Beweis Induktion Primzahl < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden Aussagen:
(a) Es seien n>=2, a1,....,an [mm] \inZ [/mm] und p prim. Dann gilt
[mm] p|a_{1}*....*a_{n} [/mm] --> [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] {1,...,n} mit p | [mm] a_{k}
[/mm]
(b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm] 2^{2^n} [/mm] -1 (mit n [mm] \in [/mm] N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen. |
Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
Also Induktionsanfang:
n=2 [mm] p|a_{1}*a_{2} [/mm] -> [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] {1,2} mit [mm] p|a_{k}
[/mm]
Da aus [mm] p|a_{1}*a_{2} [/mm] laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt das [mm] p|a_{1} [/mm] oder [mm] p|a_{2} [/mm] gilt stimmt das.
Induktionsvorr.:
Für ein beliebiges, festes n>= 2 gelte das
[mm] p|a_{1}*....*a_{n} [/mm] --> [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] {1,...,n} mit p | [mm] a_{k}
[/mm]
gilt.
Indbehauptung:
Dann ist zu zeigen, dass auch
[mm] p|a_{1}*....*a_{n+1} [/mm] --> [mm] \exists [/mm] k [mm] \in [/mm] {1,...,n+1} mit p | [mm] a_{k}
[/mm]
gilt.
Induktionsschluss:
Also hier weiß ich nicht genau wie ich die Induktionsbehauptung mit der Vorraussetzung verbinden soll.
Laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt ja aus [mm] p|a_{1}*a_{2} [/mm] das [mm] p|a_{1} [/mm] oder [mm] p|a_{2} [/mm] gilt.
Also das ist doch quasi genau das was hier behauptet wird, nur anders geschrieben oder nicht?
Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf keine Idee.
Induktionsanfang:
n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine Primzahl, also wahr.
Vorr.:
für ein bel. festes [mm] n\in [/mm] N gelte, dass die Primfaktorzerlegung von [mm] 2^{(2^n)} [/mm] -1 genau n Primzahlen besitzt.
Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von [mm] 2^{(2^n+1)} [/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
Schluss:
Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
Gruß
Andy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden
> Aussagen:
>
> (a) Es seien n>=2, a1,....,an [mm]\inZ[/mm] und p prim. Dann gilt
> [mm]p|a_{1}*....*a_{n}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n} mit p |
> [mm]a_{k}[/mm]
>
> (b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm]2^{2^n}[/mm] -1 (mit n [mm]\in[/mm]
> N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.
> Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
>
> Also Induktionsanfang:
>
> n=2 [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] -> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,2} mit [mm]p|a_{k}[/mm]
>
> Da aus [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt das
> [mm]p|a_{1}[/mm] oder [mm]p|a_{2}[/mm] gilt stimmt das.
>
> Induktionsvorr.:
>
> Für ein beliebiges, festes n>= 2 gelte das
> [mm]p|a_{1}*....*a_{n}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n} mit p |
> [mm]a_{k}[/mm]
> gilt.
>
> Indbehauptung:
>
> Dann ist zu zeigen, dass auch
>
> [mm]p|a_{1}*....*a_{n+1}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n+1} mit p |
> [mm]a_{k}[/mm]
>
> gilt.
>
> Induktionsschluss:
>
> Also hier weiß ich nicht genau wie ich die
> Induktionsbehauptung mit der Vorraussetzung verbinden
> soll.
Wir haben: $ [mm] p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n+1} [/mm] $. Nach Deinem Satz 4.1 gilt:
$ [mm] p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n} [/mm] $ oder [mm] $p|a_{n+1}$.
[/mm]
Fall 1: [mm] $p|a_{n+1}$. [/mm] Dann bist Du fertig !
Fall 2: $ [mm] p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n} [/mm] $. Jetzt bemühe die Induktionsvoraussetzung.
FRED
> Laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt ja aus [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] das
> [mm]p|a_{1}[/mm] oder [mm]p|a_{2}[/mm] gilt.
> Also das ist doch quasi genau das was hier behauptet wird,
> nur anders geschrieben oder nicht?
>
>
> Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf
> keine Idee.
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine
> Primzahl, also wahr.
>
> Vorr.:
>
> für ein bel. festes [mm]n\in[/mm] N gelte, dass die
> Primfaktorzerlegung von [mm]2^{(2^n)}[/mm] -1 genau n Primzahlen
> besitzt.
>
> Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> [mm]2^{(2^n+1)}[/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
>
> Schluss:
>
> Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
>
> Gruß
>
> Andy
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:41 Do 01.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden
> > Aussagen:
> >
> > (a) Es seien n>=2, a1,....,an [mm]\inZ[/mm] und p prim. Dann gilt
> > [mm]p|a_{1}*....*a_{n}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n} mit p |
> > [mm]a_{k}[/mm]
> >
> > (b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm]2^{2^n}[/mm] -1 (mit n [mm]\in[/mm]
> > N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.
> > Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
> >
> > Also Induktionsanfang:
> >
> > n=2 [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] -> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,2} mit [mm]p|a_{k}[/mm]
> >
> > Da aus [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt das
> > [mm]p|a_{1}[/mm] oder [mm]p|a_{2}[/mm] gilt stimmt das.
