Beweis: Invertierbarkeit < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 16.10.2008 | | Autor: | noctua |
| Aufgabe | | Weisen Sie nach, dass eine Funktion genau dann invertierbar ist, wenn sie bijektiv ist. |
Hallo,
ich bin noch Einsteiger in dieser Materie und komme nicht wirklich weiter. Hier mein Ansatz bisher:
g [mm] \circ [/mm] f = [mm] id_{m} \gdw (\forall [/mm] xy [mm] \in [/mm] M(f(x) = f(y) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y) [mm] \wedge (\forall [/mm] y [mm] \in [/mm] N [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M(y=f(x))
dann habe ich die linke Seite noch umgeformt...
f(g(x) = x [mm] \gdw [/mm] ...
Irgendwie sehr frustrierend, hat jemand einen Tipp, wie ich auf den nächsten Schritt kommen könnte?
Danke schonmal und viele Grüße,
noctua
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:39 Do 16.10.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo noctua,
als erstes und in diesem Fall wichtigstes: Eine Funktion hat einen Definitions- und einen Wertebereich, also, sei f:M [mm] \to [/mm] N.
Als zweites: eine Äquivalenz ( [mm] \gdw [/mm] ) zeigt man, indem man erst die eine, dann die andere Richtung zeigt, also
[mm] "\Rightarrow"
[/mm]
Sei f invertierbar, d.h. es ex. eine Umkehrfunktion g:N [mm] \to [/mm] M mit g(f(x))=x für alle x [mm] \in [/mm] M und f(g(y))=y für alle y [mm] \in [/mm] N.
Um die Injektivität von f zu zeigen, seien [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} \in [/mm] M mit [mm] f(x_{1}) [/mm] = [mm] f(x_{2}). [/mm] Wende auf beiden Seiten der Gleichung g an, dann folgt [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}.
[/mm]
Um die Surjektivität von f zu zeigen, sei y [mm] \in [/mm] N. Dann ist x = g(y) [mm] \in [/mm] M und f(x) = y.
[mm] "\Leftarrow"
[/mm]
Versuchs erst mal mal selbst!
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:10 Fr 17.10.2008 | | Autor: | noctua |
Hallo Uli,
vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
Also den Beweis zur Injektivität konnte ich nachvollziehen, allerdings verstehe ich bei der Surjektivität nicht, wo genau der Beweis liegt.
Um das [mm] "\Leftarrow" [/mm] zu beweisen hätte ich jetzt einfach die rechte Seite negiert (f(x1) [mm] \not= [/mm] f(x2)) und dann ja gleich den Widerspruch x1\ not= x2 herausbekommen. Darf man das?
Gruß,
noctua
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> Hallo Uli,
>
> vielen Dank erstmal für deine Hilfe!
> Also den Beweis zur Injektivität konnte ich nachvollziehen,
> allerdings verstehe ich bei der Surjektivität nicht, wo
> genau der Beweis liegt.
Hallo,
nach Voraussetzung ist ja [mm] f:M\to [/mm] N invertierbar.
Das bedeutet: es gibt eine Funktion g: N [mm] \to [/mm] M
mit folgenden Eigenschaften
[mm] f\circ [/mm] g= [mm] id_N
[/mm]
und
g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_M
[/mm]
Für die Surjektivität von f willst Du ja zeigen, daß es zu jedem y [mm] \in [/mm] N ein x [mm] \in [/mm] M gibt mit f(x)=y. Das ist das Ziel.
Nun nehmen wir ein y [mm] \in [/mm] N her.
Da g eine Abbildung in die Menge M ist, liegt g(y) in M.
Also gibt es ein [mm] x\in [/mm] M mit x=g(y).
Nun bringen wir f ins Spiel. Es folgt f(x)=f(g(y)).
Nach Voraussetzung ist g die Umkehrfunktion von f. Also erhältst Du für die rechte Seite ???
> Um das [mm]"\Leftarrow"[/mm] zu beweisen hätte ich jetzt einfach die
> rechte Seite negiert (f(x1) [mm]\not=[/mm] f(x2)) und dann ja gleich
> den Widerspruch x1\ not= x2 herausbekommen. Darf man das?
Bevor man irgendwas tut, sollte man sich erstmal notieren, was man zeigen möchte.
Zu zeigen ist für die Rückrichtung:
f:M [mm] \to [/mm] N bijektiv ==> f invertierbar.
