Beweis Gleichmäßige Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo, irgendwie kappiere ich das mit der gleichmäßigen stetigkeit noch nicht, wie ich das zeigen muss und wie ich da vorgehen muss. Ich habe selbst beispiele, doch die verstehe ich irgendwie auch nicht. ich kann ja mal eins posten, vielleicht findet sich ja jemand, der mir das ausführlich erklären kann, wie man schritt für schritt da vorgeht. kann sein, dass ich eine ähnliche frage hier schon mal gestellt habe, bin aber leider noch nicht schlauer :-(
fangen wir mit der def. an:
Es sei $ [mm] I\subset \mathbb{R} [/mm] $ ein Intervall. Eine Funktion $ f:I [mm] \rightarrow \mathbb{R} [/mm] $ heißt gleichmäßig stetig, wenn folgendes gilt: $ [mm] \displaystyle \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \,\exists\; \delta>0 \,\forall x,y\in [/mm] I\ :\ [mm] \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon [/mm] $
Aufgabe:
Sei [mm] g:(0,\infty) \to \IR, g(x)=\wurzel{x}. [/mm] Wir zeigen, dass g gleichmäßig stetig ist. Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] vorgegeben. Es ist bekannt, dass jede auf einem kompakten Intervall stetige Funkton f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] dort gleichmäßig stetig ist. Also ist die Funktion [mm] g_0:[0,1] \to [0,\infty), g_0=\wurzel{x} [/mm] glm. stetig ist. Das bedeutet, es gibt ein [mm] \delta_1>0 [/mm] mit [mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}|\le\varepsilon [/mm] für alle x,y [mm] \in [/mm] [0,1] mit |x - [mm] y|\le\delta_1.
[/mm]
Setze [mm] \delta=min(\delta,\varepsilon). [/mm] Dann folgt für alle x > 0 und y > 0 mit |x - [mm] y|\le\delta., [/mm] dass [mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}|\le\varepsilon. [/mm] In der Tag, falls x,y [mm] \in [/mm] [0,1], so folgt diese Ungleichung wegen |x - [mm] y|\le\delta\le\delta_1. [/mm] Falls jedoch [mm] x\ge1 [/mm] und [mm] y\ge1, [/mm] so gilt: [mm] |\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}|\le|\wurzel{x} [/mm] - [mm] \wurzel{y}||\wurzel{x}+\wurzel{y}|=|x [/mm] - [mm] y|\le\delta\le\varepsilon. [/mm] damit ist die funktion glm. stetig.
Also wie gesagt, wäre schon nett, wenn mir jemand das prinzip und die vorgehensweise erklärt, wie man solche aufgaben löst.
danke im voraus
gruß
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> Hallo, irgendwie kappiere ich das mit der gleichmäßigen
> stetigkeit noch nicht, wie ich das zeigen muss und wie ich
> da vorgehen muss.
Hallo,
entscheidend wäre nun zu wissen, ob Du die Stetigkeit v. Funktionen verstanden hast und zeigen kannst.
Falls nicht, mußt Du Dich unbedingt zunächst darum bemühen.
Der Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit ist der:
im Falle der Stetigkeit darf das zu [mm] \varepsilon [/mm] zu findende passende [mm] \vardelta [/mm] von der Stelle x abhängen.
Dies ist bei der gleichmäßigen Stetigkeit nicht der Fall. Hier muß man ein von x unabhängiges [mm] \vardelta [/mm] finden.
Ansonsten geht der Nachweis mit den Definitionen sehr ähnlich. Man gibt ein beliebiges [mm] \varepsilon [/mm] vor und sucht nach einem passenden [mm] \vardelta [/mm] (welches v. [mm] \varepsilon [/mm] abhängen darf) so, daß
[mm] $\forall x,y\in [/mm] I\ :\ [mm] \vert x-y\vert<\delta \Rightarrow \vert f(x)-f(y)\vert<\varepsilon [/mm] $
Konkret zur Aufgabe eventuell morgen, ich muß fort.
Gruß v. Angela
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Also die normale Stetigkeit habe ich immer mit [mm] \lim_{x \rightarrow x_0} [/mm] f (x) =f [mm] (x_0) [/mm] gezeigt, also linker und rechter Grenzwert müssen mit dem Funktionwert an der Stelle [mm] x_o [/mm] übereinstimmen. Mit dem [mm] \delta [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] kann ich das leider auch nicht zeigen.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:54 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
ein Standardbeispiel einer stetigen, aber nicht gleichmäßig stetigen Funktion ist die Funktion $f: [mm] [0,\infty) \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
(Ebenso gingen dort [mm] $f_1(x)=\frac{1}{x}$, $f_2(x)=e^x$ [/mm] usw.)
Den Beweis, dass diese Funktion stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, kannst Du sicherlich leicht selbst, auch mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium, [/mm] erbringen.
Weil es immer das gleiche ist:
Für [mm] $x_0 [/mm] > 0$ erkennst Du das z.B. hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Beispiel 10.3.2
An der Wahl des dortigen [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon}=\delta_{\varepsilon,x_0}=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3x_0},x_0\right\}$ [/mm] (da hier [mm] $x_0 [/mm] > 0$)
gelangt man (meist) schon zu der Vermutung, dass obige Funktion $f$ nicht glm. stetig auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] sein wird, denn in dem [mm] $\delta$ [/mm] steckt explizit das [mm] $x_0$ [/mm] mit drin. Nichtsdestotrotz ist das noch kein Beweis, dass die Funktion nicht glm. stetig ist, denn wer sagt, dass dort nicht "zu grob" abgeschätzt wurde?
Nun, wenn man zeigen will, dass eine Funktion nicht glm. stetig ist (und wenn Du dir den Graph von $f$ mal anguckst, den Abstand zwischen $x,y$ klein läßt und weit genug Richtung [mm] $\infty$ [/mm] mit beiden wanderst, sollte Dir irgendwann aus dem folgenden klar werden, warum die Funktion nicht glm. stetig ist), so hat man zu zeigen:
[mm] $\exists \varepsilon [/mm] > 0$ derart, dass [mm] $\forall \delta [/mm] > 0$: [mm] $\exists [/mm] x,y [mm] \in D_f$ [/mm] mit $|x-y| < [mm] \delta$, [/mm] aber $|f(x)-f(y)| > [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Nun, setze hier mal für [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann
[mm] $x=x_\delta=\frac{1}{\delta}$ [/mm] und [mm] $y=y_\delta=x_\delta+\frac{\delta}{2}$. [/mm] Dann gilt
[mm] $|x-y|=\frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta$. [/mm] Weiterhin gilt aber:
[mm] $|f(x)-f(y)|=\left|\left(x+\frac{\delta}{2}\right)^2-x^2\right|$
[/mm]
Nun finde eine Konstante $C > 0$, so dass Du stets $|f(x)-f(y)| > C$ hast und dann setze [mm] $\varepsilon:=C$, [/mm] und schon hast Du gezeigt, dass die Funktion in der Tat nicht gleichmäßig stetig ist.
(Du kannst das auch hier nochmal nachlesen:
http://www.math.uni-sb.de/ag/wittstock/lehre/WS00/analysis1/Vorlesung/node58.html)
Übrigens habe ich auch noch folgenden Satz in Erinnerung, sofern entsprechende Voraussetzung gegeben sind (so dass der Satz auch Sinn macht, z.B. in metrischen Räumen etc.):
Eine Funktion ist genau dann gleichmäßig stetig, wenn für je zwei Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$, [/mm] beide in [mm] $D_f$ [/mm] gelegen, gilt:
Wenn [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] dann auch [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Ich werde das gleich mal versuchen, zu beweisen, wenn ich den Satz falsch formuliert habe, werde ich ihn später korrigieren.
Und bei der obigen Funktion könnte man dann z.B. [mm] $x_n:=n$ [/mm] und [mm] $y_n:=n+\frac{1}{n}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] betrachten, dann würdest Du sehen:
[mm] $|x_n-y_n|=\frac{1}{n} \to [/mm] 0$, aber [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \ge [/mm] 1$, also [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \not\to [/mm] 0$.