> >
> > Induktionsvorr.:
> >
> > Für ein beliebiges, festes n>= 2 gelte das
> > [mm]p|a_{1}*....*a_{n}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n} mit p |
> > [mm]a_{k}[/mm]
> > gilt.
> >
> > Indbehauptung:
> >
> > Dann ist zu zeigen, dass auch
> >
> > [mm]p|a_{1}*....*a_{n+1}[/mm] --> [mm]\exists[/mm] k [mm]\in[/mm] {1,...,n+1} mit p |
> > [mm]a_{k}[/mm]
> >
> > gilt.
> >
> > Induktionsschluss:
> >
> > Also hier weiß ich nicht genau wie ich die
> > Induktionsbehauptung mit der Vorraussetzung verbinden
> > soll.
>
>
> Wir haben: [mm]p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n+1} [/mm]. Nach Deinem
> Satz 4.1 gilt:
>
>
> [mm]p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n}[/mm] oder [mm]p|a_{n+1}[/mm].
>
> Fall 1: [mm]p|a_{n+1}[/mm]. Dann bist Du fertig !
>
> Fall 2: [mm]p|a_{1}\cdot{}....\cdot{}a_{n} [/mm]. Jetzt bemühe die
> Induktionsvoraussetzung.
>
>
> FRED
Danke für die Antwort. Aber die Voraussetzung setzt ja voraus, dass Fall 2 stimmt. Was muss man denn da noch großartig bemühen???
>
> > Laut Satz 4.1(Vorlesung) folgt ja aus [mm]p|a_{1}*a_{2}[/mm] das
> > [mm]p|a_{1}[/mm] oder [mm]p|a_{2}[/mm] gilt.
> > Also das ist doch quasi genau das was hier behauptet wird,
> > nur anders geschrieben oder nicht?
> >
> >
> > Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf
> > keine Idee.
> >
> > Induktionsanfang:
> >
> > n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine
> > Primzahl, also wahr.
> >
> > Vorr.:
> >
> > für ein bel. festes [mm]n\in[/mm] N gelte, dass die
> > Primfaktorzerlegung von [mm]2^{(2^n)}[/mm] -1 genau n Primzahlen
> > besitzt.
> >
> > Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> > [mm]2^{(2^n+1)}[/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
> >
> > Schluss:
> >
> > Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
> >
> > Gruß
> >
> > Andy
> >
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Warnung: du schreibst
> > für ein bel. festes $ [mm] n\in [/mm] $ N gelte, dass die
> > Primfaktorzerlegung von $ [mm] 2^{(2^n)} [/mm] $ -1 genau n Primzahlen
> > besitzt.
> >
> > Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> > $ [mm] 2^{(2^n+1)} [/mm] $ -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
> >
Das ist falsch! Die Behauptung ist nicht "genau" sondern "mindestens" ein riesiger Unterschied
Gruss leduart
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Fr 02.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden
> Aussagen:
>
> (b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm]2^{2^n}[/mm] -1 (mit n [mm]\in[/mm]
> N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.
> Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
>
> Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf
> keine Idee.
>
> Induktionsanfang:
>
> n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine
> Primzahl, also wahr.
>
> Vorr.:
>
> für ein bel. festes [mm]n\in[/mm] N gelte, dass die
> Primfaktorzerlegung von [mm]2^{(2^n)}[/mm] -1 genau n Primzahlen
> besitzt.
>
> Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> [mm]2^{(2^n+1)}[/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
>
> Schluss:
>
> Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
>
Faktorisiere den Ausdruch (sog. dritte binomische Formel).
> Gruß
>
> Andy
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:09 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden
> > Aussagen:
> >
> > (b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm]2^{2^n}[/mm] -1 (mit n [mm]\in[/mm]
> > N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.
> > Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
> >
> > Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf
> > keine Idee.
> >
> > Induktionsanfang:
> >
> > n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine
> > Primzahl, also wahr.
> >
> > Vorr.:
> >
> > für ein bel. festes [mm]n\in[/mm] N gelte, dass die
> > Primfaktorzerlegung von [mm]2^{(2^n)}[/mm] -1 genau n Primzahlen
> > besitzt.
> >
> > Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> > [mm]2^{(2^n+1)}[/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
> >
> > Schluss:
> >
> > Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
> >
> Faktorisiere den Ausdruch (sog. dritte binomische Formel).
>
> > Gruß
> >
> > Andy
> >
>
Danke für die Antwort.
Also schreibe ich dann die Behauptung [mm] 2^{2^{n+1}} [/mm] -1 Als:
[mm] (2^{n+1} +1)*(2^{n+1}-1) [/mm] ?
Aber irgendwie komm ich trotzdem nicht drauf, wie mich das weiter bringt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > > Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion die folgenden
> > > Aussagen:
> > >
> > > (b) Die Primfaktorzerlegung der Zahl [mm]2^{2^n}[/mm] -1 (mit n [mm]\in[/mm]
> > > N) besitzt mindestens n verschiedene Primzahlen.
