Beweis Funktion konstant < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 So 19.08.2012 | | Autor: | Hellfrog |
| Aufgabe | Sei L > 0 und f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine differenzierbare Funktion mit
| f(x) - f(y) | [mm] \le [/mm] L | x - y [mm] |^{2} [/mm] für alle x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Zeigen Sie, dass f konstant ist. |
hallo
wollte fragen ob mal jemand kurz durchschauen kann ob das, was ich bis jetzt habe reicht und ob vllt irgendwelche fehler drin sind die ich ausbessern muss. verliere meistens immer paar punkte, weil die form nicht so 100% ist und würd das gern vermeiden 
f konstant bedeutet ja das die ableitung f'(x)=0, also
wähle h [mm] \not= [/mm] 0 so, dass x+h [mm] \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] | f(x+h) - f(x) | [mm] \le [/mm] L [mm] |x+h-x|^{2}
[/mm]
[mm] \gdw |\bruch{f(x+h) - f(x)}{h}| \le [/mm] L |h|
jetzt betrachte ich den Grenzwert der Funktion mit h [mm] \rightarrow [/mm] 0:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} |\bruch{f(x+h) - f(x)}{h}| \le [/mm] 0
Da der Betrag eines Grenzwerts nicht negativ sein kann gilt:
[mm] \limes_{h\rightarrow0} |\bruch{f(x+h) - f(x)}{h}| [/mm] = 0
Jetzt noch den limes in den betrag ziehen:
[mm] |\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}| [/mm] = 0
auf der linken seite steht jetzt genau die ableitung der funktion f(x):
f'(x) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist konstant
danke schonmal im voraus
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Hiho,
sieht gut aus. Eine Frage allerdings noch. Habt ihr den Differenzenquotienten nur mit der h-Methodik definiert oder auch als?
$f'(x) = [mm] \lim_{y\to x} \bruch{f(x) - f(y)}{x-y}$
[/mm]
Dann brauchst du das h da nicht "reinschummeln", sondern kannst direkt mit der Form von Beginn arbeiten.
> [mm]|\limes_{h\rightarrow0} \bruch{f(x+h) - f(x)}{h}|[/mm] = 0
>
> auf der linken seite steht jetzt genau die ableitung der
> funktion f(x):
>
> f'(x) = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist konstant
Das ist zwar ok, aber du solltest dir klarmachen, dass da erstmal "nur" $|f'(x)| = 0$ steht. Das folgt zwar, aber für die Zukunft könnte es nen Unterschied machen 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:08 Mo 20.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei L > 0 und f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine differenzierbare Funktion
> mit
> | f(x) - f(y) | [mm]\le[/mm] L | x - y [mm]|^{2}[/mm] für alle x,y [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f konstant ist.
Die Vor. "f ist differenzierbar" ist überflüssig.
FRED
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