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| Aufgabe | Sei y : D [mm] \to \Ir [/mm] mit D [mm] \subset \IR [/mm] eine beliebig oft differenzierbare Funktion mit y(x) [mm] \not [/mm] +/- 1 für alle x [mm] \in [/mm] D. Ferner genüge y der Differentialgleichung
[mm] (1-y(x)^{2})y''(x) [/mm] = [mm] (1-y'(x)^{2})y(x), [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] D.
Zeigen Sie für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 mit vollständiger Indunktion, dass die Ableitungen
[mm] y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x) [/mm] für alle c [mm] \in [/mm] D. |
IA: n = 2
y''(x) = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(0)}(x)
[/mm]
y''(x) = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y(x) [/mm] | * [mm] (1-y(x)^{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Vorraussetzung
[mm] (1-y(x)^{2})y''(x) [/mm] = [mm] (1-y'(x)^{2})y(x)
[/mm]
Somit gilt der Induktionsanfang.
IS: n [mm] \to [/mm] n+1 und [mm] y^{(n)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x).
[/mm]
zz: [mm] y^{(n+1)}(x) [/mm] = [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)}(x)
[/mm]
[mm] y^{(n+1(}(x) [/mm] = [mm] (y^{(n)})' [/mm]
= [mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x))' [/mm]
= (Produkt, Quotientenregel) [mm] (\bruch{2y(x)y'(x)(1-y'(x)^{2})}{(1-y(x)^{2})^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{2y'(x)y''(x)}{1-y(x)^{2}}) y^{(n-2)}(x) [/mm] + [mm] \bruch{1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)}
[/mm]
Hier komme ich leider nicht weiter.
Kann mir jemand helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Mi 30.06.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Schau dir mal diesen ThreadEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
an, da wird dieselbe Aufgabe behandelt.
Die Idee ist komplett okay, aber wie kommst du auf den Blauen Teil?
$ (\bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2}}y^{(n-2)}(x))' $
$ =\blue{\bruch{2y(x)y'(x)(1-y'(x)^{2})}{(1-y(x)^{2})^{2}}-\bruch{2y'(x)y''(x)}{1-y(x)^{2}}) y^{(n-2)}(x)}}+\bruch{1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}y^{(n-1)} $
Wenn du $ \bruch{(1-y'(x)^{2})}{1-y(x)^{2} $ ableitest, sollte erstmal nur ein einzelner Bruch herauskommen, keine Differenz zweier Brüche
Marius
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Hier mal die Ableitungen:
[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}}) [/mm] = [mm] \bruch{u}{v}
[/mm]
u'(x)= -2 y'(x) y''(x)
v'(x) = -2 y(x) y'(x)
[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})' [/mm] = [mm] \bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}}
[/mm]
und das wäre dann vereinfacht (kürzen) der blaue therm. man kanns aber auch so stehen lassen.
ja und da klemmts und da hilft auch nicht der andere thread. :(
[mm] (\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)})'
[/mm]
(Produktregel)
= [mm] \bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}} y^{(n-2)}(x) [/mm] + [mm] \bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)}(x)
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 30.06.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hier mal die Ableitungen:
>
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})[/mm] = [mm]\bruch{u}{v}[/mm]
>
> u'(x)= -2 y'(x) y''(x)
> v'(x) = -2 y(x) y'(x)
>
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}})'[/mm] = [mm]\bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}}[/mm]
>
> und das wäre dann vereinfacht (kürzen) der blaue therm.
> man kanns aber auch so stehen lassen.
>
> ja und da klemmts und da hilft auch nicht der andere
> thread. :(
alles ok bis hier her
sollte wohl
[mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-2)})'[/mm]
sein
>
> [mm](\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)})'[/mm]
>
> (Produktregel)
> = [mm]\bruch{(-2 y'(x) y''(x)) (1-y(x)^{2}) - (-2 y(x) y'(x))(1-y'(x)^{2}}{(1-y(x))^{2}} y^{(n-2)}(x)[/mm]
> + [mm]\bruch{(1-y'(x)^{2}}{1-y(x)^{2}} y^{(n-1)}(x)[/mm]
>
und stimmt dann auch
Um den "ärgerlichen" Bruch verschwinden zu lassen, den Zähler mit der vorausgesetzten Dgl. vergleichen
Gruß meili
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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