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Forum "Zahlentheorie" - Beweis Ganzzahligkeit
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Beweis Ganzzahligkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:22 Mi 24.06.2009
Autor: Fry

Huhu,

also ich möchte gerne beweisen, dass [mm] \bruch{(n-1)!}{n} [/mm] für [mm] n\not=4 [/mm] eine ganze Zahl ist. Weiß jemand, wie ich das anpacken muss?
Vielen Dank !

LG
Fry

        
Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Mi 24.06.2009
Autor: abakus


> Huhu,
>  
> also ich möchte gerne beweisen, dass [mm]\bruch{(n-1)!}{n}[/mm] für
> [mm]n\not=4[/mm] eine ganze Zahl ist. Weiß jemand, wie ich das
> anpacken muss?

Gar nicht, weil die Aussage für jede Primzahl n falsch ist.
Gruß Abakus

>  Vielen Dank !
>  
> LG
>  Fry


Bezug
                
Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mi 24.06.2009
Autor: Fry

Hallo,

danke für den Hinweis, hab vergessen, es in die Aufgabenstellung zu schreiben, dass n keine Primzahl ist!

LG

Bezug
                        
Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Mi 24.06.2009
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> danke für den Hinweis, hab vergessen, es in die
> Aufgabenstellung zu schreiben, dass n keine Primzahl ist!

Also ist n eine zusammengesetzte Zahl, die aus Primfaktoren besteht, die kleiner als n sind.
Jeder einzeln vorkommende Primfaktor von n kürzt sich mit der entsprechenden Zahl aus der Fakultät.
Es muss nur noch nachgewiesen werden, dass ein mehrfach (z.B. k-fach) vorkommender Primfaktor (also [mm] p^k) [/mm] mit mehreren Zahlen aus der Fakultät weggekürzt werden kann (Kandidaten dafür sind die Zahlen p, 2p, 3p,...k*p; es muss also k*p<n sein.
Gruß Abakus

>  
> LG


Bezug
        
Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:53 Mi 24.06.2009
Autor: M.Rex

Hallo.

Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.

Beachte aber die Möglichkeit, dass n eine Quadratzahl ist, das könnte noch zu fiesen Komplikationen führen.


Marius

Bezug
                
Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 16:18 Mi 24.06.2009
Autor: SEcki


> Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben
> hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der
> (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so
> dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch
> ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.

Das geht in einem Fall nicht: falls [m]n=p^2[/m] mit p prim ist. Falls aber [m]p> 2[/m] ist, so ist [m]n/1< 2p[/m] also k[ryt sich das weiterhin weg.

SEcki

Bezug
                        
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Beweis Ganzzahligkeit: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) oberflächlich richtig Status 
Datum: 17:33 Mi 24.06.2009
Autor: M.Rex


> > Wenn n keine Primzahl ist, wie du ja als Zusatzinfo gegeben
> > hast, ergibt das Produkt aus zwei Zahlen innerhalb der
> > (n-1)! genau n, also kann man den Nenner "wegkürzen", so
> > dass noch ein Produkt aus natürlichen Zahlen (also auch
> > ganzen) Zahlen hast, das dann auch eine ganze Zahl gibt.
>  
> Das geht in einem Fall nicht: falls [m]n=p^2[/m] mit p prim ist.
> Falls aber [m]p> 2[/m] ist, so ist [m]n/1< 2p[/m] also k[ryt sich das
> weiterhin weg.
>  
> SEcki

Danke für den Hinweis, ich habe es mal verbessert.

Marius


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Beweis Ganzzahligkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:52 Mi 24.06.2009
Autor: Fry

Hallo ihr drei,

vielen Dank für eure erleuchtenden Antworten!
Aber ich frage lieber nochmal nach, sehe ich das so richtig:

1.Fall [mm] n=p^2, [/mm] p prim
Dann ist für [mm] n\not=4, [/mm] also p>2, n-1>2p, weshalb im Zähler p und 2p vorkommen und sich daher [mm] p^2 [/mm] aus dem Nenner wegkürzt
2.Fall n=p*q, O.B.d.A. 1<p<q<n, [mm] p,q\in\IN [/mm]
Da p,q im Zähler vorkommen,erhält man eine ganze Zahl.

Kann man das formal noch schön aufschreiben?
Danke nochmal für eure Hilfe!

LG
Fry

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Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 25.06.2009
Autor: felixf

Hallo Fry,

> vielen Dank für eure erleuchtenden Antworten!
>  Aber ich frage lieber nochmal nach, sehe ich das so
> richtig:
>  
> 1.Fall [mm]n=p^2,[/mm] p prim
>  Dann ist für [mm]n\not=4,[/mm] also p>2, n-1>2p, weshalb im Zähler
> p und 2p vorkommen und sich daher [mm]p^2[/mm] aus dem Nenner
> wegkürzt

Genau.

>  2.Fall n=p*q, O.B.d.A. 1<p<q<n, [mm]p,q\in\IN[/mm]
>  Da p,q im Zähler vorkommen,erhält man eine ganze Zahl.

Ja.

> Kann man das formal noch schön aufschreiben?

Du kannst noch formal beweisen, dass man im Fall $n [mm] \neq [/mm] p, [mm] p^2$ [/mm] schreiben kann $n = p q$ mit $1 < p < q < n$. Und du koenntest im zweiten Fall evtl andere Buchstaben als $p$ und $q$ verwenden, da damit oft Primzahlen gemeint sind ;)

LG Felix


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Bezug
Beweis Ganzzahligkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:27 Fr 26.06.2009
Autor: Fry

Danke schön!

VG
Fry

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