Beweis Additionssätze < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 So 14.06.2009 | | Autor: | silfide |
| Aufgabe | Beweise die Additionssätze für die Winkeldifferenzen
a) sin [mm] (\alpha-\beta)=sin \alpha [/mm] * cos [mm] \beta [/mm] - cos [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \beta [/mm]
b) cos [mm] ((\alpha-\beta)=cos \alpha [/mm] *cos [mm] \beta [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * sin [mm] \beta [/mm] |
Hallo Leute,
im Beweisen bin ich echt ganz schlecht und benötige deshalb dringend Hilfe. P.S. Mit der eigentlichen Aufgabenstellung, kann ich auch nicht viel anfangen, da dass im Unterricht schon anders aussah.
Also ich gehe von Folgendem aus:
geg: [mm] c_{1}=8+2i
[/mm]
[mm] c_{2}=3+4i
[/mm]
ges.: [mm] c_{3}=c_{1}/c_{2}
[/mm]
Ich weiß:
[mm] \alpha_{1}=14,04°
[/mm]
[mm] \alpha_{2}=53,13°
[/mm]
[mm] r_{1}=2 \wurzel{17}
[/mm]
[mm] r_{2}=5
[/mm]
Zuerst rechne ich [mm] c_{3} [/mm] über die Zeiger-Divison aus (damit ich weiß was rauskommen muss.
[mm] (8+2i)/(3+4i)=\bruch{(8+2i)*(3-4i)}{(3*3+4*4)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(8*3+2*4)}{(3*3+4*4)} +\bruch{(8*4+3*2)}{(3*3+4*4)}*i
[/mm]
[mm] =\bruch{32}{25}+\bruch{38}{25i}
[/mm]
Nun zu Polarform:
Ich gehe schlichtweg davon aus, dass es das umgekehre wie bei der Mulitplikation ist, also:
[mm] c_{1}/c_{2}=r_{1}/r_{2}(cos \alpha_{1}-\alpha_{2}+sin \alpha_{1}-sin \alpha_{2})
[/mm]
[mm] c_{3}=2 \wurzel{17}/5(cos [/mm] 14,04-53,13+ sin 14,04-53,13)
Aber ich glaube ich bin hier völlig auf dem Holzweg....
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:29 So 14.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo silfide!
Was haben nun die Winkelsätze mit der Aufgabe komplexer Zahlen zu tun? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Darfst Du für den Beweis der Winkeldifferenz die Sätze für [mm] $\sin(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ ...$ bzw. [mm] $\cos(\alpha+\beta) [/mm] \ = \ ...$ verwenden?
Dann brauchst Du nur anstelle von [mm] $\beta$ [/mm] jeweisl [mm] $-\beta$ [/mm] einsetzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 14.06.2009 | | Autor: | silfide |
Hallo Loddar,
Ich denke nicht, da dass Themengebiet Polarform komplexer Zahlen ist und wir (im Unterricht) mit Hilfe der Multiplikation auf die Winkelfunktion für Sinus und Cosinus gestossen sind - quasi als Nebenprodukt.
Und nun sollen wir dies mit Hilfe der Division tun ...
*Kopf ist wirr*
Und in meinen begleitenden Büchern steht auch nix dazu - Ich brauche Neue...
...
|
|
|
| |
|
Hallo
Ich weiss nicht genau, ob dieser Weg auch für deine Aufgabe hilfreich ist, aber die Additionstheoreme kannst du herleiten, in dem du beachtest, dass:
[mm] e^{i\alpha} [/mm] * [mm] e^{i\beta} [/mm] = [mm] e^{i(\alpha + \beta)}
[/mm]
Jetzt kannst du [mm] e^{i\alpha} [/mm] = [mm] cos(\alpha) [/mm] + i [mm] sin(\alpha) [/mm] schreiben.
[mm] (cos(\alpha) [/mm] + i [mm] sin(\alpha))*(cos(\beta) [/mm] + i [mm] sin(\beta)) [/mm] = [mm] cos(\alpha [/mm] + [mm] \beta) [/mm] + i [mm] sin(\alpha [/mm] + [mm] \beta))
[/mm]
Jetzt musst du nur ein bisschen umformen, Realteil und Imaginärteil zusammennehmen und dann diese auf der rechten und linken Seite gleichsetzten.
Nach wenigen Umformungen bekommt man dann das Resultat.
In deinem Fall müsstest du die Differenz betrachten.
