Beweis Körperaxiome < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Di 12.11.2013 | | Autor: | tbone246 |
| Aufgabe | Man betrachte reelle Zahlen der Form [mm] a+b\wurzel{2} [/mm] mit a,b rational.
1. Zeigen Sie, dass diese Menge einen Körper K bildet.
2. Zeigen Sie, dass durch [mm] P_{+}:= [/mm] { a+b [mm] \wurzel{2}: a+b\wurzel{2} [/mm] > 0 } und [mm] P_{-} [/mm] := [mm] {a+b\wurzel{2}: a-b\wurzel{2}>0} [/mm] zwei verschiedene Anordnungen auf K existieren |
hi zusammen,
also ich versuche irgendwie die Definition für einen Körper:
+: K x K --> K
*: K x K --> K
bzw. die die einzelnen Körperaxiome:
K1: Assoziativgesetz (x+y)+z = x+(y+z) bzw. (x * y) * z = x * (y * z)
K2: Kommutativgesetz x + y = y + x bzw. x * y = y * x
K3: x + 0 = x bzw. x*1=x
K4: Existenz inverser Elemente: Für jedes x [mm] \in [/mm] K existiert ein [mm] x_{1} \in [/mm] K mit x + [mm] x_{1} [/mm] = 0.
Für jedes x [mm] \in [/mm] K [mm] \setminus [/mm] {0} mit x * [mm] x_{2} [/mm] = 1
K5: Distributivgesetz: (x+y)*z = x*z + y*z.
mit meiner oben gegebenen Aufgabe zusammen zu bringen.
d.h.:
[mm] \IR:= [/mm] { [mm] a+b\wurzel{2}| [/mm] a,b [mm] \in \IQ [/mm] }
zu K1:
( a+ [mm] b\wurzel{2})+z [/mm] = a+ [mm] (b\wurzel{2}+z) [/mm]
zu K2 analog
zu K3:
( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] + 0 = 0
bzw.
( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] * 1 = ( a+ [mm] b\wurzel{2})
[/mm]
zu K4:
-(( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] + ( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] = 0
= (-a- [mm] b\wurzel{2} [/mm] + ( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] = 0
bzw.
( a+ [mm] b\wurzel{2}) [/mm] * [mm] \bruch{1}{a+ b\wurzel{2}} [/mm] = 1
Das sind meine bisherigen Ideen es so einzusetzen.
Das würde ich dann versuchen auf einen Körperaxiom-Beweis zu übertragen.
Vielleicht kennt zufällig jemand einen, bzw. kann mir Tipps geben, wie ich es übertragen kann.
Vielen Dank schonmal =)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:57 Di 12.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man betrachte reelle Zahlen der Form [mm]a+b\wurzel{2}[/mm] mit a,b
> rational.
> 1. Zeigen Sie, dass diese Menge einen Körper K bildet.
> 2. Zeigen Sie, dass durch [mm]P_{+}:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ a+b [mm]\wurzel{2}: a+b\wurzel{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > 0 } und [mm]P_{-}[/mm] := [mm]{a+b\wurzel{2}: a-b\wurzel{2}>0}[/mm] zwei
> verschiedene Anordnungen auf K existieren
> hi zusammen,
>
> also ich versuche irgendwie die Definition für einen
> Körper:
>
> +: K x K --> K
> *: K x K --> K
>
> bzw. die die einzelnen Körperaxiome:
> K1: Assoziativgesetz (x+y)+z = x+(y+z) bzw. (x * y) * z =
> x * (y * z)
> K2: Kommutativgesetz x + y = y + x bzw. x * y = y * x
> K3: x + 0 = x bzw. x*1=x
> K4: Existenz inverser Elemente: Für jedes x [mm]\in[/mm] K
> existiert ein [mm]x_{1} \in[/mm] K mit x + [mm]x_{1}[/mm] = 0.
> Für jedes x [mm]\in[/mm] K [mm]\setminus[/mm] {0} mit x * [mm]x_{2}[/mm] = 1
> K5: Distributivgesetz: (x+y)*z = x*z + y*z.
>
> mit meiner oben gegebenen Aufgabe zusammen zu bringen.
