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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Mo 03.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
| Aufgabe | | Sei die Funktionenfolge [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] mit [mm] f_n [/mm] : J -> [mm] \IR [/mm] gleichgradig stetig und konvergent für alle x [mm] \in [/mm] A, wobei A [mm] \subset [/mm] J eine in f dichte Teilmenge ist. Dann konvergiert auch [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] für x [mm] \in [/mm] J und zwar gleichmäßig. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
nachdem mir hier bei meiner letzten Frage super geholfen wurde, hoffe ich jetzt wieder auf so hilfreiche Antworten :)
Also obenstehendes Lemma soll bewiesen werden. Ich habe den Beweis hier, verstehe ihn aber leider garnicht.
Zum Beweis: Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0, [mm] \delta= \delta(\varepsilon), [/mm] sodass für alle [mm] n\ge [/mm] 1 gilt: [mm] |f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon [/mm] für alle x, [mm] \bar{x} \in [/mm] J mit |x- [mm] \bar{x}| [/mm] < [mm] \delta.
[/mm]
Weil A dicht in J liegt, existiert für x [mm] \in [/mm] J ein [mm] \tilde{x} \in [/mm] A mit |x- [mm] \tilde{x}| [/mm] < [mm] \delta. [/mm]
Da [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] konvergiert, existiert ein [mm] m=n_0({\varepsilon}), [/mm] sodass
[mm] |f_{n}{\tilde{x}} -f_{m}{\tilde{x}})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für n,m [mm] \ge n_0 [/mm] .
Damit gilt: [mm] |f_m({\tilde{x}}) -f_{n}({\tilde{x}})| \le |f_m({x}) -f_{m}(\tilde{x})| [/mm] + [mm] |f_m (\tilde{x}) -f_{n}(\tilde{x})| [/mm] + [mm] |f_n{(\tilde{x})} -f_{m}({x})| \ge [/mm] 3 [mm] \varepsilon [/mm] ,
also ist [mm] {f_n}_{(n \in \IN)} [/mm] eine Cauchyfolge und damit konvergent. Da [mm] \delta [/mm] unabhängig von x ist, ist [mm] {f_n} [/mm] glm. konvergent.
Ich habe mir den Beweis schon ewig angeschaut. Leider blicke ich von vorne bis hinten nicht durch, wie man da überhaupt vorgeht und was man da macht.Außer, dass man zeigt, dass eine Cauchyfolge raus kommt.
Bitte kann sich jemand meiner annehmen und mir erklären, wie man da vorgeht?
GLG und danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Mo 03.10.2016 | | Autor: | hippias |
In dem Text sind doch lauter Fehler - ich vermute, dass Du falsch abgeschrieben hast: überprüfe bzw. korrigiere das bitte.
Da Du keine konkrete Frage stellst, möchte ich Dich zuerst fragen, ob Dir die Begriffe: gleichgradig stetig, konvergent, dicht und gleichmässig konvergent bekannt sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:19 Mo 03.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Verzeihunh, da hast du Recht, das Skript kann man leider nicht wirklich lesen, das ich da habe..
Jetzt müsste es allerdings passen.
Ich habe mir alle Definitionen rausgeschrieben, aber leider kann ich den Beweis trotzdem nicht nachvollziehen. Von Anfang an weiß ich eig nicht, was man macht.
Mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mo 03.10.2016 | | Autor: | hippias |
Na, wenn jetzt alle Fehler ausgebessert sind...
Wie lautet die Definition von gleichgradig stetig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:10 Mo 03.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
J:=[a,b] [mm] \in \IR [/mm] und M [mm] \subset [/mm] {f: J [mm] \to [/mm] R}. M heißt gleichgradig stetig, wenn [mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \forall x,\bar{x}mit [/mm] |x- [mm] \bar{x}| [/mm] < [mm] \delta: [/mm] |f(x) - [mm] f(\bar{x})| [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:27 Di 04.10.2016 | | Autor: | hippias |
Schön. Wo findest Du dies im Beweis wieder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:03 Di 04.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> J:=[a,b] [mm]\in \IR[/mm] und M [mm]\subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{f: J [mm]\to[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
R}. M heißt
> gleichgradig stetig, wenn [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm]
> >0 [mm]\forall x,\bar{x}mit[/mm] |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta:[/mm] |f(x) -
> [mm]f(\bar{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
>
Ich finde das weniger schön als hippias. Das wichtig(st)e fehlt:
[mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta[/mm] > 0 :
[mm] \forall x,\bar{x} \in [/mm] J mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta[/mm] und [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M:
|f(x) - [mm]f(\bar{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon.[/mm]
Deutlich: es fehlt " [mm] \forall [/mm] f [mm] \in [/mm] M "
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 04.10.2016 | | Autor: | hippias |
Ich wollt einfach mal schauen, wie lange das geht...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Di 04.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Funktionenfolge [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] mit [mm]f_n[/mm] : J ->
> [mm]\IR[/mm] gleichgradig stetig und konvergent für alle x [mm]\in[/mm] A,
> wobei A [mm]\subset[/mm] J eine in f dichte Teilmenge ist. Dann
> konvergiert auch [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] für x [mm]\in[/mm] J und zwar
> gleichmäßig.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> nachdem mir hier bei meiner letzten Frage super geholfen
> wurde, hoffe ich jetzt wieder auf so hilfreiche Antworten
> :)
> Also obenstehendes Lemma soll bewiesen werden. Ich habe
> den Beweis hier, verstehe ihn aber leider garnicht.
