Beweis Differenz des Urbildes < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:30 Fr 17.10.2008 | | Autor: | noctua |
| Aufgabe | Sei f eine Funktion von M nach N, seien B und C Teilmengen von N und sei P eine Menge von Teilmengen von N. Zeigen Sie:
[mm] f^{-1}[B [/mm] \ [mm] C]=f^{-1}[B] [/mm] \ [mm] f^{-1}[C]
[/mm]
[mm] f^{-1}[\cap [/mm] P] = [mm] \cap \{f^{-1}[B] | B \in P\} [/mm] |
Hallo,
zunächst mal zur ersten Zeile:
Habe gerade einen Luftsprung gemacht, weil ich was vernünftiges dranstehen habe, die Frage ist, ob das so richtig ist:
{x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] (B \ C)} = {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] B} \ {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] C}
{x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \not\in [/mm] C} = {x [mm] \in [/mm] M | f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \not\in [/mm] C}
Da ja auf beiden Seiten das gleiche steht, bin ich doch schon fertig oder?
Danke für eure Hilfe!!
Gruß,
noctua
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei f eine Funktion von M nach N, seien B und C Teilmengen
> von N und sei P eine Menge von Teilmengen von N. Zeigen
> Sie:
> [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C]=f^{-1}[B][/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich sag' mal so: Du hast Dir bestimmt das Richtige überlegt, aber so, wie's dasteht, ist's kein Beweis.
Zu zeigen ist
> [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C]=f^{-1}[B][/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm].
Es handelt sich also darum, die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen.
Das macht man am besten elementweise, indem man zeigt, daß jedes Element der einem Menge auch in der anderen liegt und umgekehrt.
Es ist also zu zeigen
i. [mm] x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C] ==> [mm] x\in f^{-1}[B] [/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm]
und
ii. [mm] x\in f^{-1}[B] [/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm] ==> [mm] x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C]
Zu i.: leg' so los
x [mm] \in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C] ==> f(x) [mm] \in [/mm] B \ C ==> ...
Und für ii. dann entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Fr 17.10.2008 | | Autor: | noctua |
Hallo,
danke für den Hinweis und deinen Vorschlag!
Ich komme nun auf folgende Lösung:
> Es ist also zu zeigen
>
> i. [mm]x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C] ==> [mm]x\in f^{-1}[B]\[/mm] [mm]f^{-1}[C][/mm]
>
> und
>
> ii. [mm]x\in f^{-1}[B][/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm] ==> [mm]x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C]
> Zu i.: leg' so los
> x [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C] ==> f(x) [mm]\in[/mm] B \ C ==> ...
> Und für ii. dann entsprechend.
i. f(x) [mm] \in [/mm] (B \ C) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] f(x) [mm] \not\in [/mm] C
ii. das selbe, indem ich die Klammer "ausmultipliziere"
Ist das von der Vorgehensweise in Ordnung?
Gruß,
noctua
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> Hallo,
>
> danke für den Hinweis und deinen Vorschlag!
> Ich komme nun auf folgende Lösung:
>
> > Es ist also zu zeigen
> >
> > i. [mm]x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C] ==> [mm]x\in f^{-1}[B]\[/mm] [mm]f^{-1}[C][/mm]
>
> und
>
> ii. [mm]x\in f^{-1}[B][/mm] \ [mm]f^{-1}[C][/mm] ==> [mm]x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C]
> Zu i.: leg' so los
> x [mm]\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ C] ==> f(x) [mm]\in[/mm] B \ C ==> ...
> Und für ii. dann entsprechend.
Hallo,
[mm]x\in[/mm] [mm]f^{-1}[B[/mm] \ [mm]C] ==>
> i. f(x) [mm]\in[/mm] (B \ C) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] f(x) [mm]\not\in[/mm] C
==> ???
> ii. das selbe, indem ich die Klammer "ausmultipliziere"
Ja, die ii) geht sehr, sehr ählich.
Im Prinzip könnte man hier mit Äquivalenzpfeilen arbeiten, und Du kannst das für die Reinschrift auch so aufschreiben.
Ich rate aber davon ab, allzu leichtfertig mit Äquivalenzpfeilen umzugehen, man macht zu leicht Fehler.
Beachte auch, daß man in der Hausübung für jeden von Dir vorgenommenen Schritt eine Begründung erwartet, etwa so:
"nach Def. der Differenz von Mengen",
"nach Definition des Urbildes".
--
Merk Dir unbedingt, daß, wenn die Gleichheit zweier Mengen zu zeigen ist, also etwa A=B, zu zeigen ist
A [mm] \subseteq [/mm] B
und
B [mm] \subseteq [/mm] A,
was man elementweise so zeigt:
[mm] x\in [/mm] A ==> [mm] x\in [/mm] B
und
[mm] x\in [/mm] B ==> [mm] x\in [/mm] A.
Letzteres ist natürlich das gleiche wie [mm] x\in [/mm] A <==> [mm] x\in [/mm] B, aber s.o.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:22 So 19.10.2008 | | Autor: | noctua |
Okay, vielen Dank für die Hilfe!
Bei der zweiten Aufgabe komme ich leider auch nicht bis zum Schluss aber ich eröffne lieber einen eigenen Thread, damit es übersichtlicher bleibt.
Gruß,
noctua
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