Beweis Darstellung Primzahlen < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei p eine Primzahl, sodass p>3. Zeigen sie:
a) p ist von der form 6k+1 oder 6k-1
b) folgern Sie daraus, dass 24|(p² - 1)
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Kann mir hier jemand helfen: Ich hab nicht wirklich einen Plan. Meine Vermutung ist: vollständige Induktion, hab es aber nicht zusammen gebracht. Der zweite Teil ist leichter: einfach den ersten Ausdruck einsetzten.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:00 Mo 06.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei p eine Primzahl, sodass p>3. Zeigen sie:
> a) p ist von der form 6k+1 oder 6k-1
> b) folgern Sie daraus, dass 24|(p² - 1)
>
> Kann mir hier jemand helfen: Ich hab nicht wirklich einen
> Plan. Meine Vermutung ist: vollständige Induktion, hab es
> aber nicht zusammen gebracht.
Nein, es geht viel einfacher: Du schreibst $p = 6 k + r$ mit $0 [mm] \le [/mm] r < 6$ und $k, r [mm] \in \IZ$ [/mm] (Division mit Rest). Jetzt ueberlegst du dir, was passiert, wenn $r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \}$ [/mm] ist. Bleiben also die Moeglichkeiten $r [mm] \in \{ 1, 5 \}$ [/mm] ueber, und die liefern die Behauptung (siehst du warum?).
> Der zweite Teil ist leichter: einfach den ersten Ausdruck einsetzten.
Genau.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 18.11.2007 | | Autor: | Luuly |
Hallo,
zu dieser Aufgabe habe ich folgende Überlegung:
6k ist durch 6 teilbar und kann nicht prin sein.
6k±2 ist durch 2 teilbar und kann nicht prim sein.
6k±3 ist durch 3 teilbar und kann nicht prim sein.
6k+4=6(k+1)-2 und 6k-4=6(k-1)+ 2 sind durch 2 teilbar, also auch nicht prim.
es bleiben r=±1 und r= ±5 übrig. 6k±5 ist wiederum 6k±1.
Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder 6k-1=6(k-1)+5 besitzen.
ist das richtig?
viele Grüße
Luuly
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mo 19.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Luuly
> 6k ist durch 6 teilbar und kann nicht prin sein.
> 6k±2 ist durch 2 teilbar und kann nicht prim sein.
> 6k±3 ist durch 3 teilbar und kann nicht prim sein.
> 6k+4=6(k+1)-2 und 6k-4=6(k-1)+ 2 sind durch 2 teilbar,
> also auch nicht prim.
> es bleiben r=±1 und r= ±5 übrig. 6k±5 ist wiederum 6k±1.
> Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
> 6k-1=6(k-1)+5 besitzen.
>
> ist das richtig?
Ja. Wobei das natuerlich nur fuer Primzahlen $> 3$ gilt 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:04 Sa 24.11.2007 | | Autor: | juli123 |
| Aufgabe | Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
6k-1=6(k-1)+5 besitzen. |
Woraus erkenne ich, dass ich so alle Primzahlen darstellen kann? Das es für $ r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \} [/mm] $ keine Primzahl sein kann, ist klar. Aber warum ich dann für $ r [mm] \in \{ -1, 1 \} [/mm] $ alle Primzahlen bekomme, verstehe ich nicht? Es könnten ja auch Primzahlen fehlen? Und mit der angegebenen Form bekomme ich ja nicht nur Primzahlen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:51 Sa 24.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Somit müssen alle Primzahlen die Form 6k+1=6(k+1)-5 oder
> 6k-1=6(k-1)+5 besitzen.
>
> Woraus erkenne ich, dass ich so alle Primzahlen darstellen
> kann? Das es für [mm]r \in \{ 0, 2, 3, 4 \}[/mm] keine Primzahl
> sein kann, ist klar. Aber warum ich dann für [mm]r \in \{ -1, 1 \}[/mm]
> alle Primzahlen bekomme, verstehe ich nicht? Es könnten ja
> auch Primzahlen fehlen? Und mit der angegebenen Form
> bekomme ich ja nicht nur Primzahlen.
Wir haben gezeigt, ist $n > 3$ eine natuerliche Zahl mit $n = 6 k + r$, $0 [mm] \le [/mm] r < 5$, so folgt aus $r [mm] \in \{ 0, 2, 3, 4 \}$, [/mm] dass $n$ keine Primzahl ist.
Kontraposition dieser Aussage: ist $n > 3$ eine Primzahl, so ist $r = 1$ oder $5$ (bzw. $-1$).
Wir haben also gezeigt, dass jede Primzahl $> 3$ diese Form hat. Das heisst aber noch lange nicht, dass jede Zahl dieser Form eine Primzahl ist! (Aber das haben wir auch gar nicht behauptet!)
LG Felix
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