P.S.:
Der obige Satz zur glm. Stetigkeit ist in dieser Formulierung korrekt. Du solltest zur Übung auch mal versuchen, ihn zu beweisen (ich nenne die Aussage mit den Folgen mal: F.-Kr. (=Folgenkriterium) zur glm. Stetigkeit):
Die Beweisrichtung
"$f$ glm. stetig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] F.-Kr.zur glm. Stetigkeit"
ist ziemlich banal, man braucht nur zu [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ das [mm] $\delta$ [/mm] aus der glm. Stetigkeit zu wählen und beachten, dass [mm] $|x_n-y_n| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] ab einem genügend großen $N$ ist.
Den Beweis der Beweisrichtung
"F.-Kr. zur glm. Stetigkeit [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f$ glm. stetig"
solltest Du per Kontraposition führen, d.h. man zeigt die Richtigkeit der zu oben äquivalenten Folgerung:
"$f$ nicht glm. stetig [mm] $\Rightarrow$ [/mm] F.-Kr. verletzt"
Wenn $f$ nicht glm. stetig ist, so gibt es ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ so, dass für alle [mm] $\delta$...
[/mm]
Nun betrachte [mm] $\delta=\delta_n:=\frac{1}{n}$ [/mm] und damit konstrierst Du dann zwei Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ [/mm] mit [mm] $|x_n-y_n|<\frac{1}{n}$ [/mm] und [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \ge \varepsilon_0$ [/mm] für alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 12.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
vll. noch ein paar Worte zu diesem Post Deinerseits:
Zunächst wurde dort [mm] $g_0: [/mm] [0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] betrachtet mit [mm] $g_0(0)=0$, [/mm] d.h. man hat quasi $g$ zunächst an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig fortgesetzt und danach dann diese Funktion auf das Kompaktum $[0,1]$ eingeschränkt. Danach hat man dann ausgenutzt, dass [mm] $g_0$ [/mm] stetig auf dem Kompaktum $[0,1]$ ist und als stetige Funktion dort auch glm. stetig ist. Damit ist, weil [mm] $g_{|(0,1]}=g_0_{|(0,1]}$ [/mm] (d.h. $g$ und [mm] $g_0$ [/mm] stimmen auf $(0,1]$ miteinander überein) dann insbesondere $g$ glm. stetig auf $(0,1]$. Danach hat man dann noch gezeigt (und zwar nicht mit Kompaktheitsargument, weil [mm] $[1,\infty)$ [/mm] nicht kompakt ist, da unbeschränkt, sondern mit einer geeigneten Abschätzung), dass $g$ auch glm. stetig auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] ist. Alles hat man zusammengebastelt und damit dann gezeigt, dass man so in der Tat zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta$ [/mm] wie gefordert findet.
Dass man [mm] $g_0$ [/mm] mit [mm] $g_0(x)=\sqrt{x}$ [/mm] auf $[0,1]$ betrachtet hat, ist nicht wesentlich. Es hilft nur bei der Abschätzung von $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $[1,\infty)$. [/mm] Generell hätte man aber hier auch [mm] $g_0$ [/mm] so auf $[0,r]$ mit irgendeinem festen $r > 0$ definieren können, die Argumentation verliefe vollkommenen analog, ggf. nur mit einer zusätzlichen Fallunterscheidung.
Weil Du anscheinend lieber mit Folgen argumentierst, habe ich Dir aber auch noch einen Hilfssatz unten zur Verfügung gestellt:
Ich will Dir mit diesem zeigen, dass $g: [mm] (0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=\sqrt{x}$ [/mm] glm. stetig ist.
Seien dazu also [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ [/mm] Folgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] so, dass [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$.
Dann folgt:
[mm] $|f(x_n)-f(y_n)|=|\sqrt{x_n}-\sqrt{y_n}| \le \sqrt{|x_n-y_n|}$
[/mm]
Weil $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] (rechts-)stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, folgt:
[mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \le \sqrt{|x_n-y_n|} \to [/mm] 0$, also
[mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \to [/mm] 0$.
D.h.:
Für beliebige Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ [/mm] in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] folgt aus [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$ schon, dass [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \to [/mm] 0$, also ist obige Funktion $f$ glm. stetig.
Vielleicht gefällt Dir das ja besser 
P.S.:
Für $a,b > 0$ gilt:
[mm] $|\sqrt{a}-\sqrt{b}| \le \sqrt{|a-b|}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \le [/mm] |a-b|$
[mm] $\gdw$ $a-2\sqrt{a}\sqrt{b}+b \le [/mm] |a-b|$
O.B.d.A. kann man $a [mm] \ge [/mm] b$ annehmen, und dann ist das letztstehende gleichwertig zu
$b [mm] \le \sqrt{a}\sqrt{b}$
[/mm]
[mm] $\gdw \sqrt{b} \le \sqrt{a}$
[/mm]
und das letztstehende ist wegen unserer Annahme $a [mm] \ge [/mm] b$ sicherlich richtig.
Nur, damit Du die verstehst, wieso die Ungleichung
[mm] $|\sqrt{x_n}-\sqrt{y_n}|\le \sqrt{|x_n-y_n|}$
[/mm]
gilt
Gruß,
Marcel
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Hi. VIELEN DANKE erstmal für deine ausführliche Erklärung. Ich denke, dass mit dem Folgenkriterium ist doch etwas einfacher kann das sein?
Ich habe dennoch nochmal paar fragen.
1. "Den Beweis, dass diese Funktion stetig in [mm] x_0=0 [/mm] ist, kannst Du sicherlich leicht selbst, auch mit [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta-Kriterium, [/mm] erbringen."
Leider nicht, weil ich das man dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta-Kriterium [/mm] irgendwie nie gebacken bekomme. ich habe immer Schwierigkeiten mit diesem richtig Abschätzen und so. was z.B. hier auch schon der fall wäre "An der Wahl des dortigen [mm] \delta=\delta_{\varepsilon}=\delta_{\varepsilon,x_0}=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3x_0},x_0\right\} [/mm] (da hier [mm] x_0 [/mm] > 0 ) gelangt man (meist) schon zu der Vermutung, dass obige Funktion f nicht glm. stetig auf [mm] \IR_{\ge 0} [/mm] sein wird " Habe mir den Beweis im Skript angeschaut, aber selber hätte ich es nicht hinbekommen.
Woher weiß man, wie man das [mm] \delta [/mm] abschätz oder wählt, gibts da irgendwie ein Rezept für???
2. Bei der Funktion [mm] f(x)=x^2, [/mm] wo du den beweis machst, woher weiß ich, wie ich [mm] x=x_\delta=\frac{1}{\delta} [/mm] und [mm] y=y_\delta=x_\delta+\frac{\delta}{2} [/mm] wähle. Denn wenn ich bei Funktionen zeigen will, dass sie nicht glm. stetig sind, muss ich ja immer so ein x und y finden oder?
Also das mit dem Folgenkriterium habe ich an den Beispielen, wo du es gemacht hast gut verstanden. nur selber würde ich nie draufkommen, wie man diese folgen definiert, so wie du es bei dem bsp. mit [mm] f(x)=x^2. [/mm]
Achja, bei der Aufgabe mit [mm] f(x)=\wurzel{x}, [/mm] da haste die Folgen ja einfach nur allgemein gelassen, ohne sie wie in bei dem anderen Bsp. expliziet zu definieren. Für beliebige Folgen [mm] (x_n)_n [/mm] $, $ [mm] (y_n)_n [/mm] ...
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:17 Do 13.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi. VIELEN DANKE erstmal für deine ausführliche Erklärung.
> Ich denke, dass mit dem Folgenkriterium ist doch etwas
> einfacher kann das sein?
>
> Ich habe dennoch nochmal paar fragen.
>
> 1. "Den Beweis, dass diese Funktion stetig in [mm]x_0=0[/mm] ist,
> kannst Du sicherlich leicht selbst, auch mit [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta-Kriterium,[/mm] erbringen."
> Leider nicht, weil ich das man dem [mm]\varepsilon[/mm] -
> [mm]\delta-Kriterium[/mm] irgendwie nie gebacken bekomme. ich habe
> immer Schwierigkeiten mit diesem richtig Abschätzen und so.
naja, dort ist ja [mm] $x_0=0$ [/mm] fest. Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig und fest, so hast Du zu zeigen:
Es existiert ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,0} [/mm] > 0$ derart, dass für alle $x [mm] \ge [/mm] 0$ mit [mm] $|x-x_0|=|x-0|=|x| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] schon gilt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-\sqrt{0}|=|f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Du kannst dafür nun einfach [mm] $\delta:=\varepsilon^2$ [/mm] wählen (beachte: dann ist insbesondere [mm] $\delta [/mm] > 0$). Es ging natürlich auch jedes $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \varepsilon^2$...
