Beweis: Inf / Sup < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Do 31.01.2008 | | Autor: | macdos |
| Aufgabe | Gegeben ist die unendliche Zahlenfolge [mm] <\bruch{5n+3}{4n-1}>.
[/mm]
Ermittle und beweise das Infimum dieser Folge. Genaue Begründung deiner Ergebnisse! |
Mein Ansatz:
Behauptung: INF [mm] <\bruch{5n+3}{4n-1}> [/mm] = [mm] \bruch{5}{4}
[/mm]
Jetzt habe ich aber ein Problem bei dem Beweis. Wie genau mache ich das?
Ich habe geschrieben: [mm] \bruch{5}{4}
Wie beweise ich, dass es keine größere untere Schranke gibt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
David
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:21 Do 31.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Ich habe geschrieben: [mm]\bruch{5}{4}
Richtig. =)
> Wie beweise ich, dass es keine größere untere Schranke
> gibt?
Der Grenzwert der Folge ist [mm] $\frac{5}{4}$ [/mm] (n ausklammern, kürzen), damit kommst Du beliebig nah an [mm] $\frac{5}{4}$ [/mm] ran.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Do 31.01.2008 | | Autor: | macdos |
Danke für die Antwort!
Was bedeutet n ausklammern?
Ich habe zu der Aufgabe noch eine Frage: Wie beweise ich, dass die Folge $ [mm] <\bruch{5n+3}{4n-1}> [/mm] $ streng monoton fallend ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 31.01.2008 | | Autor: | Blech |
> Danke für die Antwort!
> Was bedeutet n ausklammern?
Das, was es in der 5. auch schon bedeutet hat. =)
Multiplikativen Faktor vor die Summe ziehen:
$5n+3 = [mm] n*(5+\frac{3}{n})$
[/mm]
> Ich habe zu der Aufgabe noch eine Frage: Wie beweise ich,
> dass die Folge [mm]<\bruch{5n+3}{4n-1}>[/mm] streng monoton fallend
> ist?
Teil das n+1-te Glied durch das n-te und zeig, daß das, was rauskommt, kleiner 1 ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | macdos |
Danke für die Antwort! Das mit der Monotonie verstehe ich jetzt.
Aber was mache ich dann mit dem Ausdruck $5n+3 = [mm] n\cdot{}(5+\frac{3}{n}) [/mm] $?
Liebe Grüße
David
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Hey, also du klammerst im Zähler und im Nenner ein n aus:
[mm] \bruch{n(5+\frac{3}{n})}{n(4-\frac{1}{n})}
[/mm]
Dann kannst du das n kürzen:
[mm] \bruch{5+\frac{3}{n}}{4-\frac{1}{n}}
[/mm]
Wenn du jetzt den Limes bildest und die Grenzwertsätze anwendest, überlege die welche Teile gegen 0 gehen und was dann noch übrig bleibt!
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Fr 01.02.2008 | | Autor: | macdos |
Wie bildet man davon den Limes? Was hat es mit den Grenzwertsätzen auf sich?
Kann man das auch anders beweisen?
Danke schonmal!
Lg David
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Hallo David!
Gegen welchen Wert strebt denn [mm] $\bruch{1}{x}$, [/mm] wenn man sehr große $x_$ einsetzt? Das nennt man dann eine Grenzwertbetrachtung (Limes = Grenzwert) für [mm] $x\rightarrow\infty$ [/mm] durchführen.
Die  Grenzwertsätze geben dann Rechenregeln für den Umgang mit verschiedenen Grenzwerten an.
Gruß vom
Roadrunner
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> Gegeben ist die unendliche Zahlenfolge
> [mm]<\bruch{5n+3}{4n-1}>.[/mm]
> Ermittle und beweise das Infimum dieser Folge. Genaue
> Begründung deiner Ergebnisse!
> Mein Ansatz:
> Behauptung: INF [mm]<\bruch{5n+3}{4n-1}>[/mm] = [mm]\bruch{5}{4}[/mm]
> Jetzt habe ich aber ein Problem bei dem Beweis. Wie genau
> mache ich das?
> Ich habe geschrieben: [mm]\bruch{5}{4}
> Wie beweise ich, dass es keine größere untere Schranke
> gibt?
Eine Polynomdivision zeigt, dass [mm] $\frac{5n+3}{4n-1}=\frac{5}{4}+\frac{17}{4(4n-1)}$. [/mm] Dabei ist [mm] $\frac{17}{4(4n-1)}$ [/mm] offensichtlich streng monoton gegen $0$ fallend. Also fällt die Folge streng monoton gegen [mm] $\frac{5}{4}$. [/mm] Dies ist natürlich auch das Infimum.
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