Beweis Betragsungleichung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Für alle [mm] x,y,z\in \IR: |x-y|\le [/mm] |x-z|+|y-z|
Zeige! |
Wie zeigt man das? Wie nennt man diese Ungleichung? Dreiecksungleichung ist das ja nicht. Könnt ihr mir hier etwas auf die Sprünge helfen?
LG
heinze
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Hallo heinze,
> Für alle [mm]x,y,z\in \IR: |x-y|\le[/mm] |x-z|+|y-z|
>
> Zeige!
> Wie zeigt man das? Wie nennt man diese Ungleichung?
> Dreiecksungleichung ist das ja nicht. Könnt ihr mir hier
> etwas auf die Sprünge helfen?
Das ist doch die Dreiecksungleichung (bzw. steckt sie drin)!
[mm]|x-y|=|x\underbrace{\red{-z+z}}_{\red{=0}}-y|=|(x-z)+(z-y)|\le |x-z|+|z-y|[/mm] ...
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
Ja, das die Dreiecksungleichung mit drinnen ist, das hab ich mir geahnt!
Ich bin mit dem beweisen noch nicht so vertraut.
Deine Beweisschritte konnte ich nachvollziehen, aber was kommt nach den ... ? Ich muss nun noch |z-y| in |y-z| kriegen. Kann ich das auch durch |z-y+y-z| ausgleichen?aber dann müsste ich ja den anderen Betrag |x-z|auch ändern, oder? Stehe grad beim Umformen auf der Leitung,
LG
heinze
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Hallo nochmal,
> Ja, das die Dreiecksungleichung mit drinnen ist, das hab
> ich mir geahnt!
> Ich bin mit dem beweisen noch nicht so vertraut.
>
> Deine Beweisschritte konnte ich nachvollziehen, aber was
> kommt nach den ... ? Ich muss nun noch |z-y| in |y-z|
> kriegen.
Ja
> Kann ich das auch durch |z-y+y-z| ausgleichen?
Na, es ist doch [mm]|-w|=|w|[/mm] ...
> aber
> dann müsste ich ja den anderen Betrag |x-z|auch ändern,
> oder? Stehe grad beim Umformen auf der Leitung,
Dann mache schnell einen Schritt nach vorne, runter von der Leitung 
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:23 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
Danke! Warum einfach wenns auch komplizierter geht!
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:52 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für alle [mm]x,y,z\in \IR: |x-y|\le[/mm] |x-z|+|y-z|
>
> Zeige!
> Wie zeigt man das? Wie nennt man diese Ungleichung?
> Dreiecksungleichung ist das ja nicht. Könnt ihr mir hier
> etwas auf die Sprünge helfen?
ich frage mich gerade, ob ihr, um das zu beweisen, die Dreiecksungleichung
überhaupt benutzen dürft. Denn das obige ist einfach die
Dreiecksungleichung, und die muss man in [mm] $\IR$ [/mm] erstmal beweisen.
Aber das geht einfach, man macht einfach ein paar Fallunterscheidungen.
Ohne Einschränkung sei $x [mm] \le y\,.$ [/mm] Dann ist [mm] $|x-y|=y-x\,.$
[/mm]
1. Fall: Sei $z [mm] \le x\,,$ [/mm] dann...
2. Fall: Sei $x [mm] \le [/mm] z [mm] \le y\,,$ [/mm] dann...
3. Fall: Sei $z [mm] \ge y\,,$ [/mm] dann...
Das brauchst Du so aber nur, wenn ihr die Dreiecksungleichung noch nicht
bewiesen habt. Wenn ihr sie allerdings bewiesen habt und verwenden
dürft, ist die Aufgabe aber witzlos. Dann würde ich volle Punkte geben,
wenn mir jemand als Lösung der Aufgabe schreibt "Wegen der
Dreiecksungleichung ist dies eine Trivialität!"
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:55 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
hallo Marcel,
die dreicksungleichung haben wir bereits in der Vorlesung bewiesen.
Also kann ich schreiben, das meine gleichung trivial ist und einfach die genannten schritte zur umformung schreiben! mich wundert es, dass es so viele punkte auf die aufgabe gibt, das irritiert mich!
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo Marcel,
> die dreicksungleichung haben wir bereits in der Vorlesung
> bewiesen.
ha, okay. Ich denke wohl zu "metrisch". Habt ihr sie in der Form
$$|a+b| [mm] \le [/mm] |a|+|b|$$
bewiesen? (So formuliert man sie ja in normierten Räumen!)
Dann musst Du sie auch in dieser Form anwenden, und dann bist Du bei
dem, was Schachuzipus geschrieben hat!
> Also kann ich schreiben, das meine gleichung trivial ist
Das ist eine Ungleichung!
> und einfach die genannten schritte zur umformung schreiben!
Ja, dann schreibe halt
[mm] $$|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\,$$
[/mm]
und wende dann die obige Dreiecksungleichung auf [mm] $a:=x-z\,$ [/mm] und [mm] $b:=z-y\,$ [/mm] an.
> mich wundert es, dass es so viele punkte auf die aufgabe
> gibt, das irritiert mich!