> > > Zu a habe ich folgenden Lösungsansatz:
> > >
> > > Bei Aufgabe (b) komme ich im Induktionsschluss auch auf
> > > keine Idee.
> > >
> > > Induktionsanfang:
> > >
> > > n=1 Dann ist die Primfaktorzerlegung: 3 und das hat eine
> > > Primzahl, also wahr.
> > >
> > > Vorr.:
> > >
> > > für ein bel. festes [mm]n\in[/mm] N gelte, dass die
> > > Primfaktorzerlegung von [mm]2^{(2^n)}[/mm] -1 genau n Primzahlen
> > > besitzt.
> > >
> > > Beh.: Dann ist zu zeigen, dass de Primfaktorzerlegung von
> > > [mm]2^{(2^n+1)}[/mm] -1 genau n+1 Primzahlen besitzt.
> > >
> > > Schluss:
> > >
> > > Hier wäre ich für einen Ansatz sehr dankbar.
> > >
> > Faktorisiere den Ausdruch (sog. dritte binomische Formel).
> >
> > > Gruß
> > >
> > > Andy
> > >
> >
>
> Danke für die Antwort.
> Also schreibe ich dann die Behauptung [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 Als:
> [mm](2^{n+1} +1)*(2^{n+1}-1)[/mm] ?
> Aber irgendwie komm ich trotzdem nicht drauf, wie mich das
> weiter bringt.
Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich wieder zerlegen. Ich mache es mal am Beispiel [mm]2^8[/mm]-1:
[mm]2^8-1=(2^4+1)(2^4-1)=(2^4+1)(2^2+1)(2^2-1)=(2^4+1)(2^2+1)(2+1)(2-1)[/mm].
Gruß Abakus
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
> Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> wieder zerlegen.
Ist nicht [mm] 2^{2^{n+1}}-1 [/mm] = [mm] 2^{2*(n+1)}-1 [/mm] = [mm] 2^{2n+2}-1
[/mm]
und [mm] 2^{n+1}*2^{n+1} [/mm] = [mm] 2^{2n+2} [/mm] ??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:06 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > wieder zerlegen.
>
> Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
Nein.
Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
>
> > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > wieder zerlegen.
> >
> > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
>
> Nein.
> Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> Gruß Abakus
>
>
Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund darf ich die Potenzregel [mm] (a^{r})^{s} [/mm] = [mm] a^{r*s} [/mm] in dem Fall nicht anwenden?
Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm] 2^{2^{n+1}}-1 [/mm] = [mm] (2^{2^n} +1)*(2^{2^n} [/mm] -1) ist.
Dann kann ich wahrscheinlich [mm] 2^{2^n} [/mm] auch nicht als [mm] 2^{2*n} [/mm] schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen sind oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> >
> > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > wieder zerlegen.
> > >
> > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> >
> > Nein.
> > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz
> [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > Gruß Abakus
> >
> >
> Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> nicht anwenden?
Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit [mm]2^{32}[/mm] und nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
>
> Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
>
> Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> sind oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > >
> > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > wieder zerlegen.
> > > >
> > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > >
> > > Nein.
> > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz
> > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > Gruß Abakus
> > >
> > >
> > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > nicht anwenden?
> Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit [mm]2^{32}[/mm] und
> nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> >
> > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> >
> > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > sind oder?
>
Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm] 2^{2^n} [/mm] -1 nochmal faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben wie [mm] 2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}
[/mm]
Was erreiche ich denn dadurch?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> > > >
> > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > wieder zerlegen.
> > > > >
> > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > >
> > > > Nein.
> > > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz
> > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > Gruß Abakus
> > > >
> > > >
> > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > nicht anwenden?
> > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit [mm]2^{32}[/mm] und
> > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > >
> > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > >
> > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > sind oder?
> >
> Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> Was erreiche ich denn dadurch?
Hallo,
0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm]. Ist das nichts?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
>
> > > > >
> > > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > > wieder zerlegen.
> > > > > >
> > > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > > >
> > > > > Nein.
> > > > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die Potenz
> > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > > Gruß Abakus
> > > > >
> > > > >
> > > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > > nicht anwenden?
> > > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit [mm]2^{32}[/mm]
> und
> > > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > > >
> > > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > > >
> > > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > > sind oder?
> > >
> > Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> > faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> > wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> > Was erreiche ich denn dadurch?
> Hallo,
> 0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
> Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm]. Ist das
> nichts?
>
Also hab ich da dann stehen:
[mm] 2^{2^{n+1}} [/mm] -1 = [mm] (2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-1}}-1)
[/mm]
Also wahrscheinlich ist das schon was, nur ich komme nicht drauf.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:48 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> >
> > > > > >
> > > > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > > > wieder zerlegen.
> > > > > > >
> > > > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Nein.
> > > > > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die
> Potenz
> > > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > > > Gruß Abakus
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > > > nicht anwenden?
> > > > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > > > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit [mm]2^{32}[/mm]
> > und
> > > > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > > > >
> > > > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > > > >
> > > > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > > > sind oder?
