehr weiter. Eventuell ist ja auch mein Ansatz bereits falsch?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mi 11.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein ansatz ist richtig, einen Fehler beim einsetzen gemacht:
> Eine homogene Kette der Länge L und linearer Massendichte
> [mm]\mu=\bruch{m}{L}[/mm] befindet sich in einem abgeknickten Rohr
> mit Neigungswinkel [mm]\phi[/mm] . Das Rohr sei so, dass die Kette
> keine Reibung erfährt. Ein Kettenteil mit Länge x(0) =
> [mm]x_{0}[/mm] soll anfangs senkrecht über den Knick herab hängen.
> Berechnen Sie die Trajektorie x(t) des herabhängenden
> Endes der unter ihrem eigenen Gewicht abgleitenden Kette
> bis zu dem Zeitpunkt ab dem sie frei fällt.
> Tipp: cosh(x) = [mm]\bruch{1}{2}(e^{x}+e^{-x})[/mm]
>
> Vorüberlegung:
>
> Kraft die auf den schrägen Teil der Kette wirkt: [mm]F_{1}[/mm] =
> [mm](1-\bruch{x}{L})\*m\*g\*sin(\phi)[/mm]
> Kraft die auf den senkrechten Teil der Kette wirkt: [mm]F_{2}[/mm]
> = [mm]\bruch{x}{L}\*m\*g[/mm]
>
>
> Bewegungsgleichung:
>
> [mm]m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}[/mm] = [mm]F_{1}[/mm] + [mm]F_{2}[/mm]
bis hier richtig , ich hätte mit [mm] \mu [/mm] gerechnet,
> [mm]m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}[/mm] = (1 -
> [mm]\bruch{x}{L})\*m\*g\*sin(\phi)[/mm] + [mm]\bruch{x}{L}\*m\*g[/mm]
richtig
> Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung zweiter
> Ordnung:
>
> [mm]m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*x[/mm] =
> [mm]m\*g\*sin(\phi)[/mm]
eun Vorzeichenfehler
richtig
[mm]m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}[/mm] +
[mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*x[/mm] =
[mm]m\*g\*sin(\phi)[/mm]
aber rechne nach!
>
> 1. Schritt:
>
> Lösung der homogenen Gleichung:
>
> [mm]m\*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*x[/mm] - [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*x[/mm] =
> 0
>
> Ansatz: x = [mm]e^{\gamma t}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow m\*\gamma^{2}\*e^{\gamma t}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)\*e^{\gamma t}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*e^{\gamma t}[/mm] = 0
> [mm]\gdw m\*\gamma^{2}[/mm] - [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g\*sin(\phi)[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{L}\*m\*g[/mm] = 0
> [mm]\Rightarrow \gamma_{1, 2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(t) =
> [mm]a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}\*t}[/mm] +
> [mm]a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(sin(\phi)+1)}\*t}[/mm]
>
>
> Als nächstes brauche ich eine spezielle Lösung der
> inhomogenen Gleichung, aber genau hier komme ich nicht mehr
> weiter. Eventuell ist ja auch mein Ansatz bereits falsch?
x=c ist der Ansatz bei konstanter rechter Seite. c durch einsetzen berechnen und am Ende noch die Anfangsbedingung einsetzen.
Zusatz: das gilt so nur für x<L danach freier Fall!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo leduart,
vielen Dank für deine Antwort. Den Vorzeichenfehler habe ich korrigiert, damit folgt für x(t):
x(t) = [mm] a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} [/mm] + [mm] a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}
[/mm]
> x=c ist der Ansatz bei konstanter rechter Seite. c durch
> einsetzen berechnen und am Ende noch die Anfangsbedingung
> einsetzen.
Kannst du mir das evtl. noch etwas genauer erklären? Ich weiß leider immer noch nicht, wie ich weiter komme.
Danke,
Tim
|
|
|
| |
|
Hallo timgkeller,
> Hallo leduart,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Den Vorzeichenfehler habe
> ich korrigiert, damit folgt für x(t):
>
> x(t) =
> [mm]a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm] +
> [mm]a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm]
>
> > x=c ist der Ansatz bei konstanter rechter Seite. c durch
> > einsetzen berechnen und am Ende noch die Anfangsbedingung
> > einsetzen.
>
> Kannst du mir das evtl. noch etwas genauer erklären? Ich
> weiß leider immer noch nicht, wie ich weiter komme.
>
Setze den Ansatz in die DGL ein:
[mm] m*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*x - \bruch{1}{L}*m*g*x = m*g*sin(\phi) [/mm]
Dann steht doch da:
[mm] m*\bruch{d^{2}c}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi) [/mm]
Da c nicht von t abhängig ist, steht folgendes da:
[mm] m*0 + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi) [/mm]
Bestimme daraus die Konstante "c".