>
> d.h.:
>
> [mm]\IR:=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]a+b\wurzel{2}|[/mm] a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> zu K1:
>
> ( a+ [mm]b\wurzel{2})+z[/mm] = a+ [mm](b\wurzel{2}+z)[/mm]
vorweg: Es sei [mm] $U:=\{a+b\sqrt{2}:\;\;a,b \in \IQ\}$ [/mm] versehen mit
$+_{U} [mm] \colon [/mm] U [mm] \times [/mm] U [mm] \to [/mm] U$ mit $+_{U}:=+_{|U [mm] \times U\,,}$ [/mm] wenn
$+ [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] die übliche Addition in [mm] $\IR$ [/mm] ist. Wir schreiben
dann auch wieder [mm] $+\,$ [/mm] anstatt [mm] $+_{U}\,,$ [/mm] wenn aus dem Zshg. klar ist, welche
Addition gemeint ist. Analoges für [mm] $\cdot_{U}:=\cdot_{|U \times U\,.}$
[/mm]
Zu zeigen ist also, dass
[mm] $(U,+_{U},\cdot_{U})$
[/mm]
ein Körper ist - und wir schreiben den dann auch (eigentlich nicht ganz korrekt
einfach als [mm] $(U,+,\cdot)$. [/mm]
(Übrigens habe ich bei der Definition von $+_{U}$ schon etwas geschrieben, was
eines Beweises bedarf:
Ich habe
$+_{U} [mm] \colon [/mm] U [mm] \times [/mm] U [mm] \red{\;\to\; U}$
[/mm]
behauptet - es ist also zu beweisen:
$x,y [mm] \in [/mm] U$ liefert auch für $x [mm] \;+_{U}\;y$ [/mm] (was auch [mm] $=x+y\,$ [/mm] ist - aber hier ist
so nur $(x+y) [mm] \in \IR$ [/mm] klar!), dass $(x [mm] \;+_{U}\;y) \in U\,.$
[/mm]
Analoges für [mm] $\cdot_{U}\,.$)
[/mm]
Bei K1 hast Du zu zeigen:
Für $x,y,z [mm] \in [/mm] U$ gilt
$(x [mm] \;\;+_{U}\;\; [/mm] y) [mm] \;\;+_U\;\; [/mm] z=x [mm] \;\;+_U\;\;(y \;\;+_U\;\; z)\,.$
[/mm]
Das geht schnell, weil $+_U=+_{|U [mm] \times [/mm] U}$ und $U [mm] \subseteq \IR$ [/mm] ist, denn
das folgt dann damit sofort wegen
[mm] $(x+y)+z=x+(y+z)\,,$
[/mm]
was in [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] gilt, also für alle $x,y,z [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Natürlich kannst Du auch spezieller
werden und sagen:
Sei
[mm] $x=a_1+b_1\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $a_1,b_1 \in \IQ\,,$ [/mm]
[mm] $y=a_2+b_2\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $a_2,b_2 \in \IQ\,,$ [/mm]
[mm] $z=a_3+b_3\sqrt{2}$ [/mm] mit [mm] $a_3,b_3 \in \IQ\,,$ [/mm]
und dann mit Rechenregeln in [mm] $\IR$ [/mm] und oder [mm] $\IQ$ [/mm] argumentieren, aber das
ist eigentlich viel zu umständlich.
> zu K2 analog
Analog zu der Korrektur bzgl. K1
> zu K3:
>
> ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] + 0 = 0
Warum gilt denn $0 [mm] \in [/mm] U$? (Nebenbei: Warum kommt gar kein anderes Element
[mm] $u_0 \in U\,$ [/mm] hier in Frage, wenn [mm] $x+u_0=x\,$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] U$ gelten soll?)
> bzw.
>
> ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] * 1 = ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm]
Analog zu K3, 1. Teil:
Wieso ist überhaupt $1 [mm] \in [/mm] U$?
> zu K4:
>
> -(( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] + ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] = 0
>
> = (-a- [mm]b\wurzel{2}[/mm] + ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] = 0
Na, wenn $u [mm] \in [/mm] U$ (beliebig, aber fest) ist, suchst Du [mm] $\tilde{u} \blue{\in U}$ [/mm] mit
[mm] $\tilde{u}\;\;+_U\;\; [/mm] u=0$ (wenn Du nachgewiesen hast, dass [mm] $0_{\IR}$ [/mm] auch die [mm] $0=0_U$ [/mm] aus [mm] $U\,$ [/mm] ist).