> > > >
> > > Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> > > faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> > > wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> > > Was erreiche ich denn dadurch?
> > Hallo,
> > 0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
> > Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm]. Ist das
> > nichts?
> >
>
> Also hab ich da dann stehen:
>
> [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-1}}-1)[/mm]
>
> Also wahrscheinlich ist das schon was, nur ich komme nicht
> drauf.
>
[mm]2^{2^{n-1}[/mm] ist auch eine Quadratzahl, also kannst du [mm]2^{2^{n-1}}-1[/mm] erneut faktorisieren.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
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> > >
> > > > > > >
> > > > > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > > > > wieder zerlegen.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Nein.
> > > > > > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm]. Die
> > Potenz
> > > > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > > > > Gruß Abakus
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > > > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > > > > nicht anwenden?
> > > > > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > > > > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit
> [mm]2^{32}[/mm]
> > > und
> > > > > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > > > > >
> > > > > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > > > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > > > > >
> > > > > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > > > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > > > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > > > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > > > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > > > > sind oder?
> > > > >
> > > > Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> > > > faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> > > > wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> > > > Was erreiche ich denn dadurch?
> > > Hallo,
> > > 0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
> > > Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm]. Ist das
> > > nichts?
> > >
> >
> > Also hab ich da dann stehen:
> >
> > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-1}}-1)[/mm]
>
> >
> > Also wahrscheinlich ist das schon was, nur ich komme nicht
> > drauf.
> >
> [mm]2^{2^{n-1}[/mm] ist auch eine Quadratzahl, also kannst du
> [mm]2^{2^{n-1}}-1[/mm] erneut faktorisieren.
>
Ist dann [mm] 2^{2^{n-1}} [/mm] = [mm] 2^{2^{0,5(n-1)}} *2^{2^{0,5(n-1)}} [/mm]
und [mm] 2^{2^{0,5(n-1)}} [/mm] = [mm] 2^{2^{0,25(n-1)}} *2^{2^{0,25(n-1)}} [/mm]
usw.?
Aber was bringt mir das letzendlich?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
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> > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > > > > > wieder zerlegen.
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Nein.
> > > > > > > > Dein Exponent heißt [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm].
> Die
> > > Potenz
> > > > > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > > > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > > > > > Gruß Abakus
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > > > > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > > > > > nicht anwenden?
> > > > > > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > > > > > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und somit
> > [mm]2^{32}[/mm]
> > > > und
> > > > > > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > > > > > >
> > > > > > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > > > > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > > > > > >
> > > > > > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > > > > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > > > > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > > > > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > > > > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > > > > > sind oder?
> > > > > >
> > > > > Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> > > > > faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> > > > > wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> > > > > Was erreiche ich denn dadurch?
> > > > Hallo,
> > > > 0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
> > > > Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm]. Ist
> das
> > > > nichts?
> > > >
> > >
> > > Also hab ich da dann stehen:
> > >
> > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-1}}-1)[/mm]
>
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> > > Also wahrscheinlich ist das schon was, nur ich komme nicht
> > > drauf.
> > >
> > [mm]2^{2^{n-1}[/mm] ist auch eine Quadratzahl, also kannst du
> > [mm]2^{2^{n-1}}-1[/mm] erneut faktorisieren.
> >
>
> Ist dann [mm]2^{2^{n-1}}[/mm] = [mm]2^{2^{0,5(n-1)}} *2^{2^{0,5(n-1)}}[/mm]
Nein,
du kommst von deiner Fehlinterpretation der Potenz einfach nicht runter.
Nehmen wir als Beispiel mal n=5.
Es ist [mm]2^{2^{5-1}}=2^{2^4}=2^{16}[/mm]
und das ist [mm]2^8*2^8[/mm], also [mm]2^{2^3}*2^{2^3}[/mm], also [mm]2^{2^{5-2}}*2^{2^{5-2}}[/mm]
Allgemein ist [mm]2^{2^{n-1}}=2^{2^{n-2}}*2^{2^{n-2}}[/mm]
Gruß Abakus
> und [mm]2^{2^{0,5(n-1)}}[/mm] = [mm]2^{2^{0,25(n-1)}} *2^{2^{0,25(n-1)}}[/mm]
> usw.?
>
> Aber was bringt mir das letzendlich?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:36 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Catman |
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> > >
> > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > Das ist falsch. Die richtige Zerlegung wäre
> > > > > > > > > > > [mm](2^{2^{n}}+1)(2^{2^{n}}-1)[/mm]. Der hintere Faktor lässt sich
> > > > > > > > > > > wieder zerlegen.
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Ist nicht [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] = [mm]2^{2*(n+1)}-1[/mm] = [mm]2^{2n+2}-1[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Nein.
> > > > > > > > > Dein Exponent heißt
> [mm]2^{n+1}=2*2^n[/mm].
> > Die
> > > > Potenz
> > > > > > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm]
> > > > > > > > > ist somit [mm]2^{2*2^{n}}=(2^{2^n})^2[/mm].