Vorweg: der unten stehende Beweis ist voller (Schreib-) Fehler und granatenmäßig schlampig. Ob Du das verursacht hast, oder der Autor des Skripts, kann ich nicht beurteilen.
Zu zeigen ist: zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] mit
(*) [mm] $|f_m(x)-f_n(x)|<3 \varepsilon$ [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] J und alle n,m [mm] \ge n_0.
[/mm]
>
> Zum Beweis: Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0, [mm]\delta= \delta(\varepsilon),[/mm]
> sodass für alle [mm]n\ge[/mm] 1 gilt: [mm]|f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon[/mm]
> für alle x, [mm]\bar{x} \in[/mm] J mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]
Hier wurde [mm] \varepsilon [/mm] vorgegeben und die gleichgradige Stetigkeit der Folge [mm] (f_n) [/mm] ausgeschlachtet: es gibt ein [mm] \delta [/mm] >0 mit
(1) [mm]|f_{n}{x} -f_{n}(\bar{x})| <\varepsilon[/mm] für alle x, [mm]\bar{x} \in[/mm] J mit |x- [mm]\bar{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]
So, nun geben wir ein x [mm] \in [/mm] J vor.
> Weil A dicht in J liegt, existiert für x [mm]\in[/mm] J ein
> [mm]\tilde{x} \in[/mm] A mit |x- [mm]\tilde{x}|[/mm] < [mm]\delta.[/mm]
Das ist die Dichtheit von A in J.
> Da [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] konvergiert, existiert ein
> [mm]m=n_0({\varepsilon}),[/mm] sodass
>
(2) [mm]|f_{n}{(\tilde{x}) -f_{m}{(\tilde{x})|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für n,m [mm]\ge n_0[/mm] .
Das ist die punktweise Konvergenz von [mm] (f_n) [/mm] auf A.
>
> Damit gilt: [mm]|f_m({\tilde{x}}) -f_{n}({\tilde{x}})| \le |f_m({x}) -f_{m}(\tilde{x})|[/mm]
> + [mm]|f_m (\tilde{x}) -f_{n}(\tilde{x})|[/mm] + [mm]|f_n{(\tilde{x})} -f_{m}({x})| \ge[/mm]
> 3 [mm]\varepsilon[/mm] ,
Das ist völlig falsch !!.
Richtig:
[mm] $|f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)| [/mm] $
Aus (1) und (2) folgt nun (*).
FRED
>
> also ist [mm]{f_n}_{(n \in \IN)}[/mm] eine Cauchyfolge und damit
> konvergent. Da [mm]\delta[/mm] unabhängig von x ist, ist [mm]{f_n}[/mm] glm.
> konvergent.
>
>
> Ich habe mir den Beweis schon ewig angeschaut. Leider
> blicke ich von vorne bis hinten nicht durch, wie man da
> überhaupt vorgeht und was man da macht.Außer, dass man
> zeigt, dass eine Cauchyfolge raus kommt.
> Bitte kann sich jemand meiner annehmen und mir erklären,
> wie man da vorgeht?
>
> GLG und danke!
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Di 04.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Danke für diese ausführliche Antwort!
Ja, leider habe ich nur dieses Skript, wo man zum Teil nichts lesen kann und zum anderen verstecken sich hundert Fehler :( weshalb es natürlich noch schwerer zum lernen für mich ist :/
Danke aber für deine Antwort, mir wird schon viel mehr klar.
Zwei Fragen habe ich noch:
$ [mm] |f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)| [/mm] $
Hier benutzt du die Dreiecksungleichung, oder?
Und warum wissen wir bei [mm] |f_m ({x})-f_m (\tilde{x})|, [/mm] dass für das kleiner [mm] \varepsilon [/mm] gilt? Bei den anderen zwei ist es ja wg 1.) und 2.) jetzt klar.
Danke dir! Mfg
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Hiho,
> [mm]|f_m(x)-f_n(x)|=|f_m(x)-f_m (\tilde{x})+f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})+f_n (\tilde{x})-f_n(x)| \le |f_m(x)-f_m (\tilde{x})|+|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|+|f_n (\tilde{x})-f_n(x)|[/mm]
>
>
> Hier benutzt du die Dreiecksungleichung, oder?
Ja, tut er.
>
> Und warum wissen wir bei [mm]|f_m (\tilde{x})-f_n (\tilde{x})|,[/mm] dass für das kleiner [mm]\varepsilon[/mm] gilt?
Die Folge [mm] $(f_n(\tilde{x}))_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert, da [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] punktweise konvergent ist. Insbesondere ist [mm] $f_n(\tilde{x})$ [/mm] also eine Cauchy-Folge. Was bedeutet das dann?
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:30 Di 04.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Ich meinte warum $ [mm] |f_m ({x})-f_m (\tilde{x})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.Verzeihung, bin noch nicht so geübt mit Latexschreibweise!
Das andere ist mir klar, danke. Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Di 04.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ich meinte warum [mm]|f_m ({x})-f_m (\tilde{x})| < \varepsilon[/mm]
> ist.
Das folgt aus (1)
> Verzeihung, bin noch nicht so geübt mit
> Latexschreibweise!
> Das andere ist mir klar, danke. Lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Di 04.10.2016 | | Autor: | Lohrre |
Danke! Lg
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