[/mm]
(Beachte: Die Abhängigkeit von [mm] $x_0=0$ [/mm] steckt hier auch mit drin, da man ja die Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] von vornherein festhält!)
> was z.B. hier auch schon der fall wäre "An der Wahl des
> dortigen
> [mm]\delta=\delta_{\varepsilon}=\delta_{\varepsilon,x_0}=\min\left\{\frac{\varepsilon}{3x_0},x_0\right\}[/mm]
> (da hier [mm]x_0[/mm] > 0 ) gelangt man (meist) schon zu der
> Vermutung, dass obige Funktion f nicht glm. stetig auf
> [mm]\IR_{\ge 0}[/mm] sein wird " Habe mir den Beweis im Skript
> angeschaut, aber selber hätte ich es nicht hinbekommen.
> Woher weiß man, wie man das [mm]\delta[/mm] abschätz oder wählt,
> gibts da irgendwie ein Rezept für???
Nein, das ist eher eine Erfahrungs- und Übungssache. Zudem muss man gewisse Werkzeuge immer zur Hand haben (Dreiecksungleichung, später: Satz von Schwarz etc.; bei Dir halt auch sowas, wie: Stetige Fktn. auf kompakten Mengen sind glm. stetig usw.) und hoffen, dass man nicht zu grob abschätzt. Nicht, dass man so grob abschätzt, dass man am Ende nicht das Gewünschte erhält. Wenn man zu oft nicht zu dem gewünschten Ergebnis kommt, so sollte man sich manchmal auch nochmal klarmachen, ob man vll. nicht zeigen kann, dass die Behauptung falsch ist. Wenn man z.B. zeigen wollte, dass $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] glm. stetig auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] ist, und nach etlichen Versuchen feststellt: "Verdammt, da kommt immer das [mm] $x_0$ [/mm] mit rein und ich erhalte "nur" Stetigkeit in festem [mm] $x_0$..."
[/mm]
so überlegt man sich vll. nochmal, ob sich die glm. Stetigkeit überhaupt beweisen läßt. Und dann merkt man vll., dass sich die glm. Stetigkeit widerlegen läßt, und dann versucht man sich daran, die korrigierte Behauptung zu beweisen...
> 2. Bei der Funktion [mm]f(x)=x^2,[/mm] wo du den beweis machst,
> woher weiß ich, wie ich [mm]x=x_\delta=\frac{1}{\delta}[/mm] und
> [mm]y=y_\delta=x_\delta+\frac{\delta}{2}[/mm] wähle.
Naja, das ist einerseits ein wenig intuitiv, andererseits wiederum ein wenig "testen" und rechnen. Die [mm] $x_\delta=\frac{1}{\delta}$ [/mm] zu wählen, liegt in gewisser Weise nahe, weil mit [mm] $\delta \to [/mm] 0$ (beachte: [mm] $\delta [/mm] > 0$) dann [mm] $x_\delta \to \infty$. [/mm] Und die [mm] $y_\delta$ [/mm] habe ich dann so gewählt, dass [mm] $|x_\delta-y_\delta|=\frac{\delta}{2}$, [/mm] jedenfalls sollte [mm] $|x_\delta -y_\delta| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gelten. Und dann habe ich einfach nochmal probiert, ob man damit wirklich [mm] $|f(x_\delta)-f(y_\delta)| \ge [/mm] C$ für eine Konstante $C > 0$ folgern kann.
Man kann das ganze auch ein wenig "konstruktiv" betreiben, indem man halt zunächst $x > 0$ festhält, dann [mm] $y=x+\frac{\delta}{2}$ [/mm] setzt und dann $|f(x)-f(y)|$ ausrechnet und nach unten abschätzt und schlussendlich erst nach "geeigneter" Wahl von [mm] $x=x_\delta$ [/mm] Ausschau hält, aber ich weiß nicht, ob das wirklich einen großen Unterschied macht. Auf jeden Fall sollte man anhand des Graphen merken:
Wenn ich $x$ und $y$ im Abstand [mm] $\frac{\delta}{2}$ [/mm] für festes [mm] $\delta [/mm] > 0$ lasse, so werden $f(x)$ und $f(y)$ irgendwann (hier) einen Abstand größer als $1$ haben, wenn ich nur weit genug in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] mit $x$ (und damit auch mit $y$) laufe.
> Denn wenn ich
> bei Funktionen zeigen will, dass sie nicht glm. stetig
> sind, muss ich ja immer so ein x und y finden oder?
>
> Also das mit dem Folgenkriterium habe ich an den
> Beispielen, wo du es gemacht hast gut verstanden. nur
> selber würde ich nie draufkommen, wie man diese folgen
> definiert, so wie du es bei dem bsp. mit [mm]f(x)=x^2.[/mm]
Das ist ähnlich wie oben. Ich laufe mit diesen beiden speziellen Folgen [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm]
(es gilt ja: [mm] $n+\frac{1}{n} \to \infty$ [/mm] und $n [mm] \to \infty$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$),
[/mm]
aber deren "Differenzfolge" ist im Betrage [mm] $\frac{1}{n}$, [/mm] d.h. die "Differenzfolge" ist eine Nullfolge. Und nun muss man sich nur noch überzeugen:
[mm] $\left|\left(n+\frac{1}{n}\right)^2-n^2\right|=\left|n^2+2+\frac{1}{n^2}-n^2\right| [/mm] > 2 > 1$, also insbesondere
[mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \ge [/mm] 1$
(Etwas (unnötig) allgemeiner könntest Du das auch so überlegen:
Ist [mm] $(r_n)_n$ [/mm] irgendeine Folge in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] monoton wachsend gegen [mm] $\infty$, [/mm] so kannst Du einfach [mm] $x_n:=r_n$ [/mm] und [mm] $y_n:=r_n+\frac{1}{r_n}$ [/mm] betrachten! Erkennst Du übrigens, warum hier bei [mm] $(v+w)^2=v^2+2vw+w^2$ [/mm] der Term $2vw$ eine bedeutende Rolle für die Abschätzung spielt? Ist Dir auch klar, dass man bei dem Beweis, dass $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] nicht glm. stetig auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] ist, insbesondere von Bedeutung ist, dass [mm] $[0,\infty)$ [/mm] unbeschränkt?
Warum ist $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] glm. stetig auf jedem $[0,r]$ mit $r > 0$ fest? (Und das letztgenannte ist NICHT OFFENSICHTLICH deshalb, weil man bei dem Beweis, dass $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] nicht glm. stetig auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] ist, solche Folgen [mm] $(x_n)$ [/mm] und [mm] $(y_n)$ [/mm] konstruiert hat, die beide gegen [mm] $\infty$ [/mm] streben (und deren Differenzfolge eine Nullfolge ist). Dass das zwar stimmt und hier in der Tat von Bedeutung ist, erkennt man an dieser Stelle so noch nicht. Denn das waren ja spezielle Folgen, wer sagt, dass wir nicht "günstigere" finden?
Dass man hier in der Tat keine "günstigeren" finden kann, erkennt man an der Tatsache: Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind ...?)
> Achja, bei der Aufgabe mit [mm]f(x)=\wurzel{x},[/mm] da haste die
> Folgen ja einfach nur allgemein gelassen, ohne sie wie in
> bei dem anderen Bsp. expliziet zu definieren. Für beliebige
> Folgen [mm](x_n)_n[/mm] [mm],[/mm] [mm](y_n)_n[/mm] ...
Ja, denn dort wollte ich die glm. Stetigkeit ja beweisen, nicht widerlegen. Wenn ich sie widerlegen will, reicht es, zwei spezielle Folgen [mm] $(x_n)_n$, $(y_n)_n$ [/mm] aus [mm] $D_f$ [/mm] so anzugeben, dass [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$, aber [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \not\to [/mm] 0$. Dabei darf ich diese auch "konkret" angeben oder deren Existenz konstruktiv nachweisen.