> > > > > > > > > Gruß Abakus
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > Ja das ist auch verständlich so. Aber aus welchem Grund
> > > > > > > > darf ich die Potenzregel [mm](a^{r})^{s}[/mm] = [mm]a^{r*s}[/mm] in dem Fall
> > > > > > > > nicht anwenden?
> > > > > > > Weil ein solcher Fall gar nicht vorliegt.
> > > > > > > Weil z.B. [mm]2^{2^5}[/mm] eben [mm]2^{(2^5)}[/mm] und
> somit
> > > [mm]2^{32}[/mm]
> > > > > und
> > > > > > > nicht [mm]2^{10}[/mm] ist.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Und dann habe ich ja da stehen, dass [mm]2^{2^{n+1}}-1[/mm] =
> > > > > > > > [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n}[/mm] -1) ist.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Dann kann ich wahrscheinlich [mm]2^{2^n}[/mm] auch nicht als [mm]2^{2*n}[/mm]
> > > > > > > > schreiben? Wie kann ich das denn dann nochmal
> > > > > > > > faktorisieren? Und in wie fern bringt mich das dann zu
> > > > > > > > einer Lösung? Also ich habe dann Faktoren da stehen, aber
> > > > > > > > ich weiß ja nicht, ob diese Faktoren dann auch Primzahlen
> > > > > > > > sind oder?
> > > > > > >
> > > > > > Aber dann wüsste ich nicht wie ich [mm]2^{2^n}[/mm] -1 nochmal
> > > > > > faktorisieren sollte, oder kann ich auch sowas schreiben
> > > > > > wie [mm]2^{2^n}=2^{0,5*2^n}*2^{0,5*2^n}[/mm]
> > > > > > Was erreiche ich denn dadurch?
> > > > > Hallo,
> > > > > 0,5 ist [mm]2^{-1}[/mm].
> > > > > Dein Exponent [mm]0.5*2^n[/mm] wird somit zu [mm]2^{n-1}[/mm].
> Ist
> > das
> > > > > nichts?
> > > > >
> > > >
> > > > Also hab ich da dann stehen:
> > > >
> > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-1}}-1)[/mm]
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> > > >
> > > > Also wahrscheinlich ist das schon was, nur ich komme nicht
> > > > drauf.
> > > >
> > > [mm]2^{2^{n-1}[/mm] ist auch eine Quadratzahl, also kannst du
> > > [mm]2^{2^{n-1}}-1[/mm] erneut faktorisieren.
> > >
> >
> > Ist dann [mm]2^{2^{n-1}}[/mm] = [mm]2^{2^{0,5(n-1)}} *2^{2^{0,5(n-1)}}[/mm]
> Nein,
> du kommst von deiner Fehlinterpretation der Potenz einfach
> nicht runter.
> Nehmen wir als Beispiel mal n=5.
> Es ist [mm]2^{2^{5-1}}=2^{2^4}=2^{16}[/mm]
> und das ist [mm]2^8*2^8[/mm], also [mm]2^{2^3}*2^{2^3}[/mm], also
> [mm]2^{2^{5-2}}*2^{2^{5-2}}[/mm]
> Allgemein ist [mm]2^{2^{n-1}}=2^{2^{n-2}}*2^{2^{n-2}}[/mm]
> Gruß Abakus
> > und [mm]2^{2^{0,5(n-1)}}[/mm] = [mm]2^{2^{0,25(n-1)}} *2^{2^{0,25(n-1)}}[/mm]
> > usw.?
> >
> > Aber was bringt mir das letzendlich?
>
Okay. Das ist echt noch sehr schwierig für mich. Aber vielen Dank, dass du dir soviel Zeit nimmst.
Also ist dann wiederum [mm] 2^{2^{n-2}} [/mm] also [mm] 2^{2^{n-3}} *2^{2^{n-3}} [/mm] zu schreiben?
Weil [mm] 2^{2^{5-2}} [/mm] = [mm] 2^{2^3}=2^8=2^{4}*2^4=2^{2^2} *2^{2^2}=2^{2^{5-3}}*2^{2^{5-3}} [/mm]
Ist das jetzt richtig?
Aber was bringt mir das dann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Sa 03.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Okay. Das ist echt noch sehr schwierig für mich. Aber
> vielen Dank, dass du dir soviel Zeit nimmst.
> Also ist dann wiederum [mm]2^{2^{n-2}}[/mm] also [mm]2^{2^{n-3}} *2^{2^{n-3}}[/mm]
> zu schreiben?
>
> Weil [mm]2^{2^{5-2}}[/mm] = [mm]2^{2^3}=2^8=2^{4}*2^4=2^{2^2} *2^{2^2}=2^{2^{5-3}}*2^{2^{5-3}}[/mm]
>
> Ist das jetzt richtig?
> Aber was bringt mir das dann?
Hallo,
mit jedem weiteren Schritt der Faktorenzerlegung bekommst du einen neuen Faktor hinzu.
Verliere nicht aus den Augen, dass du das Vorhandensein von möglichst vielen Primfaktoren zeigen sollst.
(Du musst nur beim Zählen beachten, dass der allerletzte Faktor [mm] $2^{2^0}-1$ [/mm] keinen Primfaktor enthält, weil das 1 ergibt.)