Das ist ja alles okay:
Wenn es so ein [mm] $\tilde{u} \in [/mm] U$ gibt, dann gibt es [mm] $\tilde{a}, \tilde{b} \in \IQ$ [/mm] mit
[mm] $\tilde{u}=\tilde{a}+\tilde{b}\sqrt{2}$
[/mm]
so, dass für [mm] $u=a+b\sqrt{2}$ [/mm] - mit geeigneten $a,b [mm] \in \IQ$ [/mm] - dann folgt
[mm] $(\tilde{a}+\tilde{b}\sqrt{2}) [/mm] +_U [mm] (a+b\sqrt{2})=0_U\,.$
[/mm]
Mit Deiner Rechnung:
Was kommt für [mm] $\tilde{a}, \tilde{b}$ [/mm] dann nur in Frage und wieso ist damit dann
auch [mm] $\tilde{a}+\tilde{b}\sqrt{2} \in [/mm] U$ und wieso ist das dann das zu $u [mm] \in [/mm] U$
additiv inverse Element?
> bzw.
>
> ( a+ [mm]b\wurzel{2})[/mm] * [mm]\bruch{1}{a+ b\wurzel{2}}[/mm] = 1
Ne. Aber wenn Du das Vorangegangene verstanden hast, sollte Dir der Ansatz
[mm] $(\underline{a}+\underline{b}\sqrt{2})\;\;\cdot_U\;\;(a+b\sqrt{2})=1$ ($=1_U$)
[/mm]
zusagen. Alternativ kann man hier auch so vorgehen::
Bringe
[mm] $\frac{1}{a+b\sqrt{2}}$ [/mm] (für [mm] $a\in \IQ \setminus \{0\}$ [/mm] oder $b [mm] \in \IQ \setminus \{0\}\,,$ [/mm] was übrigens beim ersten Ansatz oben auch gelten sollte!)
in eine Form
[mm] $\underline{a}+\underline{b}\sqrt{2}\,,$
[/mm]
und hoffe, dass Du dabei [mm] $\underline{a}, \underline{b} \in \IQ$ [/mm] "ablesen" kannst.
Mach' Dir aber mal klar, warum das überhaupt so geht...
> Das sind meine bisherigen Ideen es so einzusetzen.
>
> Das würde ich dann versuchen auf einen Körperaxiom-Beweis
> zu übertragen.
Verstehe ich nicht - Du sollst ja einfach nachrechnen, dass dieses
Gebilde
[mm] $(U,+_U,\cdot_U)$
[/mm]
die Körperaxiome erfüllt (mit dem Wissen, dass Du bzgl. [mm] $(\IR,+,\cdot)$ [/mm] hast!
D.h.: Vorausgesetzt wird, dass Dir klar ist, was Du in
[mm] $(\IR,+,\cdot)$
[/mm]
"alles bzgl. der Körperaxiome" machen darfst...)
P.S. Du kannst auch [mm] $\oplus$ [/mm] anstatt $+_U$ bzw. [mm] $\odot$ [/mm] anstatt $*_U$ schreiben,
dann wird das Ganze vielleicht "leserlicher"!
Damit würdest Du dann schreiben:
[mm] $\oplus:=+_{|U \times U}$
[/mm]
ist die Einschränkung der üblichen Addition
$+ [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR$
[/mm]
in [mm] $\IR$ [/mm] auf $U [mm] \times U\,.$ [/mm]
(Beachte: $+ [mm] \colon \IR \times \IR \to \IR$ [/mm] ist ja eine Abbildung, und dann würde man
eigentlich für den Funktionswert an der Stelle $(x,y) [mm] \in \IR \times \IR$ [/mm] schreiben:
[mm] $+((x,y))\,.$ [/mm] Doppelte Klammernpaare sind lästig, deswegen definiert man dann
schonmal direkt:
[mm] $+(x,y):=+((x,y))\,.$
[/mm]
Und es hat sich dann zudem bewährt:
$x+y:=+(x,y)$ $(=+((x,y)))$
zu schreiben... und diese Notation kennt man ja sogar noch aus der
Grundschule...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Do 14.11.2013 | | Autor: | tbone246 |
Hi ich danke vielmals für die super aufwändige und ausführliche Antwort.
Hatte dann damit auch noch noch bisschen Hilfestellung vom Tutor bekommen und konnte es lösen.
Danke nochmal.
Hoffe, ich kann dem nächsten, dem es ähnlich geht auch mal helfen.
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