www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Beweis: Ausdruck reell
Beweis: Ausdruck reell < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Beweis: Ausdruck reell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mi 25.05.2011
Autor: SusanneK

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für alle [mm] a,b,c,d \in \IC [/mm] mit [mm] a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c} [/mm] gilt:
[mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.

Hallo,
mein Ansatz ist folgender:
Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form a+ib sein  und damit muss alles, was hinter dem i steht, wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
(Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der Überlegung nicht mehr.)

Da man über d nichts weiß, muss also
[mm] Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) [/mm] 0 werden.

Allgemein gilt für [mm] Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z}) [/mm]  
hier also:
[mm] \frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b) [/mm]

Das müsste jetzt irgendwie 0 werden - wahrscheinlich mit den gleichen Längen - ich weiß aber leider nicht wie.

Danke im Voraus, Susanne.

        
Bezug
Beweis: Ausdruck reell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Mi 25.05.2011
Autor: abakus


> Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:

>  
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  
> Hallo,
> mein Ansatz ist folgender:
>  Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form a+ib
> sein  und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> Überlegung nicht mehr.)
>  
> Da man über d nichts weiß, muss also
>  [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0 werden.
>  
> Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]  
> hier also:
>  
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]

Hallo,
[mm] c\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{c}b [/mm] haben den gleichen Betrag - klar?
Nun ist [mm] Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b) [/mm] und
[mm] Arg(\overline{c}b [/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
[mm] c\overline{b} [/mm] - [mm] \overline{c}b [/mm] ist somit die Differenz zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen Realteile auf; sie ist rein imaginär.
(Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare [mm] a\overline{b} [/mm] und [mm] \overline{a}b [/mm]  bzw. [mm] c\overline{a} [/mm] und [mm] \overline{c}a [/mm] ).
Der Term [mm] (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b) [/mm] ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i wird er reell.
Gruß Abakus

>  
> Das müsste jetzt irgendwie 0 werden - wahrscheinlich mit
> den gleichen Längen - ich weiß aber leider nicht wie.
>
> Danke im Voraus, Susanne.


Bezug
                
Bezug
Beweis: Ausdruck reell: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:09 Do 26.05.2011
Autor: SusanneK


> > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
>  
> >  

> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>  
> >  

> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  >  
> > Hallo,
> > mein Ansatz ist folgender:
>  >  Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der Form
> a+ib
> > sein  und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > Überlegung nicht mehr.)
>  >  
> > Da man über d nichts weiß, muss also
>  >  [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> werden.
>  >  
> > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]  
> > hier also:
>  >  
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
>  Hallo,
>  [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen Betrag
> - klar?
>  Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
>  [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
>  Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> Realteile auf; sie ist rein imaginär.
>  (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm]  bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> [mm]\overline{c}a[/mm] ).
>  Der Term
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> wird er reell.
>  Gruß Abakus

Hallo Abakus,
vielen Dank für deine Hilfe !

Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag haben, ist mir nicht klar:
[mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
[mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
Oder mache ich hier etwas falsch ?

Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor [mm] i(c\overline{c}-d\overline{d}) [/mm] bestehen und damit ist der komplette Ausdruck immer noch nicht reell.

LG und danke, Susanne.



Bezug
                        
Bezug
Beweis: Ausdruck reell: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Do 26.05.2011
Autor: fred97


> > > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
>  >  
> > >  

> > >
> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  >  >  
> > > Hallo,
> > > mein Ansatz ist folgender:
>  >  >  Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der
> Form
> > a+ib
> > > sein  und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > > Überlegung nicht mehr.)
>  >  >  
> > > Da man über d nichts weiß, muss also
>  >  >  [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> > werden.
>  >  >  
> > > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]  
> > > hier also:
>  >  >  
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
>  >  Hallo,
>  >  [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen
> Betrag
> > - klar?
>  >  Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
>  >  [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= - (Arg(c)-Arg(b))
>  >  Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> > [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> > zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> > entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> > Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> > Realteile auf; sie ist rein imaginär.
>  >  (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> > [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm]  bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> > [mm]\overline{c}a[/mm] ).
>  >  Der Term
> >
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> > wird er reell.
>  >  Gruß Abakus
>  
> Hallo Abakus,
>  vielen Dank für deine Hilfe !
>  
> Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag
> haben, ist mir nicht klar:
>  [mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
>  [mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
>  Oder mache ich hier etwas falsch ?

