Beweis:Existenz Triangulierung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:47 So 02.01.2011 | | Autor: | cremaaa |
Behauptung: Eien Triangulierung bei einem ebenen nicht-konvexen Polygon A(n) existiert immer.
Beweis durch vollständige Induktion:
Induktionsanfang: n=3 -> Figur Dreieck -> ist bereits trianguliert
Induktionsschluss:
Induktionsvoraussetzung: [mm] \forall [/mm] n'<n ist A(n´) triangulierbar.
Induktionsschritt: [mm] n\ge4
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Suche eine Ecke A mit Innenwinkel<180°, B und C seien Nachbarn von A
FRAGE: Warum gerade eine konvexe Ecke? Weil man sonst durch die Nachbarpunkte keine Diagonale bilden kann?
Also jetzt gibt es zwei verschiedene Fälle:
1. Fall: Strecke [mm] \overline{BC} \in [/mm] A(n) [mm] ->\overline{BC} [/mm] ist Diagonale, die in A(n) in zwei kleinere Plygone A(n´) und A(n´´) zerlegt.
Passt das so?
2. Fall: Strecke [mm] \overline{BC} \not\in [/mm] A(n) -> Verschiebe [mm] \overline{BC} [/mm] in Richtung A bis die letzte Ecke Z getroffen wird. -> [mm] \overline{AZ} \in [/mm] A(n) -> [mm] \overline{AZ} [/mm] ist Diagnoale
Wenn diese Diagonale gefunden wird, gibt es weitere Diagonalen um den Graphen vollständig zu triangulieren. Reicht diese Aussage, oder muss ich dies noch näher begründen? Wenn ja, warum gilt diese Aussage? Oder greift hier etwa die Induktionsvoraussetzung?
So das wär nun mein Induktionsbeweis. Ich wäre für Verbesserungen und Anregungen dankbar!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:52 So 02.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Behauptung: Eien Triangulierung bei einem ebenen
> nicht-konvexen Polygon A(n) existiert immer.
>
> Beweis durch vollständige Induktion:
>
> Induktionsanfang: n=3 -> Figur Dreieck -> ist bereits
> trianguliert
> Induktionsschluss:
> Induktionsvoraussetzung: [mm]\forall[/mm] n'<n ist A(n´)
> triangulierbar.
> Induktionsschritt: [mm]n\ge4[/mm]
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Suche eine Ecke A mit Innenwinkel<180°, B und C seien
> Nachbarn von A
> FRAGE: Warum gerade eine konvexe Ecke? Weil man sonst durch
> die Nachbarpunkte keine Diagonale bilden kann?
>
> Also jetzt gibt es zwei verschiedene Fälle:
> 1. Fall: Strecke [mm]\overline{BC} \in[/mm] A(n) [mm]->\overline{BC}[/mm]
> ist Diagonale, die in A(n) in zwei kleinere Plygone A(n´)
> und A(n´´) zerlegt.
> Passt das so?
>
> 2. Fall: Strecke [mm]\overline{BC} \not\in[/mm] A(n) -> Verschiebe
Was soll dieser zweite Fall?
Wenn der Innenwinkel bei A kleiner als 180° ist, dann liegt [mm] \overline{BC} [/mm] garantiert innerhalb!
Gruß Abakus
> [mm]\overline{BC}[/mm] in Richtung A bis die letzte Ecke Z getroffen
> wird. -> [mm]\overline{AZ} \in[/mm] A(n) -> [mm]\overline{AZ}[/mm] ist
> Diagnoale
> Wenn diese Diagonale gefunden wird, gibt es weitere
> Diagonalen um den Graphen vollständig zu triangulieren.
> Reicht diese Aussage, oder muss ich dies noch näher
> begründen? Wenn ja, warum gilt diese Aussage? Oder greift
> hier etwa die Induktionsvoraussetzung?
>
> So das wär nun mein Induktionsbeweis. Ich wäre für
> Verbesserungen und Anregungen dankbar!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 So 02.01.2011 | | Autor: | cremaaa |
Leider ist meine Bilddatei anscheinend noch nicht sichtbar.
Den zweiten Fall muss man sich so vorstellen: Die Diagonale liegt ausserhalb des Polygon. Bedeutet zwischen B und C existiert noch ein Eckpunkt des Polygons (Z), der "tiefer" liegt. Somit ist ein Teilstück von der Diagonale [mm] \overline{BC} [/mm] ausserhalb des Polygons und [mm] \not\in [/mm] A(n).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Sa 08.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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