Dann ergibt sich die Lösung der DGL zu:
[mm]x(t) = a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} + a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}+c[/mm]
>
> Danke,
> Tim
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Hey,
danke für die ausführliche Beschreibung.
> Setze den Ansatz in die DGL ein:
>
> [mm]m*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*x - \bruch{1}{L}*m*g*x = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> Dann steht doch da:
>
> [mm]m*\bruch{d^{2}c}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> Da c nicht von t abhängig ist, steht folgendes da:
>
> [mm]m*0 + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> Bestimme daraus die Konstante "c".
>
> Dann ergibt sich die Lösung der DGL zu:
>
> [mm]x(t) = a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} + a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}+c[/mm]
Mit dieser Methode erhalte ich c = [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(t) = [mm] a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} [/mm] + [mm] a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} [/mm] + [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}
[/mm]
Jetzt ist noch [mm] a_{1} [/mm] und [mm] a_{2} [/mm] mit Hilfe der Anfangsbedingungen x(0) = [mm] x_{0} [/mm] und [mm] \dot{x}(0) [/mm] = 0 zu bestimmen.
[mm] \dot{x}(0) [/mm] = [mm] a_{1}\*\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))} [/mm] - [mm] a_{2}\*\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))} [/mm] = 0
[mm] \gdw a_{1} [/mm] = [mm] a_{2} [/mm] = a
x(0) = [mm] 2\*a [/mm] + [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1} [/mm] = [mm] x_{0}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] a = [mm] \bruch{1}{2}\*(x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x(t) = [mm] \bruch{1}{2}\*(x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}\*(x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} [/mm] + [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x(t) = [mm] (x_{0} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*cosh(\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t) [/mm] + [mm] \bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}
[/mm]
Ist das korrekt so? Kommt mir ein gutes Stück zu kompliziert vor...
Danke,
Gruß Tim
|
|
|
| |
|
Hallo timgkeller,
> Hey,
>
> danke für die ausführliche Beschreibung.
>
> > Setze den Ansatz in die DGL ein:
> >
> > [mm]m*\bruch{d^{2}x}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*x - \bruch{1}{L}*m*g*x = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> >
> > Dann steht doch da:
> >
> > [mm]m*\bruch{d^{2}c}{dt^{2}} + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> >
> > Da c nicht von t abhängig ist, steht folgendes da:
> >
> > [mm]m*0 + \bruch{1}{L}*m*g*sin(\phi)*c - \bruch{1}{L}*m*g*c = m*g*sin(\phi)[/mm]
>
> >
> > Bestimme daraus die Konstante "c".
> >
> > Dann ergibt sich die Lösung der DGL zu:
> >
> > [mm]x(t) = a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t} + a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}+c[/mm]
>
> Mit dieser Methode erhalte ich c =
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(t) =
> [mm]a_{1}\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm] +
> [mm]a_{2}\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm] +
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}[/mm]
>
>
> Jetzt ist noch [mm]a_{1}[/mm] und [mm]a_{2}[/mm] mit Hilfe der
> Anfangsbedingungen x(0) = [mm]x_{0}[/mm] und [mm]\dot{x}(0)[/mm] = 0 zu
> bestimmen.
>
> [mm]\dot{x}(0)[/mm] =
> [mm]a_{1}\*\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}[/mm] -
> [mm]a_{2}\*\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}[/mm] = 0
>
> [mm]\gdw a_{1}[/mm] = [mm]a_{2}[/mm] = a
>
> x(0) = [mm]2\*a[/mm] + [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}[/mm] = [mm]x_{0}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] a = [mm]\bruch{1}{2}\*(x_{0}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] x(t) = [mm]\bruch{1}{2}\*(x_{0}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*e^{\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{2}\*(x_{0}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*e^{-\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t}[/mm]
> + [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] x(t) = [mm](x_{0}[/mm] -
> [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1})\*cosh(\wurzel{\bruch{1}{L}\*g\*(1-sin(\phi))}\*t)[/mm]
> + [mm]\bruch{sin(\phi)*L}{sin(\phi)-1}[/mm]
>
> Ist das korrekt so? Kommt mir ein gutes Stück zu
> kompliziert vor...
>
Das ist korrekt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke,
> Gruß Tim
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Mi 11.04.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn so was kompliziert scheint setzt man die 2 Extremfälle [mm] \phi=0° [/mm] und [mm] \phi=90° [/mm] ein, dann sieht man dass es wenigstens da stimmt. Und für konkrete [mm] \phi [/mm] und L sind da ja nur Zahlen
gruss leduart
|
|
|
|