Wenn Du die gleichmäßige Stetigkeit BEWEISEN musst/willst/sollst, so muss für ALLE Folgen aus [mm] $D_f$, [/mm] wenn diese nur [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$ erfüllen, dann schon gelten, dass dann auch [mm] $|f(x_n)-f(y_n)| \to [/mm] 0$.
(Und wenn es für alle solchen Folgen gilt (also meinetwegen jedem Paar solcher Folgen), dann gilt es insbesondere auch für zwei spezielle solche Folgen (also in diesem Sinne auch für ein spezielles Paar).
Wenn Du also z.B. $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] betrachtest, so ist diese Funktion glm. stetig. D.h. dann insbesondere auch, dass für die zwei speziellen Folgen definiert durch [mm] $x_n=n$ [/mm] und [mm] $y_n=n+\frac{1}{n}$ [/mm] dann folgt, dass [mm] $|\sqrt{x_n}-\sqrt{y_n}| \to [/mm] 0$. Nur:
Um die glm. Stetigkeit zu beweisen, reicht es nicht, NUR dieses "spezielle Paar" von Folgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] zu betrachten.)
Um die gleichmäßige Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $\IR_{>0}$ [/mm] zu beweisen, habe ich also gesagt:
Seien [mm] $(x_n)_n$ [/mm] und [mm] $(y_n)_n$ [/mm] irgendzwei beliebige Folgen in [mm] $(0,\infty)$ [/mm] einzig mit der Eigenschaft, dass [mm] $|x_n-y_n| \to [/mm] 0$. Dann habe ich gezeigt:
Dann folgt schon:
[mm] $|f(x_n)-f(y_n)|\to [/mm] 0$.
Weil es halt zwei beliebige Folgen mit dieser Eigenschaft waren, gilt das für alle solche(n Paaren von) Folgen, und das ist eben das F.-Kr. für glm. Stetigkeit.
P.S.:
Bitte niemals vergessen:
Stetige Funktionen auf kompakten Mengen sind glm. stetig. Gleichmäßig stetige Funktionen sind insbesondere stetig.
Und damit erhält man natürlich:
Ist eine Funktion an irgendeiner Stelle unstetig, so ist sie insbesondere nicht glm. stetig (genauer: sie ist wenigstens mit Sicherheit nicht glm. stetig auf allen Teilmengen, die diese Stelle enthalten).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:56 Do 13.03.2008 | | Autor: | jaruleking |
Boah, echt super Erklärung, echt super nett. Ich werde mich morgen bzw. später  mal an paar aufgaben versuchen, sie sowohl mit dem folgenkriterium als auch mit dem Delta-Ezylon-Kriterium zu lösen. Wenn ich es schaffe, werde ich die dann auch noch posten. Vielleicht haste ja zeit dir das anzuschauen, oder es findet sich wer anders, der/die auch lust zu korrigieren haben.
Aber echt danke.
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Mir ist zu später Stunde doch noch eine kleine Frage eingefallen. Wie sieht es denn bei sin, cos, e, log usw. aus. bei solchen funktionen sieht es doch schon schwieriger aus eine entsprechende folge zu finden oder?
bis dann
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Do 13.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sin und cos sind peiodisch, was schliesst du daraus?
2. [mm] e^x [/mm] steigt für grosse x stärker als jede Poten was folgt?
3. lnx steigt schächer als x für x>1 was folgt?
4. Dein Folgenkriterium ist gut anzuwenden um Unstetigkeit zu zeigen, für Stetigkeit oder glm Stetigkeit macht es immer Schwierigkeiten, denn du must ja zeigen, dass für JEDE Folge [mm] x_n f(x_n) [/mm] konvergiert. Und wenn dus für 1000 folgen gezeigt hast heisst das noch gar nichts!
Also kommt man nicht immer um das [mm] \varepsilon \delta [/mm] Kriterium rum. Ohne Abschätzen zu lernen, was zugegeben am Anfang schwer ist, kommst du auf die Dauer in vielen Gebieten der Mathematik nicht weiter. Also beiss in den sauren Apfel und lerns! Mit Ungleichungen umgehen ist grade für nen angehenden Lehrer wichtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Do 13.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> 1. sin und cos sind peiodisch, was schliesst du daraus?
daraus kann man i.A. noch gar nichts schließen. Ich kann auch $f(x):=1$, falls $x$ rational, und $f(x)=0$, falls $x$ irrational ist, betrachten. Diese Funktion ist in trivialer Weise auch periodisch mit z.B. der Periode $1$ (ist $x$ rational, so auch $x+1$, und ist $x$ irrational, so auch $x+1$). Sie ist aber noch nicht mal stetig. Bei Deinem Hinweis fehlt also noch ein weiterer Hinweis, denn ich nehme mal an, dass Du darauf zieltest:
Stetige Funktionen auf kompakten Intervallen sind...
> 2. [mm]e^x[/mm] steigt für grosse x stärker als jede Poten was
> folgt?
Ich lasse das mal so stehen, wenngleich ich hier von Jaruleking dann erwarten würde, dass er das ganze auch mit vernünftigen Abschätzungen zeigen kann. Dein doch sehr starkes Argument benötigt man eigentlich in dieser "starken" Form nicht, es reicht vollkommen, dass $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ab einem genügen großen $x$ stärker wie $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] steigt. Und generell:
Ich gebe einfach mal den Hinweis, dass es bei differenzierbaren Funktion in der Tat oft auch sinnvoll ist, an Ableitungen bzw. den Mittelwertsatz der Differentialrechnung zu denken (oft kann man damit nämlich sogar Lipschitzstetigkeit und damit insbesondere glm. Stetigkeit beweisen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit
@ Jaruleking:
Beachte allerdings: Man kann so z.B. in einfacher Weise zeigen, dass $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] nicht Lipschitzstetig ist. Leider folgt daraus noch nicht, dass die $e$-Funktion nicht glm. stetig ist. Wenngleich sie es in der Tat nicht ist, siehe z.B. Leduarts Hinweis oben.).
> 3. lnx steigt schächer als x für x>1 was folgt?
Da verstehe ich Deinen Hinweis nicht. Man kann sicherlich zeigen:
[mm] $\ln(.)$ [/mm] ist glm. stetig auf jedem Intervall [mm] $(r,\infty)$ [/mm] (oder auch [mm] $[r,\infty)$) [/mm] mit irgendeinem festgehaltenen $r > 0$.
Aber:
[mm] $\ln(.)$ [/mm] ist NICHT glm. stetig auf [mm] $(0,\infty)$. [/mm] Wenn ich [mm] $\delta [/mm] > 0$ festhalte und [mm] $y=\delta$ [/mm] setze und [mm] $x:=\frac{\delta}{2}$, [/mm] so wird, und das erkennt man leicht an dem Graphen von [mm] $\ln(.)$, [/mm] durch genügend kleine Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] dann $|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x) [mm] \ge [/mm] 1$ sein.
> 4. Dein Folgenkriterium ist gut anzuwenden um Unstetigkeit
> zu zeigen, für Stetigkeit oder glm Stetigkeit macht es
> immer Schwierigkeiten, denn du must ja zeigen, dass für
> JEDE Folge [mm]x_n f(x_n)[/mm] konvergiert.
Das Argument Deinerseits finde ich unpassend. Anders muss man halt für "Alle" $x,y$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] etwas zeigen. Generell ist es halt so, dass man bei dem Folgenkriterium zeigen muss, dass für beliebige Folgen, die bestimmte Eigenschaften haben, dann schon eine weitere Eigenschaft aus den Eigenschaften der Folgen und aus Eigenschaften der gegebenen Funktion folgt. Das macht keineswegs IMMER Schwierigkeiten, denn man hat ja Grenzwertsätze für Folgen zur Verfügung. Welche Variante man bevorzugt, ist generell egal (unter geeigneten Voraussetzungen) und manchmal braucht man eh bei den Abschätzungen für Folgen ähnliche wie beim [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium.
[/mm]
So habe ich zum Beispiel die glm. Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] auf [mm] $(0,\infty)$ [/mm] mit einem entsprechenden Folgenkriterium nachgewiesen (siehe anderen Post:https://matheraum.de/read?i=379912, das Kriterium zur glm. Stetigkeit mittels Folgen habe ich hier formuliert:
https://matheraum.de/read?i=379884), man kann es aber genausogut auch direkt mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] nachrechnen, indem man die gleiche Abschätzung (die ich bei der Rechnung mit den Folgen verwendet habe und im P.S. erläutert habe) benutzt.