Ja.   [mm](2-i)(-1+i) \ne (-1-i)[/mm]  Rechne nochmal nach.

FRED


>  
> Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das
> verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der
> Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor
> [mm]i(c\overline{c}-d\overline{d})[/mm] bestehen und damit ist der
> komplette Ausdruck immer noch nicht reell.
>  
> LG und danke, Susanne.
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
Beweis: Ausdruck reell: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:13 Do 26.05.2011
Autor: SusanneK


> > > > Zeigen Sie, dass für alle [mm]a,b,c,d \in \IC[/mm] mit
> > > > [mm]a\overline{a}=b\overline{b}=c\overline{c}[/mm] gilt:
>  >  >  
> > > >  

> > > >
> > >
> >
> [mm](a-b)(c-d)(\overline{a}-\overline{d})(\overline{c}-\overline{b})+i(c\overline{c}-d\overline{d})Im(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}) \in \IR[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>  >  >  >  
> > > > Hallo,
> > > > mein Ansatz ist folgender:
>  >  >  >  Diese Darstellung soll eine komplexe Zahl in der
> > Form
> > > a+ib
> > > > sein  und damit muss alles, was hinter dem i steht,
> > > > wegfallen, dass der Ausdruck reell wird.
> > > > (Wenn diese Überlegung falsch ist, passt auch der Rest der
> > > > Überlegung nicht mehr.)
>  >  >  >  
> > > > Da man über d nichts weiß, muss also
>  >  >  >  [mm]Im (c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b})[/mm] 0
> > > werden.
>  >  >  >  
> > > > Allgemein gilt für [mm]Im(z)=\frac{1}{2i}(z-\overline{z})[/mm]  
> > > > hier also:
>  >  >  >  
> > > >
> > >
> >
> [mm]\frac{1}{2i}(c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
>  >  >  Hallo,
>  >  >  [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] haben den gleichen
> > Betrag
> > > - klar?
>  >  >  Nun ist [mm]Arg(c\overline{b})=Arg(c)-Arg(b)[/mm] und
>  >  >  [mm]Arg(\overline{c}b[/mm] )=Arg(b)-Arg(c)= -
> (Arg(c)-Arg(b))
>  >  >  Die in deinem genannten Term auftretende Differenz
> > > [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] ist somit die Differenz
> > > zweier Zahlen mit gleichem Realteil (da gleicher Betrag und
> > > entgegengesetzte Argumente) und entgegengesetztem
> > > Imaginärteil. In dieser Differenz heben sich die gleichen
> > > Realteile auf; sie ist rein imaginär.
>  >  >  (Gleiches gilt für die anderen beiden Produktpaare
> > > [mm]a\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{a}b[/mm]  bzw. [mm]c\overline{a}[/mm] und
> > > [mm]\overline{c}a[/mm] ).
>  >  >  Der Term
> > >
> >
> [mm](c\overline{b}-c\overline{a}-a\overline{b}-\overline{c}b+\overline{c}a+\overline{a}b)[/mm]
> > > ist somit rein imaginär, und durch die Division mit 2i
> > > wird er reell.
>  >  >  Gruß Abakus
>  >  
> > Hallo Abakus,
>  >  vielen Dank für deine Hilfe !
>  >  
> > Dass [mm]c\overline{b}[/mm] und [mm]\overline{c}b[/mm] den gleiche Betrag
> > haben, ist mir nicht klar:
>  >  [mm](2+i)(-1-i)=(-1-3i)[/mm]
>  >  [mm](2-i)(-1+i)=(-1-i)[/mm]
>  >  Oder mache ich hier etwas falsch ?
>  
> Ja.   [mm](2-i)(-1+i) \ne (-1-i)[/mm]  Rechne nochmal nach.

[mm](2-i)(-1+i)=(-1+3i)[/mm]
Auweia, vielen Dank !

LG, Susanne.

>  
> FRED
>  
>
> >  

> > Dass [mm]c\overline{b}[/mm] - [mm]\overline{c}b[/mm] rein imaginär wird, das
> > verstehe ich. Aber wenn durch die Division mit 2i der
> > Ausdruck "Im(..)" reell wird, bleibt ja noch der Faktor
> > [mm]i(c\overline{c}-d\overline{d})[/mm] bestehen und damit ist der
> > komplette Ausdruck immer noch nicht reell.
>  >  
> > LG und danke, Susanne.
>  >  
> >  

>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de