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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
| Aufgabe | | Beweisen Sie Im(z) [mm] \le [/mm] |z| |
Hallo!
Hat jemand einen Idee wie man diesen Beweis durchführt?
Danke schonmal für jeden Tipp!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:23 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bodo!
Schreibe hier: $z \ := \ a+b*i$ .
Dann ist der Imaginärteil ja $Im(z) \ = \ Im(a+b*i) \ = \ b$ .
Und für den Betrag wendest Du die entsprechende Definition an: $|z| \ = \ |a+b*i| \ := \ [mm] \wiurzel{a^2+b^2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Hi,
also ich hab die Aufgabe natürlich schonmal selbst gerechnet...
Ich habe das wie folgt gemacht... Kann aber sein, dass das völlig falsch ist, desewegen poste ich
das ersteinmal und können dann die Fehler ausmachen...
Im(z) [mm] \le [/mm] |z|
Im(z) = [mm] \bruch{-i}{2}* (z-\overline{z})
[/mm]
Im(z) = [mm] \bruch{-i}{2} [/mm] * (x+iy - (x-iy)) [mm] \gdw \bruch{-i}{2} [/mm] (x+iy - x+iy) [mm] \gdw \bruch{-i}{2}(2iy) \le [/mm] |x+iy| = |z|
Bitte um evtl. Korrektur bzw. Hinweise
Danke..
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Hallo Bodo,
> Im(z) [mm]\le[/mm] |z|
>
> Im(z) = [mm]\bruch{-i}{2}* (z-\overline{z})[/mm]
>
> Im(z) = [mm]\bruch{-i}{2}[/mm] * (x+iy - (x-iy)) [mm]\gdw \bruch{-i}{2}[/mm]
> (x+iy - x+iy) [mm]\gdw \bruch{-i}{2}(2iy) \le[/mm] |x+iy| = |z|
Also zuerst mal ist das ne Kette von Termumformungen, also mache keine Äquivalenzpfeile!!
Zum anderen kann ich nicht erkennen, was du gezeigt hast ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
M.E. hast du nur langwierig Im(z) als y geschrieben, was ja eh klar ist mit z=x+iy
Und die Kleiner/Gleich Relation im vorletzten Schritt ist doch genau das, was zu zeigen ist, also ích denke, dein Beweis funktioniert so nicht
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
also ich steig da nicht so ganz hinter...
habe hier mal versucht, was auf die Beine zu stellen.
Im(z) [mm] \le [/mm] |z| = Im(x+iy)=y [mm] \le [/mm] x+y [mm] \le |x|^2 [/mm] + [mm] |y|^2 \le |x+y|^2 [/mm] = |z|
kann man den Teil so erschließen?
Viel kanns im Prinzip nicht sein, ist gewiss ein Einzeiler...
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Hallo Bodo,
der Schritt [mm] $y\le [/mm] x+y$ klappt nicht.
Was ist mit $z=-1+i$ ?
Da ist [mm] $Im(z)=1\not\le [/mm] -1+1=0$
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Fr 11.05.2007 | | Autor: | Bodo0686 |
Genau, da wo du gesagt hast, dass der Schritt von y [mm] \le [/mm] x+y nicht klappt, war auch mein Bedenken...
Ist denn der hintere Schritt, so in Ordnung?
Allerdings, bin ich bisher noch nicht schlau daraus geworden, wie man nun auf den richtigen Schritt kommt.
Aber ist es nicht erlaubt, einfach zu sagen das y [mm] \le [/mm] x+y ist? Ist doch eigentlich eine wahre Aussage...
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> Aber ist es nicht erlaubt, einfach zu sagen das y [mm]\le[/mm] x+y
> ist? Ist doch eigentlich eine wahre Aussage...
Aber nicht, wenn x < 0 ist.
LG
Karsten
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Hallo Bodo!
Versuchen wir's mal so: Sei [mm] z\in\IC [/mm] mit z=a+ib, [mm] a,b\in\IR. [/mm] Dann ist
Im(z) = b [mm] \le a^2+b^2 [/mm] = (a+ib)(a-ib) = [mm] z\overline{z} [/mm] =|z|
Es ist ja b [mm] \le b^2 \le a^2+b^2.
[/mm]
Hope that helps!
Karsten
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:18 Fr 11.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Karsten,
> Versuchen wir's mal so: Sei [mm]z\in\IC[/mm] mit z=a+ib, [mm]a,b\in\IR.[/mm]
> Dann ist
>
> Im(z) = b [mm]\le a^2+b^2[/mm] = (a+ib)(a-ib) = [mm]z\overline{z}[/mm] =|z|
>
> Es ist ja b [mm]\le b^2 \le a^2+b^2.[/mm]
das stimmt so leider nicht ganz: etwa fuer $b = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] ist $b > [mm] b^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{4}$!
[/mm]
Und weiterhin ist $z [mm] \overline{z} [/mm] = [mm] |z|^2$ [/mm] und nicht $= |z|$.
Die Vorgehensweise passt aber schon, wenn man links mit Quadrieren anfaengt: [mm] $Im(z)^2 [/mm] = [mm] b^2 \le a^2 [/mm] + [mm] b^2 [/mm] = [mm] |z|^2$; [/mm] Wurzelziehen (die Wurzelfunktion ist monoton!) liefert $|Im(z)| [mm] \le [/mm] |z|$. Da $Im(z) [mm] \in \IR$ [/mm] ist, ist $Im(z) [mm] \le [/mm] |Im(z)|$ und damit ist man fertig...
LG Felix
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:55 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Karsten0611 |
> Hallo Bodo!
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> Versuchen wir's mal so: Sei [mm]z\in\IC[/mm] mit z=a+ib, [mm]a,b\in\IR.[/mm]
> Dann ist
>
> Im(z) = b [mm]\le a^2+b^2[/mm] = (a+ib)(a-ib) = [mm]z\overline{z}[/mm] =|z|
>
> Es ist ja b [mm]\le b^2 \le a^2+b^2.[/mm]
>
> Hope that helps!
> Karsten
Naja, da hab ich mir wohl einen gehörigen Bock geschossen. Es kann ja |b| < 1 sein und dann gilt nicht mehr [mm]b \le b^2[/mm]. Da die korrekte Lösung bereids im Thread angegeben wurden, laß ich das mal so stehen ... und geh in die Schäm-Ecke 
LG
Karsten
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