> Und wenn dus für 1000
> folgen gezeigt hast heisst das noch gar nichts!
> Also kommt man nicht immer um das [mm]\varepsilon \delta[/mm]
> Kriterium rum. Ohne Abschätzen zu lernen, was zugegeben am
> Anfang schwer ist, kommst du auf die Dauer in vielen
> Gebieten der Mathematik nicht weiter. Also beiss in den
> sauren Apfel und lerns! Mit Ungleichungen umgehen ist grade
> für nen angehenden Lehrer wichtig.
Da könnte ich genauso gut sagen:
Bei dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] muss man fast immer überabzählbar viele $x$ und $y$, die nur nahe genug beeinander liegen, überprüfen. Also warum sollte das "besser" sein, als "alle möglichen Folgen" zu testen?
Also wie gesagt, nicht, dass wir uns falsch verstehen. Ich habe gar nichts dagegen, dass Du sagst, Du rechnest lieber per Definitionem mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] und nicht mit Charakterisierungen über Folgen. Aber Fakt ist, jedenfalls wann man geeignete Voraussetzungen hat, z.B. metrische Räume usw., dass es dann eher Geschmackssache ist, ob man lieber per Definitionem oder mittels Folgen rechnet. Das einzige, was man bei Folgen dann vielleicht "extra" braucht, sind die "Rechenregeln":
Die (endliche) Summe konvergenter Folgen ist konvergent, und zwar gegen die Summe der Grenzwerte der einzelnen Folgen...
Übrigens, und ich denke, da sind wir uns einig:
Egal, ob man mit Folgen oder mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] rechnet: Man muss immer mit Abschätzungen umgehen können (ich habe ja insbesondere eine bei dem obigen Beweis zur glm. Stetigkeit von $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] benötigt).
Am besten halt wäre es für Jaruleking:
1.) Definitionen lernen und verstehen.
2.) Lernen, Beweise per Definitionem zu führen.
(Dabei insbesondere: Lernen, "Handwerkzeug" für Abschätzungen zu benutzen.)
3.) Charakterisierungen, Folgerungen etc. lernen, versuchen, die Beweise im Detail zu verstehen.
4.) Lernen, wie man die Charakterisierungen anzuwenden hat.
5.) Wenn noch genug Energie vorhanden ist:
Manche Aufgaben zum einen per Definitionem beweisen, zum anderen auch mit Charakterisierungen oder anderen Sätzen...
Das ist halt das "Blöde" an der Mathematik, man bekommt nicht nur 1000e von Dingen zum Arbeiten in die Hand gedrückt, man sollte zudem auch noch lernen, mit jedem einzelnen dieser Werkzeuge umzugehen. Irgendwann hat man soviel Handwerkszeug und Erfahrung, dass man meist einfach weiß, welches wohl das geeigneteste zur Lösung einer Aufgabe ist. Wenngleich man manchmal auch zu einem "unpassenden" Werkzeug greift und sich dann die Arbeit unnötig schwer macht. Aber auch aus solchen Fehlern lernt man ja bekanntlich. Manchmal sogar mehr wie aus allem anderen
Gruß,
Marcel
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hi, ich habe mal versucht, den beweis für f: [mm] \IR \to \IR, f(x)=e^x [/mm] zu probieren. ihr könnt mich ja dann verbessern.
Beh.: Die Funktion f ist nicht glm. Stetig
Beweis:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0: [mm] \exists [/mm] x,y [mm] \in D_f [/mm] mit |x-y| < [mm] \delta, [/mm] aber |f(x)-f(y)| > [mm] \varepsilon.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \forall \delta [/mm] > 0 und sei [mm] x=\delta [/mm] , [mm] y=\bruch{1}{\delta}, [/mm] so dass [mm] |\delta [/mm] - [mm] \bruch{1}{\delta}|=|\bruch{\delta^2 - 1}{\delta}|< \delta. [/mm] Weiter gilt.
[mm] |f(x)-f(y)|=|e^{\delta} [/mm] - [mm] e^{\bruch{1}{\delta}}|>1
[/mm]
damit ist f(x) nicht glm. stetig. ist das so richtig?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:16 Do 13.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> hi, ich habe mal versucht, den beweis für f: [mm]\IR \to \IR, f(x)=e^x[/mm]
> zu probieren. ihr könnt mich ja dann verbessern.
>
> Beh.: Die Funktion f ist nicht glm. Stetig
bis hierhin stimmt das
> Beweis:
>
> [mm]\exists \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\forall \delta[/mm] > 0: [mm]\exists[/mm] x,y
> [mm]\in D_f[/mm] mit |x-y| < [mm]\delta,[/mm] aber |f(x)-f(y)| >
> [mm]\varepsilon.[/mm]
Ab hier wird es gänzlich unklar.
> Sei [mm]\varepsilon > 0[/mm]
Hier solltest Du es schon konkret wählen, denn Du mußt die Existenz eines solchen [mm] $\varepsilon$'s [/mm] zeigen, so dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann $x,y$ existieren mit [mm] $|x-y|<\delta$, [/mm] aber $|f(x)-f(y)|> [mm] \varepsilon$.
[/mm]
> [mm]\forall \delta[/mm] > 0 und sei [mm]x=\delta[/mm] ,
Das kann so schon nicht klappen, denn je kleiner das [mm] $\delta$, [/mm] desto weiter musst Du mit $x,y$ in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] laufen. Für kleine [mm] $\delta$ [/mm] gehst Du aber mit $x$ nahe an die $0$...
> [mm]y=\bruch{1}{\delta},[/mm] so dass [mm]|\delta-\bruch{1}{\delta}|=|\bruch{\delta^2 - 1}{\delta}|< \delta.[/mm]
> Weiter gilt.
>
> [mm]|f(x)-f(y)|=|e^{\delta}[/mm] - [mm]e^{\bruch{1}{\delta}}|>1[/mm]
Wieso diese Abschätzung überhaupt gelten soll, hast Du nirgends begründet. Zudem herrscht hier ein anderes Problem vor:
Der Abstand zwischen $x$ und $y$ ist für kleine [mm] $\delta$ [/mm] alles andere als kleiner als [mm] $\delta$. [/mm] Für [mm] $\delta=\frac{1}{2}$ [/mm] ist [mm] $x=\frac{1}{2}$ [/mm] und $y=2$, und damit [mm] $|x-y|=\frac{3}{2} [/mm] > [mm] \frac{1}{2}=\delta$. [/mm] Noch schlimmer wird es, wenn man das [mm] $\delta$ [/mm] noch kleiner wählt. D.h. die Wahl Deiner $x$ und $y$ ist gänzlich ungeeignet.
(Wenn man Deine Rechnung [mm] $\left|\delta-\frac{1}{\delta}\right|=\frac{|\delta^2-1|}{\delta}< \delta$ [/mm] mal für $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ anguckt, so erkennt man, dass rechts das $< [mm] \delta$ [/mm] eigentlich einfach nur eine Behauptung von Dir ist (das diese Behauptung falsch ist, erkennst Du z.B. für [mm] $\delta=\frac{1}{2}$). [/mm] Man könnte sicherlich für $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ schreiben:
[mm] $\left|\delta-\frac{1}{\delta}\right|=\frac{|\delta^2-1|}{\delta}< \frac{1}{\delta}$, [/mm] aber das bringt uns ja nix!)
Vielleicht machen wir doch mal den "konstruktiven" Weg hier:
Für irgendzwei $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)-f(y)|=|e^x-e^y|=\left|e^x*\left(1-\frac{e^y}{e^x}\right)\right|=|e^x*(1-e^{y-x})|=|e^x|*|1-e^{y-x}|$
[/mm]
Und für $x,y$ nahe beieinander ist der Faktor [mm] $|1-e^{y-x}|$ [/mm] nahe bei $0$, d.h. man muss sich nun überlegen, dass man für alle kleinen [mm] $\delta$ [/mm] das $x$ dann "so genügend" groß wählt, so dass [mm] $e^x$ [/mm] stets so groß wird, dass [mm] $|e^x|*|1-e^{y-x}| [/mm] > [mm] \varepsilon$ [/mm] für ein festes [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
Nun:
Du kannst nun zunächst zeigen:
[mm] $|1-e^r| \ge [/mm] r$ für alle $r [mm] \ge [/mm] 0$.
