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Beweis Fehlerabschätzung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Do 04.07.2013
Autor: Pauli85

Aufgabe
Satz: Sei f [mm] \in C^{2}[a,b] [/mm] und [mm] h=\bruch{b-a}{n} [/mm] für ein n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt:
|I[f] - [mm] T_{n}[f]| \le \bruch{b-a}{12}*\parallel f^{''} \parallel_{[a,b]}*h^2. [/mm]
Dabei ist I[f] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] und [mm] T_{n}[f] [/mm] die Trapezsumme.

Hallo,
ich verstehe den Ansatz des Beweises vom obigen Satz nicht. Ich schreibe ihn mal kurz auf:

Wir betrachten zunächst den Fall n=1, also die Trapezformel [mm] T[f]=\bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)). [/mm] Deren Fehler lässt sich mit der Stammfunktion F von f in der Form
I[f] - T[f] = F(b) - F(a) - [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)) [/mm]
schreiben. Eine Taylorentwicklung von F um x = a ergibt dann:
I[f] - T[f] = [mm] F^{'}(a)(b-a) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{F^{''}(x)(b-x) dx} [/mm] - [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)) [/mm] = [mm] \bruch{b-a}{2}*(f(a)+f(b)) [/mm] + [mm] \integral_{a}^{b}{f^{'}(x)(b-x) dx} [/mm]

Bei mir hakt es bei der Taylorentwicklung. Ich sehe ehrlich gesagt nicht, wie diese eingebracht worden ist.
Kann mir dies jemand bitte kurz zeigen?

Vielen Dank und liebe Grüße

        
Bezug
Beweis Fehlerabschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:22 Do 04.07.2013
Autor: fred97

Mit dem Restglied in Integralform ist


[mm] F(x)=F(a)+F'(a)(x-a)+\integral_{a}^{x}{(x-t)F''(t) dt} [/mm]

Für x=b bekommen wir:

[mm] F(b)=F(a)+F'(a)(b-a)+\integral_{a}^{b}{(b-t)F''(t) dt} [/mm]

Wegen F'=f folgt:

[mm] F(b)-F(a)=f(a)(b-a)+\integral_{a}^{b}{(b-t)f'(t) dt} [/mm]

FRED

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