Beweis Gedächtnislosigkeit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
unter ![[]](/images/popup.gif) diesem Link habe ich einen Beweis der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung gefunden:
P(X > x + y | X > y) = [mm] \bruch{P(X > x + y \cap X > y)}{P(X > y)} [/mm] = [mm] \bruch{P(X > x + y)}{P(X > y)} [/mm] = ... = P(X > x)
Meine Frage:
Woraus genau folgt, dass
P(X > x + y [mm] \cap [/mm] X > y) = P(X > x + y)
?
In Prosa heißt das doch, dass die Wahrscheinlichkeit [mm] P_1, [/mm] dass für eine zufällig ermittelte Zahl [mm] z_1 [/mm] > 0 auch [mm] z_1 [/mm] > x + y gilt, genauso groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit [mm] P_2, [/mm] dass für eine zufällig ermittelte Zahl [mm] z_2 [/mm] > y auch [mm] z_2 [/mm] > x + y, oder?
Find ich irgendwie unintuitiv ...
Vielen Dank,
Martin
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Hiho,
> Woraus genau folgt, dass
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> P(X > x + y [mm]\cap[/mm] X > y) = P(X > x + y)
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> ?
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> In Prosa heißt das doch, dass die Wahrscheinlichkeit [mm]P_1,[/mm]
> dass für eine zufällig ermittelte Zahl [mm]z_1[/mm] > 0 auch [mm]z_1[/mm] >
> x + y gilt, genauso groß ist, wie die Wahrscheinlichkeit
> [mm]P_2,[/mm] dass für eine zufällig ermittelte Zahl [mm]z_2[/mm] > y auch
> [mm]z_2[/mm] > x + y, oder?
Nein, das hat auch nix mit Wahrscheinlichkeiten zu tun, das ist simple Arithmetik.
Gilt für zwei Ausdrücke [mm] $A_1 [/mm] = [mm] A_2$ [/mm] so folgt sofort [mm] $P(A_1) [/mm] = [mm] P(A_2)$.
[/mm]
Soweit hoffentlich klar.
Nun gilt aber: [mm] $\{ X > x+y, X > y\} [/mm] = [mm] \{X > x+y\}$
[/mm]
In Prosa bedeutet das: Für eine zufällige Zahl gilt [mm] $z_1 [/mm] > y$ und [mm] $z_1 [/mm] > x+y$ genau dann, wenn [mm] $z_1 [/mm] > x+y$
Oder anders ausgedrückt: Die Eigenschaft [mm] $z_1>y$ [/mm] ist auf der linken Seite offensichtlich überflüssig, wenn man zusätzlich noch die Eigenschaft [mm] $z_1 [/mm] > x + y$ fordert, da ersteres aus letzterem folgt.
Gruß,
Gono
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> In Prosa bedeutet das: Für eine zufällige Zahl gilt [mm]z_1 > y[/mm]
> und [mm]z_1 > x+y[/mm] genau dann, wenn [mm]z_1 > x+y[/mm]
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> Oder anders ausgedrückt: Die Eigenschaft [mm]z_1>y[/mm] ist auf der
> linken Seite offensichtlich überflüssig, wenn man
> zusätzlich noch die Eigenschaft [mm]z_1 > x + y[/mm] fordert, da
> ersteres aus letzterem folgt.
>
> Gruß,
> Gono
Vorausgesetzt, dass x>0 ist. Gegenbeispiel:
x=-2
y=2
z=1
Dann ist zwar z>x+y=0, aber nicht z>y.
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