Dann haben wir oben:
[mm] $|f(x)-f(y)|=|e^x||1-e^{y-x}| \ge |e^x||y-x|$ $(\*)$
[/mm]
Und nun:
Ist [mm] $\delta [/mm] > 0$, so wählen wir [mm] $x=x_\delta$, [/mm] was wir später konkretisieren. Dann setzt Du [mm] $y=y_\delta=x+\frac{\delta}{2}$. [/mm] Dann folgt in [mm] $(\*)$:
[/mm]
$|f(x)-f(y)| [mm] \ge |e^x|*\frac{\delta}{2}$
[/mm]
Und jetzt die Frage an Dich:
Wenn wir nun z.B. für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ erreichen wollen, dass [mm] $|e^x|*\frac{\delta}{2} [/mm] > 1$, wie können wir dann [mm] $x=x_{\delta}$ [/mm] geeignet wählen?
Tipp:
1.) Um Fallunterscheidungen aus dem Wege zu gehen, kann man z.B. o.E. bei dem Nachweis der Existenz solcher $x,y$ mit [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] und $|f(x)-f(y)| > 1$ darauf beschränken, dies für alle $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ zu beweisen.
Denn:
Einerseits: Wenn es solche $x,y$ nämlich für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, dann insbesondere auch für alle $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$.
Andererseits:
Wenn es solche $x,y$ für alle $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ gibt, dann gibt es sie natürlich auch für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$. Habe ich dann nämlich ein [mm] $\delta \ge [/mm] 1$ vorgegeben, so wähle ich z.B. [mm] $\delta=\frac{1}{2}$, [/mm] dann gibt es $x,y$ mit [mm] $|x-y|<\frac{1}{2}$ [/mm] und $|f(x)-f(y)|>1$. Diese $x,y$ erfüllen aber auch $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] wegen [mm] $\delta \ge [/mm] 1 > [mm] \frac{1}{2}$, [/mm] sind dann also auch für unser [mm] $\delta \ge [/mm] 1$ geeignet.
2.) Also nimm mal o.B.d.A. an, dass wir nur alle $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ betrachten. Dann beachte:
Es gilt z.B.
[mm] $\frac{3}{\delta}*\frac{\delta}{2}=\frac{3}{2} [/mm] > 1$
Ein Vergleich des Terms [mm] $\frac{3}{\delta}*\frac{\delta}{2}$ [/mm] mit [mm] $|e^x|*\frac{\delta}{2}$ [/mm] sollte der Wink mit dem Zaunpfahl sein, zudem ist der Betrag bei [mm] $|e^x|$ [/mm] unnötig, da [mm] $|e^x|=e^x$ [/mm] für alle reellen $x$.
Gruß,
Marcel
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Hi.
also nach deiner frage: "Und jetzt die Frage an Dich:
Wenn wir nun z.B. für jedes $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ erreichen wollen, dass $ [mm] |e^x|\cdot{}\frac{\delta}{2} [/mm] > 1 $, wie können wir dann $ [mm] x=x_{\delta} [/mm] $ geeignet wählen?"
ich denke das [mm] x=x_{\delta} [/mm] müsste [mm] x=ln(\bruch{3}{\delta}). [/mm] denn dann bekommen wir das, was wir uns erwünscht hatten.
|f(x)-f(y)| [mm] \ge |e^x|\cdot{}\frac{\delta}{2} [/mm] sei x wie oben, dann folgt:
|f(x)-f(y)| [mm] \ge |e^{ln(\bruch{3}{\delta})}\cdot{}\frac{\delta}{2}= [/mm] $ [mm] \frac{3}{\delta}\cdot{}\frac{\delta}{2}=\frac{3}{2} [/mm] > 1 $
müsste doch jetzt eigentlich so stimmen oder?
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:44 So 16.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi.
>
> also nach deiner frage: "Und jetzt die Frage an Dich:
> Wenn wir nun z.B. für jedes [mm]\delta > 0[/mm] erreichen wollen,
> dass [mm]|e^x|\cdot{}\frac{\delta}{2} > 1 [/mm], wie können wir dann
> [mm]x=x_{\delta}[/mm] geeignet wählen?"
>
> ich denke das [mm]x=x_{\delta}[/mm] müsste [mm]x=ln(\bruch{3}{\delta}).[/mm]
> denn dann bekommen wir das, was wir uns erwünscht hatten.
>
> |f(x)-f(y)| [mm]\ge |e^x|\cdot{}\frac{\delta}{2}[/mm] sei x wie
> oben, dann folgt:
>
> |f(x)-f(y)| [mm]\ge |e^{ln(\bruch{3}{\delta})}\cdot{}\frac{\delta}{2}=[/mm]
> [mm]\frac{3}{\delta}\cdot{}\frac{\delta}{2}=\frac{3}{2} > 1[/mm]
>
> müsste doch jetzt eigentlich so stimmen oder?
>
genau. Ist Dir klar, warum das hier so klappt (also: kannst Du alles nachvollziehen?) und was das Problem bei Deiner Vorgehensweise war?
Übrigens:
Was fällt bei der Wahl [mm] $x=x_\delta=\ln\left(\frac{3}{\delta}\right)$ [/mm] auf? Wenn [mm] $\delta [/mm] > 0$ gegen $0$, dann geht $x$ gegen???
Graphische Interpretation?
Gruß,
Marcel
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Hi. ja also ich glaube, ich habe jetzt alles verstanden, ob ich die abschätzung in anderen aufgaben auch so hinbekomme, glaube ich eher nicht, aber diese beispiele habe ich gut verstanden und jetzt weiß ich auch, wie man vorgeht, das ist ja schon mal etwas
Und deine frage.
Was fällt bei der Wahl $ [mm] x=x_\delta=\ln\left(\frac{3}{\delta}\right) [/mm] $ auf? Wenn $ [mm] \delta [/mm] > 0 $ gegen $ 0 $, dann geht $ x $ gegen???
x geht dann gegen unendlich, so muss man dann auch immer dieses x suchen, also mit diesem ziel.
ok vielen dank für die hilfe.
gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:50 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Hi. ja also ich glaube, ich habe jetzt alles verstanden, ob
> ich die abschätzung in anderen aufgaben auch so hinbekomme,
> glaube ich eher nicht, aber diese beispiele habe ich gut
> verstanden und jetzt weiß ich auch, wie man vorgeht, das
> ist ja schon mal etwas
>
> Und deine frage.
> Was fällt bei der Wahl
> [mm]x=x_\delta=\ln\left(\frac{3}{\delta}\right)[/mm] auf? Wenn
> [mm]\delta > 0[/mm] gegen [mm]0 [/mm], dann geht [mm]x[/mm] gegen???
>
> x geht dann gegen unendlich, so muss man dann auch immer
> dieses x suchen, also mit diesem ziel.
ähm ja, vermutlich meinst Du das richtige, aber mit der Ausdrucksweise "so muss man dann auch immer dieses x suchen" bin ich nicht ganz einverstanden, denn man braucht ja nicht nur ein x, sondern man braucht ja ZWEI Stellen $x$, $y$, mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] und so, dass dann $|f(x)-f(y)| [mm] \ge \varepsilon_0$ [/mm] für ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$.
(In der Tat müsste man bei $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] eigentlich nicht [mm] $\varepsilon_0=1$ [/mm] wählen. Klar ist ja schon, dass auch jedes $0 < [mm] \varepsilon_0 [/mm] < 1$ bei dem Beweis genauso geeignet wäre, und was man sich auch klarmachen kann: Wählt man ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 1$, so muss man halt mit den $x,y$ noch "schneller" in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] laufen. Hier könnte man also quasi das [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] irgenwie wählen, sofern nur $>0$ und dann fest.
Wenn Du z.B. $x [mm] \mapsto \sin(x^2)$ [/mm] betrachtest und dort die glm. Stetigkeit auf [mm] $\IR$ [/mm] widerlegen willst, so muss dort das [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ aber z.B. auf jeden Fall [mm] $\le [/mm] 2$ sein. Ist Dir klar, warum?)
