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Hi!
Im Königsberger Analysis1 Band gibt es folgenden Beweis zur Binomialentwicklung [mm] (1+x)^{n}=1+\vektor{n\\ 1}x+\vektor{n\\ 2}x^2+...+\vektor{n\\ n-1}x^{n-1}+x^n
[/mm]
Es gibt [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] Möglichkeiten, k Klammern aus den n Klammern (1+x) der linken Seite auszuwählen und daraus dann x als Faktor zu nehmen. Beim Ausmultiplizieren des links stehenden Produktes entsteht also nach Satz 2 [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] mal die Potenz [mm] x^k.
[/mm]
ab "und daraus dann x als Faktor zu nehmen..." verstehe ich den Beweis nicht mehr. Ich kann zwar anhand eines Beispiels [mm] (1+x)^3 [/mm] nachvollziehen, dass beim Ausmultiplizieren von z.B. (1+x)(1+x)(1+x) [mm] \vektor{3 \\ 1} [/mm] mal der Faktor x entsteht.
Aber ich finde, dass der Beweis dies nicht allgemein zeigt.
Kann mir vielleicht jemand helfen, den Beweis komplett zu verstehen?
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> Hi!
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> Im Königsberger Analysis1 Band gibt es folgenden Beweis zur
> Binomialentwicklung [mm](1+x)^{n}=1+\vektor{n\\ 1}x+\vektor{n\\ 2}x^2+...+\vektor{n\\ n-1}x^{n-1}+x^n[/mm]
>
> Es gibt [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] Möglichkeiten, k Klammern aus den n
> Klammern (1+x) der linken Seite auszuwählen
Hallo,
daß es [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] Möglichkeiten dafür gibt, von n Objekten k auszuwählen, ist eine kombinatorische Weisheit, man kann sich das überlegen.
Akzeptieren wir diese Weisheit als ein Fakt, so geht es wie folgt weiter.
Stellen wir uns mal vor, wir wollten [mm] (1+x)^{5} [/mm] berechnen.
Daß das Ergebnis die Gestalt [mm] x^{5} [/mm] + [mm] ...x^{4} [/mm] + [mm] ...x^{3} [/mm] + [mm] ...x^2 [/mm] + ...x + 1 hat, ist uns klar.
Nun interessieren wir uns für die Koeffizienten, sagen wir mal für den vor [mm] x^{3}.
[/mm]
Wann bekommen wir beim Multiplizieren [mm] x^{3} [/mm] heraus? Immer dann, wenn wir ein Produkt bilden , in welchen 3 der 5 Faktoren das x sind und die restlichen 2 Faktoren die 1.
Das sind all die Produkte, bei denen wir aus 3 Klammern beim Multiplizieren das x verwenden, beim Rest die 1.
[mm] (1+x)^5=\red{(1+x)}\blue{(1+x)}\green{(1+x)}\color{BurntOrange}{(1+x)\color{LimeGreen}{(1+x)}}
[/mm]
Nun schauen wir mal, wie wir beim Multiplizieren zu [mm] x^3 [/mm] kommen können:
[mm] \red{1}*\blue{1}*\green{x}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{1}*\blue{x}*\green{1}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{1}*\blue{x}*\green{x}*\color{BurntOrange}{1}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{1}*\blue{x}*\green{x}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{1}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{1}*\green{1}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{1}*\green{x}*\color{BurntOrange}{1}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{1}*\green{x}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{1}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{x}*\green{1}*\color{BurntOrange}{1}*\color{LimeGreen}{x}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{x}*\green{1}*\color{BurntOrange}{x}*\color{LimeGreen}{1}
[/mm]
[mm] \red{x}*\blue{x}*\green{x}*\color{BurntOrange}{1}*\color{LimeGreen}{1}
[/mm]
Es kommt also bei [mm] \vektor{5\\3} [/mm] Faktoren [mm] x^3 [/mm] heraus, denn wir haben für diese Produkte immer aus drei Klammern das x genommen.
> Aber ich finde, dass der Beweis dies nicht allgemein zeigt.
> Kann mir vielleicht jemand helfen, den Beweis komplett zu
> verstehen?
Und mit derselben Überlegung geht das nun für [mm] (1+x)^n, [/mm] wenn man sich überlegt, wie der Koeffizient vor [mm] x^k [/mm] lautet: immer wenn ich mein Produkt aus n Faktoren so habe, daß ich aus k Klammern das x dabei habe, aus den restlichen die 1, bekomme ich [mm] x^k. [/mm] Und dafür gibt's eben [mm] \vektor{n\\k} [/mm] Möglichkeiten.
Gruß v. Angela
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ich danke dir für diese tolle Antwort! Ich hab es jetzt verstanden!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:09 Mi 10.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier hilft einfaches Ausmultiplizieren weiter.
Also:
(a+b)(c+d)(e+f)
=(ac+ad+bc+bd)(e+f)
=...
Das Potenzieren ist genauso eine Kurzschreibweise wir das Multiplizieren.
[mm] \underbrace{a+a+...+a}_{\text{n-mal}}=n*a
[/mm]
Und genauso:
[mm] \underbrace{a*a*...*a}_{\text{n-mal}}=a^{n}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mi 10.09.2008 | | Autor: | Bit2_Gosu |
jo, ok danke, wobei das:
(a+b)(c+d)(e+f)
=(ac+ad+bc+bd)(e+f)
auch erstmal gezeigt werden müsste.
Aber ich denke, so kann man es zeigen, wenn man vorraussetzt das m(n+o)=mn+mo:
(a+b)(c+d)(e+f)=(a(c+d)+b(c+d))(e+f)=(ac+ad+bc+bd)(e+f)
Thema erledigt ;)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:11 Mi 10.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dazu mal die andere Antwort hier im Thread.
Marius
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