Gruß Abakus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 So 04.12.2011 | | Autor: | Catman |
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> > Okay. Das ist echt noch sehr schwierig für mich. Aber
> > vielen Dank, dass du dir soviel Zeit nimmst.
> > Also ist dann wiederum [mm]2^{2^{n-2}}[/mm] also [mm]2^{2^{n-3}} *2^{2^{n-3}}[/mm]
> > zu schreiben?
> >
> > Weil [mm]2^{2^{5-2}}[/mm] = [mm]2^{2^3}=2^8=2^{4}*2^4=2^{2^2} *2^{2^2}=2^{2^{5-3}}*2^{2^{5-3}}[/mm]
> >
> > Ist das jetzt richtig?
> > Aber was bringt mir das dann?
> Hallo,
> mit jedem weiteren Schritt der Faktorenzerlegung bekommst
> du einen neuen Faktor hinzu.
> Verliere nicht aus den Augen, dass du das Vorhandensein
> von möglichst vielen Primfaktoren zeigen sollst.
> (Du musst nur beim Zählen beachten, dass der allerletzte
> Faktor [mm]2^{2^0}-1[/mm] keinen Primfaktor enthält, weil das 1
> ergibt.)
> Gruß Abakus
>
Aber woher weiß ich denn dann, ob der Faktor ein Primfaktor ist, oder einfach nur ein Faktor?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 So 04.12.2011 | | Autor: | hippias |
Es genuegt die Primfaktoren der Faktoren zu betrachten.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 04.12.2011 | | Autor: | Catman |
Also ist folgendes jetzt korrekt?
[mm] 2^{2^{n+1}} [/mm] -1 = [mm] (2^{2^n} +1)*(2^{2^n} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-1}} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-2}} +1)...*(2^{2^{n-n}} +1)*(2^{2^{n-n}} [/mm] -1)
Das wären ja dann n+1 Faktoren. Nur ich hab jetzt doch noch nicht verstanden wie ich zeige, dass das Primfaktoren sind, bzw. ob das überhaupt Primfaktoren sind. Und muss ich da nicht auch noch irgendwie die Induktionsvoraussetzung mit einbeziehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Also ist folgendes jetzt korrekt?
>
> [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-1}} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-2}} +1)...*(2^{2^{n-n}} +1)*(2^{2^{n-n}}[/mm]
> -1)
>
> Das wären ja dann n+1 Faktoren. Nur ich hab jetzt doch
> noch nicht verstanden wie ich zeige, dass das Primfaktoren
> sind, bzw. ob das überhaupt Primfaktoren sind. Und muss
> ich da nicht auch noch irgendwie die
> Induktionsvoraussetzung mit einbeziehen?
Wie ich schon mal schrieb, ist der allerletzte Faktor 1 und somit kein Primfaktor. Den darft du nicht mit zählen.
Übrig bleiben n Faktoren, die größer als 1 sind. Wenn einige darunter keine Primzahlen wären - um so besser! Diese Faktoren könnte dann sogar in jeweils ein Produkt von mehreren Primfaktoren zerlegen.
Wichtig bleibt aber: jeder der n Faktoren bringt mindestens einen Primfaktor mit.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 04.12.2011 | | Autor: | Catman |
>
> > Also ist folgendes jetzt korrekt?
> >
> > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-1}} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-2}} +1)...*(2^{2^{n-n}} +1)*(2^{2^{n-n}}[/mm]
> > -1)
> >
> > Das wären ja dann n+1 Faktoren. Nur ich hab jetzt doch
> > noch nicht verstanden wie ich zeige, dass das Primfaktoren
> > sind, bzw. ob das überhaupt Primfaktoren sind. Und muss
> > ich da nicht auch noch irgendwie die
> > Induktionsvoraussetzung mit einbeziehen?
> Wie ich schon mal schrieb, ist der allerletzte Faktor 1
> und somit kein Primfaktor. Den darft du nicht mit zählen.
> Übrig bleiben n Faktoren, die größer als 1 sind. Wenn
> einige darunter keine Primzahlen wären - um so besser!
> Diese Faktoren könnte dann sogar in jeweils ein Produkt
> von mehreren Primfaktoren zerlegen.
> Wichtig bleibt aber: jeder der n Faktoren bringt
> mindestens einen Primfaktor mit.
>
>
Ist der Beweis also damit abgeschlossen? Woher weiß ich denn, dass jeder Faktor neue Primfaktoren mit bringt und nicht bereits vorhandene potenziert?
Und nochmal zu den Potenzregeln, da häng ich glaub ich immernoch.
Also warum ist [mm] (2^{2^{n-n}}+1)*(2^{2^{n-n}}-1)=1 [/mm]
Also muss ich nicht von oben nach unten rechnen und dann steht da quasi [mm] 2^{2^{0}}+1=2^1 [/mm] +1 = 3 ? Bzw. warum nicht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> >
> > > Also ist folgendes jetzt korrekt?