Für jedes [mm] $\delta [/mm] > 0$ hatten wir ja $x,y$ so angeben wollen, dass [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] (oder [mm] $\le \delta$, [/mm] das ist nicht so wichtig) und zudem $|f(x)-f(y)| > 1$. Ich hatte dann $x$ erstmal unbestimmt gelassen, dann aber [mm] $y=x+\frac{\delta}{2}$ [/mm] gewählt und behauptet, dass man anhand des Graphen von $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] dann erkennt, dass man, je kleiner [mm] $\delta [/mm] > 0$, desto weiter muss man mit $x$ (und damit auch mit $y$) in Richtung unendlich laufen, um solche Stellen $x,y$ anzugeben mit $|f(x)-f(y)| > 1$.
(Ich wollte auch noch anmerken:
Dass man zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ hier $y$ einfach um [mm] $\frac{\delta}{2}$ [/mm] größer wählen kann, liegt auch an einer speziellen Form des Schaubildes des Graphen bzw. besser: Speziell an der Funktion. Je nachdem, wie eine Funktion oszilliert, muss man da spezieller werden. Stelle Dir meinetwegen eine Funktion der Art $x [mm] \mapsto x*\sin(x)$ [/mm] vor, die zudem noch bei wachsendem $x$ entlang der $x$-Achse immer mehr gestaucht wird.
(Ich glaube: $x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$ [/mm] wäre eine schöne Funktion der Art, wie ich sie meine. Die ist sicherlich nicht glm. stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] (sie ist es ja schon nicht auf [mm] $[0,\infty)$). [/mm] )
Da würde man sich dann z.B. "nebeneinanderliegende" lokale Hoch- und Tiefpunkte angucken und auch, je nach [mm] $\delta$, [/mm] die zugehörigen $x$-Werte "möglichst groß", also in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] gehend, wählen, um die glm. Stetigkeit der Funktion zu widerlegen, aber der Abstand zwischen dem $x$-Wert eines Hochpunktes und eines Tiefpunktes wäre hier nicht immer [mm] $\frac{\delta}{2}$, [/mm] er wäre vielmehr "spezieller" Natur, man könnte z.B. versuchen, ihn mittels der Ableitung zu präzisieren.)
Wodrauf ich einfach nur hinauswollte:
Bei dem Beweis klappte das z.B. mit der Wahl [mm] $x=\ln\left(\frac{3}{\delta}\right)$ [/mm] und [mm] $y=x+\frac{\delta}{2}$, [/mm] und in der Tat ist es so, wie Du es sagst:
Das, was ich behauptet habe, an dem Schaubild zu erkennen, kommt im Beweis zum Vorschein:
Mit [mm] $\delta \to [/mm] 0$ geht $x$ (und damit auch $y$) Richtung [mm] $\infty$, [/mm] also je kleiner das [mm] $\delta [/mm] > 0$ gewählt wird, desto weiter muss ich mit den $x,y$ in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] laufen, wenn ich $|x-y|< [mm] \delta$ [/mm] (hier sogar: [mm] $|x-y|=\frac{\delta}{2}$) [/mm] haben will und zudem $|f(x)-f(y)| > 1$ erreichen will.
Gruß,
Marcel
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Hi nochmal.
also: "Wenn Du z.B. $ x [mm] \mapsto \sin(x^2) [/mm] $ betrachtest und dort die glm. Stetigkeit auf $ [mm] \IR [/mm] $ widerlegen willst, so muss dort das $ [mm] \varepsilon_0 [/mm] > 0 $ aber z.B. auf jeden Fall $ [mm] \le [/mm] 2 $ sein. Ist Dir klar, warum?"
Das liegt doch daran, dass sin(x) auf [mm] -1\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 beschränkt ist?
und dann nochmal paar fragen wieder.
diese funktionen hier $ x [mm] \mapsto x\cdot{}\sin(x) [/mm] $ und $ x [mm] \mapsto x\cdot{}\sin(x^2) [/mm] $ sind auf [mm] \IR [/mm] nicht glm. stetig, aber wenn ich die auf einem kompakten intervall untersuchen will, dann sind die ja glm. stetig oder? weil da hatten wir doch diesen satz: funktionen, die auf einem kompakten intervall stetig sind, sind dort auch glm. stetig.
und auf einem intervall von ]0,2[ müssten die ja eigentlich genauso glm. stetig sein.
und du sagst, für die wahl von x und y solle man sich hier die ableitung anschauen?
also wenn ich die ableitung von x [mm] \mapsto x*\sin(x^2) [/mm] betrachte, die ist ja [mm] (\sin(x) [/mm] + [mm] x*cos(x))^2. [/mm] woran erkennt man das jetzt? die funktion hat hochpunkte, ich gebe jetzt mal zwei an: einmal bei x=-2,19 und 1,35 und dann zwei tiefpunkte bei x=-1,35 und 2,19. Also wenn man die sachen addiert, kommt da null raus, das fällt mir gerade auf
danke und gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Mi 19.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Jaruleking,
> Hi nochmal.
>
> also: "Wenn Du z.B. [mm]x \mapsto \sin(x^2)[/mm] betrachtest und
> dort die glm. Stetigkeit auf [mm]\IR[/mm] widerlegen willst, so muss
> dort das [mm]\varepsilon_0 > 0[/mm] aber z.B. auf jeden Fall [mm]\le 2[/mm]
> sein. Ist Dir klar, warum?"
>
> Das liegt doch daran, dass sin(x) auf [mm]-1\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 1
> beschränkt ist?
mit dieser Wortwahl hieße das, dass [mm] $\sin(x)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ beschränkt ist, d.h. [mm] $\exists [/mm] C > 0$ mit [mm] $|\sin(x)| \le [/mm] C$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$. Das ist in der Tat auch korrekt, bringt Dir aber nichts. Was Du eigentlich sagen wolltest, ist, dass $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] nur Werte in $[-1,1]$ annimmt (d.h. [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$: [/mm] $-1 [mm] \le \sin(x) \le [/mm] 1$), bzw. anders ausgedrückt: $x [mm] \mapsto \sin(x)$ [/mm] ist auf [mm] $\IR$ [/mm] durch $1$ beschränkt (im Sinne von: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in \IR$: $|\sin(x)| \le [/mm] 1$).
Und in der Tat ist das das Argument:
Für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt nämlich:
[mm] $|\sin(x^2)-\sin(y^2)| \le |\sin(x^2)|+|\sin(y^2)| \le [/mm] 1+1=2$, d.h. Du wirst bei
$x [mm] \mapsto \sin(x^2)$ [/mm] z.B. keine Stellen $x,y$ finden mit [mm] $|\sin(x^2)-\sin(y^2)| [/mm] > 3$...
>
> und dann nochmal paar fragen wieder.
>
> diese funktionen hier [mm]x \mapsto x\cdot{}\sin(x)[/mm] und [mm]x \mapsto x\cdot{}\sin(x^2)[/mm]
> sind auf [mm]\IR[/mm] nicht glm. stetig, aber wenn ich die auf einem
> kompakten intervall untersuchen will, dann sind die ja glm.
> stetig oder? weil da hatten wir doch diesen satz:
> funktionen, die auf einem kompakten intervall stetig sind,
> sind dort auch glm. stetig.
In der Tat ist das so. Wobei es meiner Meinung gar nicht so banal ist, dass die Funktion $x [mm] \mapsto x*\sin(x)$ [/mm] nicht glm. stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Aber da könnte man vermutlich doch wieder so argumentieren, dass man z.B. den $x$-Wert einer Tiefstelle hernimmt (auf [mm] $[0,\infty)$), [/mm] dann [mm] $y=x+\frac{\delta}{2}$ [/mm] für genügend kleines [mm] $\delta [/mm] > 0$ betrachtet und dann $|f(x)-f(y)|$ nach unten abschätzt, wobei man wieder, je kleiner [mm] $\delta$, [/mm] desto größer $x$ wählen kann. Weil: Die Stellen der Hoch- und Tiefpunkte treten hier ja doch "periodisch" auf, und die Funktion steigt von Tief- zu Hochstelle mit wachsendem $x$-Wert "schneller" (dafür sorgt der Vorfaktor $x$).