Anders ausgedrückt:
Wenn f:M [mm] \to [/mm] N injektiv und surjektiv ist (das ist die Voraussetzung),
so gibt es eine Funktion [mm] g:N\to [/mm] M mit
[mm] f\circ [/mm] g= [mm] id_N
[/mm]
und
g [mm] \circ [/mm] f= [mm] id_M
[/mm]
Diese Funktion g mußt Du finden (also sinnvoll definieren), und dann vorrechnen, daß sie alles tut, was von ihr verlangt wird.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 17.10.2008 | | Autor: | noctua |
> Nach Voraussetzung ist g die Umkehrfunktion von f. Also
> erhältst Du für die rechte Seite ???
>
>
Hallo,
dann erhalte ich f(x) = y und habe somit die Surjektivität bewiesen! Vielen Dank, soweit wäre ich selbst leider nie gekommen.
Im Nachhinein kann ich es aber nachvollziehen, nur muss man zuerst auf die Idee kommen.
> Bevor man irgendwas tut, sollte man sich erstmal notieren,
> was man zeigen möchte.
>
> Zu zeigen ist für die Rückrichtung:
>
> f:M [mm]\to[/mm] N bijektiv ==> f invertierbar.
>
> Anders ausgedrückt:
>
> Wenn f:M [mm]\to[/mm] N injektiv und surjektiv ist (das ist die
> Voraussetzung),
> so gibt es eine Funktion [mm]g:N\to[/mm] M mit
> [mm]f\circ[/mm] g= [mm]id_N[/mm]
> und
> g [mm]\circ[/mm] f= [mm]id_M[/mm]
>
> Diese Funktion g mußt Du finden (also sinnvoll definieren),
> und dann vorrechnen, daß sie alles tut, was von ihr
> verlangt wird.
Hm, ich komme da aber wieder auf das gleiche, also g(f(x)) = x. Und dann damit die Bedingung (invertierbar) verrechnen? Das wäre ja dann das gleiche wie der 1. Teil.
Entschuldigung, dass ich mich so anstelle aber das ist alles wahnsinnig abstrakt, habe zuvor noch nie etwas bewiesen und wir haben auch in der VL keinen Beweis durchgeführt, daher ist mir die Herangehensweise nicht so wirklich klar.
Deshalb nochmal vielen Dank und Gruß,
noctua
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> dann erhalte ich f(x) = y und habe somit die Surjektivität
> bewiesen! Vielen Dank, soweit wäre ich selbst leider nie
> gekommen.
> Im Nachhinein kann ich es aber nachvollziehen, nur muss
> man zuerst auf die Idee kommen.
Hallo,
klar. Das ist ein bißchen Übungssache. Je mehr solcher Aufgabn man löst, desto besser geht's. Man muß sich erstmal daran gewöhnen.
>
> > Bevor man irgendwas tut, sollte man sich erstmal notieren,
> > was man zeigen möchte.
> >
> > Zu zeigen ist für die Rückrichtung:
> >
> > f:M [mm]\to[/mm] N bijektiv ==> f invertierbar.
> >
> > Anders ausgedrückt:
> >
> > Wenn f:M [mm]\to[/mm] N injektiv und surjektiv ist (das ist die
> > Voraussetzung),
> > so gibt es eine Funktion [mm]g:N\to[/mm] M mit
> > [mm]f\circ[/mm] g= [mm]id_N[/mm]
> > und
> > g [mm]\circ[/mm] f= [mm]id_M[/mm]
> >
> > Diese Funktion g mußt Du finden (also sinnvoll definieren),
> > und dann vorrechnen, daß sie alles tut, was von ihr
> > verlangt wird.
>
> Hm, ich komme da aber wieder auf das gleiche, also g(f(x)) = x.
Du brauchst erstmal die Funktion g. Die gibt's ja noch gar nicht bisher.
Du mußt sie erst definieren:
Sei g: N [mm] \to [/mm] M definiert durch ???
Tja, wie kann man die definieren, so daß sie tut, was sie soll?
So:
g(y):=x mit f(x)=y für alle y [mm] \in [/mm] N.
Bevor man nun irgendetwas rechnet, muß man sich erstmal überzeugen, ob diese Definition sinnvoll ist. (Wohldefiniertheit.)
Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf diese Weise eins aus M zugewiesen wird?
Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf diese Weise nur eins aus M zugewiesen wird?
(Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, so ist g nämlich keine Funktion!)
Danch kannst Du dann vorrechnen, daß g das Inverse von f ist.
Gruß v. Angela
>
> Entschuldigung, dass ich mich so anstelle aber das ist
> alles wahnsinnig abstrakt, habe zuvor noch nie etwas
> bewiesen und wir haben auch in der VL keinen Beweis
> durchgeführt, daher ist mir die Herangehensweise nicht so
> wirklich klar.
>
> Deshalb nochmal vielen Dank und Gruß,
> noctua
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Sa 18.10.2008 | | Autor: | noctua |
Hallo nochmal,
hoffentlich nun meine letzte Frage, ich hoffe, ich nerve nicht. Bis hierher nochmal vielen Dank, ich habe auf jeden Fall schon viel Grundsätzliches über die Herangehensweise an Beweise gelernt!
> g(y):=x mit f(x)=y für alle y [mm]\in[/mm] N.
>
> Bevor man nun irgendetwas rechnet, muß man sich erstmal
> überzeugen, ob diese Definition sinnvoll ist.
> (Wohldefiniertheit.)
>
> Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf diese
> Weise eins aus M zugewiesen wird?
> Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf diese
> Weise nur eins aus M zugewiesen wird?
>
> (Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, so ist
> g nämlich keine Funktion!)
>
> Danch kannst Du dann vorrechnen, daß g das Inverse von f
> ist.
>
Hier muss ich doch nun einfach f(g(y)) = f(x) = y und g(f(x)) = g(y) = x hinschreiben und somit wäre das bewiesen oder?
Was ich noch nicht verstehe: ich habe ja als Voraussetzung angenommen, dass f(x) invertierbar ist. Muss ich das jetzt noch irgendwie implementieren oder geht das aus der Funktion g(y) automatisch hervor?
Gruß,
noctua
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> Hallo nochmal,
> hoffentlich nun meine letzte Frage, ich hoffe, ich nerve
> nicht.
Hallo,
jeder der mitdenkt , sich ernsthaft bemüht und eigene Anstrengungen erkennen läßt, nervt hier nicht!
Zum Fragen ist das Forum ja da.
> Bis hierher nochmal vielen Dank, ich habe auf jeden
> Fall schon viel Grundsätzliches über die Herangehensweise
> an Beweise gelernt!
>
> > g(y):=x mit f(x)=y für alle y [mm]\in[/mm] N.
> >
> > Bevor man nun irgendetwas rechnet, muß man sich erstmal
> > überzeugen, ob diese Definition sinnvoll ist.
> > (Wohldefiniertheit.)
> >
> > Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf diese
> > Weise eins aus M zugewiesen wird?
> > Ist garantiert, daß wirklich jeden Element aus N auf
> diese
> > Weise nur eins aus M zugewiesen wird?
> >
> > (Wenn eine der beiden Bedingungen nicht erfüllt ist, so ist
> > g nämlich keine Funktion!)
> >
> > Danch kannst Du dann vorrechnen, daß g das Inverse von f
> > ist.
> >
>
> Hier muss ich doch nun einfach f(g(y)) = f(x) = y und
> g(f(x)) = g(y) = x hinschreiben und somit wäre das bewiesen
> oder?
Ja.
>
> Was ich noch nicht verstehe: ich habe ja als Voraussetzung
> angenommen, dass f(x) invertierbar ist.
Nein. Wir beweisen gerade, daß aus der Bijektivität von f die Invertierbarkeit folgt.
Wenn die Existenz der Funktion g gesichert ist, ist die Invertierbarkeit von f gezeigt.
("Es gibt eine Funktion g mit diesen Eigenschaften, was bedeutet, daß f invertierbar ist.")
Die Frage ist nun, an welcher Stelle die vorausgesetzte Bijektivität ins Spiel kommt, denn Voraussetzungen, die man dann gar nicht benötigt, sind stets äußerst verdächtig! (Meist hat man dann was falsch gemacht...)
Man benötigt die Bijektivität von f beim Nachweis davon, daß die Funktion g wohldefiniert (s.o.) ist, daß also wirklich jedem (!) Argument genau ein (!) Funktionswert zugeordnet wird.
(Wenn ich eine nichtbijektive Funktion f habe und g so definiere, wie wir es getan aben, klappt das nämlich gar nicht gut.)
Gruß v. Angela
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