Das hat nicht immer was zu heißen! (Es kann aber sein, dass man jeden
Schritt penibelst begründet haben will:
[mm] $x-y=x+(0+(-y))=x+(((-z)+z)+(-y))=(x+(-z))+(z-y)=(x-z)+(z-y)=...\,$
[/mm]
gilt wegen ... - das kann ich aber nicht beurteilen, das wirst Du eher selbst
wissen!)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
Sorry, dass ich hier nochmal schreibe, aber so richtig verstanden ist es immer noch nicht!!
Wenn ich die "Kurzfassung" schreibe, dann könnte es so aussehen:
[mm] |x-y|\le [/mm] |x-z|+|y-z|
[mm] |x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|\le [/mm] |x-z|+|z-y| bzw |x-z|+|y-z|
Aber wie ich das analog mit dem Beweis zur Dreiecksungleichung zeigen kann ist mir nicht klar. Hab mich dran versucht, aber weiß nicht weiter.
LG
heinze
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Hallo nochmal,
> Sorry, dass ich hier nochmal schreibe, aber so richtig
> verstanden ist es immer noch nicht!!
>
> Wenn ich die "Kurzfassung" schreibe, dann könnte es so
> aussehen:
>
> zu zeigen: für alle .... gilt: [mm]|x-y|\le[/mm] |x-z|+|y-z|
>
> dazu: seien ... beliebig. Dann gilt: [mm]|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|\le[/mm] |x-z|+|z-y| =|x-z|+|y-z| wegen |-w|=|w| bzw
> |x-z|+|y-z|
>
>
> Aber wie ich das analog mit dem Beweis zur
> Dreiecksungleichung zeigen kann ist mir nicht klar.
Na, wenn du doch die [mm]\triangle[/mm]-Ungleichung schon hattest, musst du doch nur am ersten [mm]\le[/mm] als Begründung "[mm]\triangle-Ungl.[/mm]" dranschreiben
> Hab mich dran versucht, aber weiß nicht weiter.
Die ganzen Fallunterscheidungen kannst du dir sparen, wenn du die Dreiecksungl. benutzen darfst - und das darfst du ja ...
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Mi 08.05.2013 | | Autor: | heinze |
Also reicht das im Prinzip so wie ich es bzw du es schon formuliert hast?
LG
heinze
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Hallo nochmal,
jo, das reicht - schreibe die 2 Begründungen dran und alles wird gut
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 08.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry, dass ich hier nochmal schreibe, aber so richtig
> verstanden ist es immer noch nicht!!
>
> Wenn ich die "Kurzfassung" schreibe, dann könnte es so
> aussehen:
>
> [mm]|x-y|\le[/mm] |x-z|+|y-z|
>
> [mm]|x-y|=|x-z+z-y|=|(x-z)+(z-y)|\le[/mm] |x-z|+|z-y| bzw
> |x-z|+|y-z|
>
>
> Aber wie ich das analog mit dem Beweis zur
> Dreiecksungleichung zeigen kann ist mir nicht klar. Hab
> mich dran versucht, aber weiß nicht weiter.
auch, wenn Du das ja nicht brauchst (ich bin die Dreiecksungleichung
irgendwie immer mehr in "metrischer" Form gewohnt, und genau diese
beweist ihr eigentlich, und zwar, indem ihr die Dreiecksungleichung in
"normierter Form" benutzt):
Du kannst das auch, wie gesagt, mit Fallunterscheidungen beweisen (auch,
wenn das dann eigentlich zu viel Arbeit wäre):
Sei o.E. $x [mm] \le y\,.$
[/mm]
1. Fall: Sei $z [mm] \le [/mm] x:$
Hier gelten dann [mm] $|x-y|=y-x\,,$ $|x-z|=x-z\,$ [/mm] und [mm] $|y-z|=y-z\,.$ [/mm]
Somit ist die zu beweisende Ungleichung
$$|x-y| [mm] \le |x-z|+|y-z|\,$$
[/mm]
gleichwertig mit
$$y-x [mm] \le x-z+y-z\,.$$
[/mm]
Wenn wir nun die letzte Ungleichung begründen, impliziert diese also dann
insbesondere die Behauptung (in diesem Fall).
Da $z [mm] \le [/mm] x$ gilt, gilt auch $2z [mm] \le [/mm] 2x$ und damit auch
$$-x [mm] \le [/mm] x-z-z$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] y-x [mm] \le x-z+y-z\,.$$
[/mm]
Damit ist die Ungleichung im ersten Fall bewiesen.
Jetzt müßtest Du natürlich noch die anderen beiden Fälle (2. Fall: $x [mm] \le [/mm] z [mm] \le [/mm] y$
und 3.Fall: $z [mm] \ge [/mm] y$) durchkauen, wobei man sich sicher mit Geschick' auch
einen Fall quasi ersparen kann...
Aber wie gesagt: Das hier ist eher eine "alternative Lösung", die man nicht
unbedingt durchrechnen muss, wenn man eh die Dreiecksungleichung "in
normierter Form" schon vorliegen hat.
Was ich damit meine, wirst Du eh erst verstehen, wenn ihr später mal
allgemein normierte bzw. metrische Räume behandelt. Und dann wirst Du
auch darauf stoßen, dass jeder normierte Raum "in natürlicher Weise einen
metrischen Raum" induziert. Prinzipiell rechnet man da genauso, wie wir
es hier getan haben. Aber das kommt alles erst später irgendwann einmal...
Gruß,
Marcel
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