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Forum "Kombinatorik" - Beweis: Binomialkoeffizient
Beweis: Binomialkoeffizient < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Beweis: Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Sa 01.11.2008
Autor: L5er

Aufgabe
Zeigen Sie: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k} [/mm] unter der Verwendung von [mm] \vektor{n\\k}:= \bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm]

Guten Abend liebe Forengemeinde!

Bei obiger Aufgabe komme ich nicht mehr weiter. Hier mein bisheriges Vorgehen:


Zu zeigen: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k} [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]


Wie kann ich jetzt weiter vorgehen? Ein gemeinsamer Nenner ist für mich unmöglich zu finden, lässt sich evtl. irgendwo noch mehr zusammenfassen?

Viele Grüße und Danke für Eure Hilfe schon im Voraus!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Sa 01.11.2008
Autor: angela.h.b.

Hallo,

guck mal da.

Gruß v. Angela

Bezug
                
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 01.11.2008
Autor: L5er

Hallo, Danke für den Link! Nachdem ich in jenem Thread gelesen habe, bin ich einen kleinen Schritt weiter:

Zu zeigen: [mm] \vektor{n-1\\k-1}+\vektor{n-1\\k}=\vektor{n\\k} [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-1-(k-1))!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

Ich erweitere die beiden linken Brüche mit [mm] \bruch{k}{k}: [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}+\bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

Ist das so weit richtig? Leider weiß aber auch hier nicht mehr weiter. Ist [mm] 2((n-1)!\*k) [/mm] wirklich gleich n! ?

Bezug
                        
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:05 Sa 01.11.2008
Autor: pelzig


> [mm] $\bruch{(n-1)!}{(n-k)!\*(k-1)!}+\bruch{(n-1)!}{(n-1-k)!\*k!}$ [/mm]

Du musst doch nur den Hauptnenner bilden, der ist [mm] $(n-k)!\cdot [/mm] k!$. Erweitere also den ersten Bruch mit k und den zweiten mit n-k.

Gruß, Robert

Bezug
                                
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Sa 01.11.2008
Autor: L5er

Danke für Deine schnelle Antwort!

Stimmt, es ist schon logisch, den ersten Bruch mit k zu erweitern, und den zweiten mit (n-k), sodass dies herauskommt:

[mm] \bruch{(n-1)!\*k}{(n-k)!\*k!}+\bruch{(n-1)!\*(n-k)}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

[mm] \bruch{(n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k)}{(n-k)!\*k!}=\bruch{n!}{(n-k)!\*k!} [/mm]

Aber wieso ist [mm] (n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k) [/mm] = n! ? Ich sehe da keine Möglichkeiten mehr, weiter zusammenzufassen. Tut mir Leid, ich stehe total auf dem Schlauch :-( Kann mir jemand weiterhelfen?

Bezug
                                        
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:28 Sa 01.11.2008
Autor: angela.h.b.


> Aber wieso ist [mm](n-1)!\*k+(n-1)!\*(n-k)[/mm] = n! ?

Hallo,

klammere mal den gemeinsamen Faktor aus.

Gruß v. Angela



Bezug
                                                
Bezug
Beweis: Binomialkoeffizient: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:38 Sa 01.11.2008
Autor: L5er

Ah, natürlich! :-)

[mm] (n-1)!\*(k+(n-k)) [/mm] = [mm] (n-1)!\*n [/mm] = n!

Vielen lieben Dank ihr beiden für Eure Unterstützung! Ihr habt meinen Abend gerettet!

Bezug
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