> > >
> > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-1}} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-2}} +1)...*(2^{2^{n-n}} +1)*(2^{2^{n-n}}[/mm]
> > > -1)
> > >
> > > Das wären ja dann n+1 Faktoren. Nur ich hab jetzt doch
> > > noch nicht verstanden wie ich zeige, dass das Primfaktoren
> > > sind, bzw. ob das überhaupt Primfaktoren sind. Und muss
> > > ich da nicht auch noch irgendwie die
> > > Induktionsvoraussetzung mit einbeziehen?
> > Wie ich schon mal schrieb, ist der allerletzte Faktor 1
> > und somit kein Primfaktor. Den darft du nicht mit zählen.
> > Übrig bleiben n Faktoren, die größer als 1 sind.
> Wenn
> > einige darunter keine Primzahlen wären - um so besser!
> > Diese Faktoren könnte dann sogar in jeweils ein Produkt
> > von mehreren Primfaktoren zerlegen.
> > Wichtig bleibt aber: jeder der n Faktoren bringt
> > mindestens einen Primfaktor mit.
> >
> >
>
> Ist der Beweis also damit abgeschlossen? Woher weiß ich
> denn, dass jeder Faktor neue Primfaktoren mit bringt und
> nicht bereits vorhandene potenziert?
> Und nochmal zu den Potenzregeln, da häng ich glaub ich
> immernoch.
> Also warum ist [mm](2^{2^{n-n}}+1)*(2^{2^{n-n}}-1)=1[/mm]
> Also muss ich nicht von oben nach unten rechnen und dann
> steht da quasi [mm]2^{2^{0}}+1=2^1[/mm] +1 = 3 ? Bzw. warum nicht?
Hallo,
was du hier aufschreibst, ist das Produkt der letzten zwei Faktoren.
Ich sprach nur vom letzten Faktor, und der ist 1.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 So 04.12.2011 | | Autor: | Catman |
>
> > >
> > > > Also ist folgendes jetzt korrekt?
> > > >
> > > > [mm]2^{2^{n+1}}[/mm] -1 = [mm](2^{2^n} +1)*(2^{2^n} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-1}} -1)=(2^{2^n} +1)*(2^{2^{n-1}} +1)*(2^{2^{n-2}} +1)...*(2^{2^{n-n}} +1)*(2^{2^{n-n}}[/mm]
> > > > -1)
> > > >
> > > > Das wären ja dann n+1 Faktoren. Nur ich hab jetzt doch
> > > > noch nicht verstanden wie ich zeige, dass das Primfaktoren
> > > > sind, bzw. ob das überhaupt Primfaktoren sind. Und muss
> > > > ich da nicht auch noch irgendwie die
> > > > Induktionsvoraussetzung mit einbeziehen?
> > > Wie ich schon mal schrieb, ist der allerletzte
> Faktor 1
> > > und somit kein Primfaktor. Den darft du nicht mit zählen.
> > > Übrig bleiben n Faktoren, die größer als 1 sind.
> > Wenn
> > > einige darunter keine Primzahlen wären - um so besser!
> > > Diese Faktoren könnte dann sogar in jeweils ein Produkt
> > > von mehreren Primfaktoren zerlegen.
> > > Wichtig bleibt aber: jeder der n Faktoren bringt
> > > mindestens einen Primfaktor mit.
> > >
> > >
> >
> > Ist der Beweis also damit abgeschlossen? Woher weiß ich
> > denn, dass jeder Faktor neue Primfaktoren mit bringt und
> > nicht bereits vorhandene potenziert?
> > Und nochmal zu den Potenzregeln, da häng ich glaub ich
> > immernoch.
> > Also warum ist [mm](2^{2^{n-n}}+1)*(2^{2^{n-n}}-1)=1[/mm]
> > Also muss ich nicht von oben nach unten rechnen und dann
> > steht da quasi [mm]2^{2^{0}}+1=2^1[/mm] +1 = 3 ? Bzw. warum nicht?
> Hallo,
> was du hier aufschreibst, ist das Produkt der letzten zwei
> Faktoren.
> Ich sprach nur vom letzten Faktor, und der ist 1.
>
Okay danke. Das ist verständlich. Aber wie schließe ich den Beweis damit ab?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
der thread ist so lang geworden, dass man nicht mehr durchsieht. Also schreib jetzt mal an einem Stück auf was du hast! Dann überlege, was du noch brauchst und frage gezielt.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Catman |
Also bisher hab ich folgendes:
Zu zeigen: [mm] 2^{2^{n}} [/mm] -1 [mm] (n\in [/mm] N) besitzt mind. n verschiedene Primzahlen bei Primfaktorzerlegung.