Der Unterschied bei $x [mm] \mapsto \sin(x^2)$ [/mm] ist z.B., dass, je weiter man in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] entlang der $x$-Achse läuft, desto schneller folgen die Hoch- und Tiefpunkte aufeinander, d.h. die $x$-Werte eines (lokalen) Hoch- und Tiefpunktes "rücken näher beieinander", je weiter man entlang der $x$-Achse nach rechts geht.
> und auf einem intervall von ]0,2[ müssten die ja eigentlich
> genauso glm. stetig sein.
Ja, denn Du brauchst ja nur ein kompaktes Intervall [a,b] zu wählen, dass ]0,2[ enthält (d.h. wähle $a [mm] \le [/mm] 0$ und $b [mm] \ge [/mm] 2$). Auf diesem ist die Funktion stetig, damit glm. stetig und daher dann auch auf jeder Teilmenge des Intervalls $[a,b]$ glm. stetig, also insbesondere auf $]0,2[$.
Eine Funktion, die auf $]0,2[$ übrigens nicht glm. stetig ist, ist z.B. $x [mm] \mapsto \sin\left(\frac{1}{x}\right)$. [/mm] Das Problem, dass die Argumentation mit dem kompakten Intervall, dass $]0,2[$ enthielte, hier nicht greift, ist die Tatsache, dass man die Funktion nicht stetig an $0$ fortsetzen kann.
Anders sähe es dann aber wieder bei $x [mm] \mapsto x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] aus ($x [mm] \not=0$). [/mm] Diese wäre glm. stetig auf $]0,2[$.
> und du sagst, für die wahl von x und y solle man sich hier
> die ableitung anschauen?
>
> also wenn ich die ableitung von x [mm]\mapsto x*\sin(x^2)[/mm]
> betrachte, die ist ja [mm](\sin(x)[/mm] + [mm]x*cos(x))^2.[/mm] woran erkennt
> man das jetzt? die funktion hat hochpunkte, ich gebe jetzt
> mal zwei an: einmal bei x=-2,19 und 1,35 und dann zwei
> tiefpunkte bei x=-1,35 und 2,19. Also wenn man die sachen
> addiert, kommt da null raus, das fällt mir gerade auf
Ich weiß gerade nicht, was Du da genau addierst? Bzw. je nachdem, was Du meinst, ist es trivial:
Die Funktion $f: x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$ [/mm] ist ungerade (d.h. $f(-x)=-f(x)$ für alle $x$).
Jedenfalls:
Die Ableitung von $x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$ [/mm] stimmt so auch nicht:
[mm] $f(x)=x*\sin(x^2)$ [/mm] hat als Ableitung
[mm] $f'(x)=\sin(x^2)+x*\cos(x^2)*2x=\sin(x^2)+2x^2\cos(x^2)$
[/mm]
Jetzt könnte man versuchen, sich zu überlegen, wann $f'(x)=0$ wird, ggf. auch mit dem Zwischenwertsatz. Ich wollte das auch gar nicht wirklich algebraisch angehen (kann sein, dass das etwas (zu) kompliziert wird), aber die Idee hier erläutern:
Also wenn Du Dir die Graphen von $f$ und $f'$ mal plotten läßt, dann siehst Du:
Nullstellen von $f'$ liegen (ungefähr) vor (wir betrachten nur mal $f$ auf [mm] $[0,\infty)$) [/mm] und zwar in eben dieser Reihenfolge:
$x [mm] \approx [/mm] 1,4$ (dort hat $f$ lokales Maximum)
$x [mm] \approx [/mm] 2,2$ (dort hat $f$ ein lokales Minimum)
$x [mm] \approx [/mm] 2,8$ (dort hat $f$ lokales Maximum)
$x [mm] \approx [/mm] 3,3$ (dort hat $f$ ein lokales Minimum)
.
.
.
Man erkennt jedenfalls:
Die Abstände der (so aufeinanderfolgenden) $x$-Werte verringern sich (wir brauchen: sie streben gegen $0$), und wenn man die Differenz der zugehörigen Funktionswerte berechnet, wachsen diese (sogar gegen [mm] $\infty$).
[/mm]
So, jetzt müßte man das alles erstmal formal noch sauber nachrechnen und beweisen.
Und hätte man nun ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ vorgegeben, so klappert man die $x$-Werte der lokalen Extremstellen (auf [mm] $[0,\infty)$) [/mm] erstmal ab, bis der Betrag des zugehörigen Funktionswertes erstmal hier meinetwegen $> [mm] 1=:\varepsilon_0$ [/mm] ist. Weil hier die $y$-Werte bei Hochpunkten $> 0$ sind und bei Tiefpunkten $< 0$, ist die Differenz der Funktionswerte zweier aufeinanderfolgender Extremstellen $ > $ als das Maximum der Beträge der beiden Funktionswerte, also wird er $> 1$ sein, wenn wir nur eine Extremstelle genügend groß gewählt haben. Wenn die $x$-Werte der beiden aufeinandefolgenden Extremstellen noch nicht nahe genug beieinander sind, d.h., wenn der Abstand noch $> [mm] \delta$ [/mm] ist, dann gehen wir einfach weiter nach rechts, bis wir einen Abstand $< [mm] \delta$ [/mm] haben. Der Abstand der Funktionswerte wird dann sogar noch größer sein.
Also meintewegen mal am Beispiel:
Wir halten [mm] $\varepsilon_0=1$ [/mm] fest. Jetzt nehmen wir [mm] $\delta=0,55$:
[/mm]
So grob mit den "lokalen Extremstellen" gerechnet:
$f(1,4) [mm] \approx [/mm] 1,3$ und $f(2,2) [mm] \approx [/mm] -2,2$, d.h. der Abstand der Funktionswerte ist schonmal gut, nämlich sogar $ > 3$. Aber die $x$-Werte sind noch zu weit auseinander ($2,2-1,3=0,9 > 0,55$).
Also gucken wir weiter:
$2,2$ und $2,8$ sind zwar nur Näherungswerte, aber wir glauben einfach mal, dass auch die "richtigen" $x$-Werte noch nicht nahe genug beieinander sind.
$2,8$ und $3,3$ sind da also besser geeignet (da $0,5=3,3-2,8 < 0,55$)...
Also das wäre so die Grundidee, ich hoffe, sie ist einigermaßen verständlich. Wichtig ist halt, dass der Abstand solcher Stellen immer größer als eine konstante Zahl sein wird (hier: z.B. $> [mm] \varepsilon_0=1$), [/mm] und dass man solche Stellen immer nahe genug beieinander findet, und bei $x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$ [/mm] findet man solche Stellen halt mittels der (aufeinanderfolgenden) lokalen Extrema unter der Beobachtung, dass die $x$-Werte der lokalen Extrema, wenn man entlang der $x$-Achse in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] läuft, diese immer näher beieinander liegen, d.h. dass man solche "Stellen", wo der Abstand der Funktionswerte $>$ einer konstanten Zahl ist, auch nahe genug beieinander wählen kann...
Also wie gesagt:
Du willst die Verneinung der glm. Stetigkeit zeigen, d.h.:
Zu zeigen ist:
Es existiert ein [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$, so dass gilt:
Für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ existieren $x,y$ mit $|x-y| < [mm] \delta$ [/mm] (oder meintwegen auch [mm] $\le \delta$) [/mm] und $|f(x)-f(y)| > [mm] \varepsilon_0$ [/mm] (oder meinetwegen auch [mm] $\ge \varepsilon_0$). [/mm]
Und bei dem Beispiel $x [mm] \mapsto x*\sin(x^2)$:
[/mm]
Das [mm] $\varepsilon_0 [/mm] > 0$ kann man irgendwie wählen, meintewegen [mm] $\varepsilon_0=1$. [/mm]
Solche Stellen $x,y$ findet man hier mittels zweier aufeinanderfolgenden (lokalen) Extremstellen, wenn man nur weit genug in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] läuft.
(Wählt man das [mm] $\varepsilon_0$ [/mm] anfangs sehr groß, also z.B. [mm] $\varepsilon_0=10^6$, [/mm] so muss man halt dann sehr sehr weit mit den $x,y$ in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] laufen, d.h. dort wird sicherlich $x,y [mm] \ge 10^6$ [/mm] zu wählen sein. Und je nachdem, wie klein das [mm] $\delta [/mm] > 0$, desto mehr muss man hier noch in Richtung [mm] $\infty$ [/mm] mit $x,y$ laufen.)
Gruß,
Marcel
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