Viele Grüsse, Amaro
|
|
|
| |
|
> Beweise die Additionssätze für die Winkeldifferenzen
> a) $\ [mm] sin(\alpha-\beta)=sin\,\alpha*cos\,\beta- cos\,\alpha*sin\,\beta$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> b) $\ cos [mm] (\alpha-\beta)=cos\,\alpha*cos\,\beta\,\red{-}\,sin\,\alpha*sin\,\beta$ [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diese Formel stimmt so nicht. Statt - sollte es + sein !
> Hallo Leute,
>
> im Beweisen bin ich echt ganz schlecht und benötige deshalb
> dringend Hilfe. P.S. Mit der eigentlichen Aufgabenstellung,
> kann ich auch nicht viel anfangen, da das im Unterricht
> schon anders aussah.
>
> Also ich gehe von Folgendem aus:
>
> geg: [mm]c_{1}=8+2i[/mm]
> [mm]c_{2}=3+4i[/mm]
>
> ges.: [mm]c_{3}=c_{1}/c_{2}[/mm]
>
> Ich weiß:
> [mm]\alpha_{1}=14,04°[/mm]
> [mm]\alpha_{2}=53,13°[/mm]
> [mm]r_{1}=2 \wurzel{17}[/mm]
> [mm]r_{2}=5[/mm]
>
> Zuerst rechne ich [mm]c_{3}[/mm] über die Zeiger-Divison aus (damit
> ich weiß was rauskommen muss.
>
> [mm](8+2i)/(3+4i)=\bruch{(8+2i)*(3-4i)}{(3*3+4*4)}[/mm]
> [mm]=\bruch{(8*3+2*4)}{(3*3+4*4)} +\bruch{(8*\red{4}+3*2)}{(3*3+4*4)}*i[/mm]
auch hier: Vorzeichenfehler !
>
> [mm]=\bruch{32}{25}+\bruch{38}{25i}[/mm]
>
> Nun zu Polarform:
>
> Ich gehe schlichtweg davon aus, dass es das umgekehrte wie
> bei der Mulitplikation ist, also:
>
> [mm]c_{1}/c_{2}=r_{1}/r_{2}(cos \alpha_{1}-\alpha_{2}+sin \alpha_{1}-sin \alpha_{2})[/mm]
Dies müsste richtig so lauten:
[mm]c_{1}/c_{2}=r_{1}/r_{2}*(cos(\alpha_{1}-\alpha_{2})+ i* sin(\alpha_{1}-\alpha_{2}))[/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 So 14.06.2009 | | Autor: | silfide |
Das hat mir jetzt ungemein geholfen, vorallem, das du mir sagst, dass die Aufgabenstellung falsch sein soll ... im Buch stehen die nun mal so drin ...
Und ne kurze Erklärung wäre auch hilfreich gewesen...
Aber danke für den Versuch! *nicht ironisch gemeint, denn kann ja sein, dass es anderen hilft*
|
|
|
| |
|
> Das hat mir jetzt ungemein geholfen, vorallem, das du mir
> sagst, dass die Aufgabenstellung falsch sein soll ... im
> Buch stehen die nun mal so drin ...
>
> Und ne kurze Erklärung wäre auch hilfreich gewesen...
>
> Aber danke für den Versuch! *nicht ironisch gemeint, denn
> kann ja sein, dass es anderen hilft*
Versuch ?? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
ich hab doch nur deinen Text durchgecheckt und
auf die darin steckenden Fehler hingewiesen ...
Und auf einen möglichen Weg, um die Formel zu
beweisen, hatte Loddar schon hingewiesen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
> Das hat mir jetzt ungemein geholfen, vorallem, das du mir
> sagst, dass die Aufgabenstellung falsch sein soll ... im
> Buch stehen die nun mal so drin ...
Hallo,
tja, davon wird die Aussage nicht richtiger. Papier ist geduldig.
Falsche Aussagen haben den Nachteil, daß man sie ungemein schlecht beweisen kann...
Ich find's immer ziemlich lästig, wenn man den halben Tag rumbeweist, sich ärgert, wirr wird, sich richtig blöd vorkommt - und dann feststellen muß, daß die Aussage nicht beweisbar ist.
Insofern finde ich Al Chwarizmis Hinweis sehr hilfreich, denn man kann den Stift fallen lassen und sich leichten Gewissens in die Hängematte legen. (Oder alternativ die richtige Aussage beweisen.)
>
> Und ne kurze Erklärung wäre auch hilfreich gewesen...
Was gibt's daran, daß die Aussage nicht stimmt, noch zu erklären?
Er hat Dir doch sogar gesagt, wie si richtig heißen muß.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