Induktionsanfang: n=1 -> 3 also wahr
Induktionsvoraussetzung: für ein bel. festes n [mm] \in [/mm] N gelte das (siehe oben)
Ind. Behauptung:
Dann ist zu zeigen, dass es auch für n+1 gilt
Ind. Schluss:
[mm] 2^{2^{n+1}}= (2^{2^{n}}+1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-2}}+1)...*(2^{2^{n-n}}+1)
[/mm]
Bzw.: [mm] \produkt_{k=o}^{n} (2^{2^{n-k}}+1) [/mm]
Und jetzt hab ich ja ganz viele Faktoren. Und jeder Faktor erhält ja mindestestens eine Primzahl wenn man ihn in Primzahle zerlegt. Nur ich weiß nicht wie ich zeige, dass es n verschiedene sind, weil es könnte ja auch sein, dass jeder Faktor dieselben Primzahlen in der zerlegung hat. Wie geh ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hippias |
> Also bisher hab ich folgendes:
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> Zu zeigen: [mm]2^{2^{n}}[/mm] -1 [mm](n\in[/mm] N) besitzt mind. n
> verschiedene Primzahlen bei Primfaktorzerlegung.
>
> Induktionsanfang: n=1 -> 3 also wahr
>
> Induktionsvoraussetzung: für ein bel. festes n [mm]\in[/mm] N gelte
> das (siehe oben)
>
> Ind. Behauptung:
>
> Dann ist zu zeigen, dass es auch für n+1 gilt
>
> Ind. Schluss:
>
> [mm]2^{2^{n+1}}= (2^{2^{n}}+1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-2}}+1)...*(2^{2^{n-n}}+1)[/mm]
>
> Bzw.: [mm]\produkt_{k=o}^{n} (2^{2^{n-k}}+1)[/mm]
>
> Und jetzt hab ich ja ganz viele Faktoren. Und jeder Faktor
> erhält ja mindestestens eine Primzahl wenn man ihn in
> Primzahle zerlegt. Nur ich weiß nicht wie ich zeige, dass
> es n verschiedene sind, weil es könnte ja auch sein, dass
> jeder Faktor dieselben Primzahlen in der zerlegung hat.
Das ist aber nicht der Fall: Ist z.B. $r>s>0$ und z.B. $p$ Primteiler von [mm] $2^{2^{s}}+1$, [/mm] d.h. [mm] $2^{2^{s}}=-1$ [/mm] mod $p$, so kann nicht auch [mm] $2^{2^{r}}=-1$ [/mm] mod $p$ sein.
> Wie
> geh ich jetzt weiter?
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 23:15 Mo 05.12.2011 | | Autor: | Catman |
> > Also bisher hab ich folgendes:
> >
> > Zu zeigen: [mm]2^{2^{n}}[/mm] -1 [mm](n\in[/mm] N) besitzt mind. n
> > verschiedene Primzahlen bei Primfaktorzerlegung.
> >
> > Induktionsanfang: n=1 -> 3 also wahr
> >
> > Induktionsvoraussetzung: für ein bel. festes n [mm]\in[/mm] N gelte
> > das (siehe oben)
> >
> > Ind. Behauptung:
> >
> > Dann ist zu zeigen, dass es auch für n+1 gilt
> >
> > Ind. Schluss:
> >
> > [mm]2^{2^{n+1}}= (2^{2^{n}}+1)*(2^{2^{n-1}}+1)*(2^{2^{n-2}}+1)...*(2^{2^{n-n}}+1)[/mm]
>
> >
> > Bzw.: [mm]\produkt_{k=o}^{n} (2^{2^{n-k}}+1)[/mm]
> >
> > Und jetzt hab ich ja ganz viele Faktoren. Und jeder Faktor
> > erhält ja mindestestens eine Primzahl wenn man ihn in
> > Primzahle zerlegt. Nur ich weiß nicht wie ich zeige, dass
> > es n verschiedene sind, weil es könnte ja auch sein, dass
> > jeder Faktor dieselben Primzahlen in der zerlegung hat.
> Das ist aber nicht der Fall: Ist z.B. [mm]r>s>0[/mm] und z.B. [mm]p[/mm]
> Primteiler von [mm]2^{2^{s}}+1[/mm], d.h. [mm]2^{2^{s}}=-1[/mm] mod [mm]p[/mm], so
> kann nicht auch [mm]2^{2^{r}}=-1[/mm] mod [mm]p[/mm] sein.
> > Wie
> > geh ich jetzt weiter?
>
Also ist der Beweis dann quasi mit deiner Aussage abgeschlossen oder?
Kannst du mir die Aussage mit dem "mod" nochmal genauer erläutern?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:35 Di 06.12.2011 | | Autor: | hippias |
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> Also ist der Beweis dann quasi mit deiner Aussage
> abgeschlossen oder?
Die Antwort lautet "Ja", wenn Du den Beweisschluss verstanden hast, sonst eher "Nein".
> Kannst du mir die Aussage mit dem "mod" nochmal genauer
> erläutern?
Mache Dir halt irgendwie klar, dass die Faktoren teilerfremd sind. Offen gesagt war ich mit meiner Begruendung nicht ganz zufrieden; es geht bestimmmt besser.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:34 Di 06.12.2011 | | Autor: | Catman |
Also ich verstehe nicht wirklich warum die Faktoren teilerfremd sein müssen.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:34 Di 06.12.2011 | | Autor: | Catman |
Also ich verstehe nicht wirklich warum die Faktoren teilerfremd sein müssen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Do 08.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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