Beweis A=aI < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, und sei [mm] A\in M_{nn} (\IK) [/mm] eine Matrix, sodass [mm] AB\AB=BA\ [/mm] für alle [mm] B\in M_{nn} (\IK)gilt. [/mm] Beweisen Sie, dass [mm] A=aI_{n} [/mm] für ein [mm] A\in \IK [/mm] ist. |
Hallo,
zu obiger Aufgabe habe ich folgenden Beweis erstellt:
Sei [mm] A=(a_{ij})=aI_{n}\in M_{nn} (\IK) [/mm] .
Für alle [mm] 1\1 \le [/mm] i [mm] \le n\n [/mm] und [mm] 1\1 \le [/mm] j [mm] \le n\n [/mm] gilt:
[mm] a_{ij}=(a\*0)_{1j}+(a\*0)_{2j}+...+(a\*0)_{i-1j}+(a\*1)_{ij}+(a\*0)_{i+1j}+...+(a\*0)_{nj}=aI_{ij}
[/mm]
Es folgt [mm] A=aI_{n}.
[/mm]
Könntet ihr mal drüber schaun ob er richtig ist, bitte.
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Hallo einstudent,
> Sei [mm]\IK[/mm] ein Körper, und sei [mm]A\in M_{nn} (\IK)[/mm] eine Matrix,
> sodass [mm]AB\AB=BA\[/mm] für alle [mm]B\in M_{nn} (\IK)gilt.[/mm] Beweisen
> Sie, dass [mm]A=aI_{n}[/mm] für ein [mm]A\in \IK[/mm] ist.
> Hallo,
>
> zu obiger Aufgabe habe ich folgenden Beweis erstellt:
>
> Sei [mm]A=(a_{ij})=aI_{n}\in M_{nn} (\IK)[/mm] .
> Für alle [mm]1\1 \le[/mm] i [mm]\le n\n[/mm] und [mm]1\1 \le[/mm] j [mm]\le n\n[/mm] gilt:
>
> [mm]a_{ij}=(a\*0)_{1j}+(a\*0)_{2j}+...+(a\*0)_{i-1j}+(a\*1)_{ij}+(a\*0)_{i+1j}+...+(a\*0)_{nj}=aI_{ij}[/mm]
> Es folgt [mm]A=aI_{n}.[/mm]
Ja natürlich folgt das, denn es war ja deine Voraussetzung. Ich lösche mal die eine Zeile. Dann siehst du es auch:
> Sei [mm]A=(a_{ij})=aI_{n}\in M_{nn} (\IK)[/mm] .
> Es folgt [mm]A=aI_{n}.[/mm]
Irgendwo sollte ja auch mal die Kommutativität ins Spiel kommen, also AB=BA.
Liebe Grüße
>
> Könntet ihr mal drüber schaun ob er richtig ist, bitte.
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 Do 10.04.2014 | | Autor: | einstudent |
Hallo Riechie 1401,
> Irgendwo sollte ja auch mal die Kommutativität ins Spiel
> kommen, also AB=BA.
Mein Beweis war also nur halb fertig.
Vielen Dank für Deinen Hinweis Richie1401.
Das mit der Kommutativität krieg ich hin.
LG einstudent
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