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Forum "Zahlentheorie" - Beweis Kongruenz
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Beweis Kongruenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:57 Mo 31.07.2006
Autor: Mukkelmann

Sei p eine Primzahl.
Sei t [mm] \in \IZ. [/mm] Zeige, daß [mm] (t+1)^{p}- t^{p} \equiv_{p} [/mm] 1


Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe keine Ahnung, wie ich hier vorgehen soll... Ein kleiner Denkanstoß würde genügen...




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Beweis Kongruenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:55 Mo 31.07.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

> Sei p eine Primzahl.
>  Sei t [mm]\in \IZ.[/mm] Zeige, daß [mm](t+1)^{p}- t^{p} \equiv_{p}[/mm] 1
>  
>
> Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe keine Ahnung, wie
> ich hier vorgehen soll... Ein kleiner Denkanstoß würde
> genügen...

Ich würde es als erstes mal für n=2 oder n=3 ausprobieren. Für n=2 erhältst du:

[mm] (t+1)^2-t^2=2t+1 [/mm]

und meines Wissens kannst du jetzt die einzelnen Summanden mod 2 rechnen. Da Vielfache von 2 natürlich mod 2 =0 sind, bleibt nur noch die 1 übrig. Bei n=3 gehts genauso.

Um es allgemein zu zeigen würde ich es mit [mm] (x+y)^n=\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k [/mm] (wie heißt das noch? Das hat auch einen Namen... [kopfkratz2]) versuchen.

Da müsste dann wohl glaube ich alles wegfallen, bis auf die 1.

Ich weiß nur im Moment noch nicht, warum das nur bei Primzahlen funktioniert... Aber da wird es wohl noch irgendeinen Grund geben. Vielleicht fällt's mir auch noch ein, aber du kannst ja auch ein bisschen überlegen. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                
Bezug
Beweis Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:02 Mo 31.07.2006
Autor: felixf

Hallo Bastiane!

> > Sei p eine Primzahl.
>  >  Sei t [mm]\in \IZ.[/mm] Zeige, daß [mm](t+1)^{p}- t^{p} \equiv_{p}[/mm]
> 1
>  >  
> >
> > Kann mir jemand weiterhelfen? Ich habe keine Ahnung, wie
> > ich hier vorgehen soll... Ein kleiner Denkanstoß würde
> > genügen...
>  
> Ich würde es als erstes mal für n=2 oder n=3 ausprobieren.
> Für n=2 erhältst du:
>  
> [mm](t+1)^2-t^2=2t+1[/mm]
>  
> und meines Wissens kannst du jetzt die einzelnen Summanden
> mod 2 rechnen. Da Vielfache von 2 natürlich mod 2 =0 sind,
> bleibt nur noch die 1 übrig. Bei n=3 gehts genauso.
>  
> Um es allgemein zu zeigen würde ich es mit
> [mm](x+y)^n=\summe_{k=0}^n\vektor{n\\k}x^{n-k}y^k[/mm] (wie heißt
> das noch? Das hat auch einen Namen... [kopfkratz2])

Binomischer Lehrsatz? :)

> versuchen.
>  
> Da müsste dann wohl glaube ich alles wegfallen, bis auf die
> 1.

Genau: Fuer $p$ prim ist naemlich [mm] $\binom{p}{k}$ [/mm] fuer $0 < k < p$ durch $p$ teilbar, wie man sich leicht ueberlegen kann (Zaehler und Nenner anschauen: was wird dort durch $p$ geteilt?).

> Ich weiß nur im Moment noch nicht, warum das nur bei
> Primzahlen funktioniert... Aber da wird es wohl noch
> irgendeinen Grund geben. Vielleicht fällt's mir auch noch
> ein, aber du kannst ja auch ein bisschen überlegen. ;-)

Wenn $p$ keine Primzahl ist, dann kann es vorkommen dass [mm] $\binom{p}{k}$ [/mm] fuer $0 < k < p$ nicht durch $p$ teilbar ist.

Man kann das ganze uebrigens auch allgemeiner machen: Es gilt $(x + [mm] y)^p \equiv x^p [/mm] + [mm] y^p \pmod{p}$. [/mm]

LG Felix


Bezug
        
Bezug
Beweis Kongruenz: der Rest :-)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:05 Mo 31.07.2006
Autor: Bastiane

Hallo!

Habe gerade in meinen Unterlagen noch etwas gefunden (übrigens LA vom ersten Semester ;-)).

Hier steht (ich bleibe mal bei den Bezeichnungen, die ich hier stehen habe, du musst sie dann auf deine Aufgabe übertragen):

Für Binomialkoeffizienten gilt (p>k):
[mm] \vektor{p\\k}=\bruch{p*(p-1)*(p-2)*...*(p-k+1)}{1*2*3*...*k} [/mm]

Da p eine Primzahl ist, kann sie aus dem obigen Bruch nicht herausgekürzt werden und bleibt als Faktor erhalten. Damit folgt:

[mm] (x+y)^p=x^p+(p*c_1)x^{p-1}y+(p*c_2)x^{p-2}y^2+...+(p*c_{p-1})xy^{p-1}+y^p [/mm]

Wenn du das dann mod p rechnest, fallen alle diese Vielfachen von p weg, und es bleiben nur noch [mm] x^p [/mm] und [mm] y^p [/mm] übrig. Damit gilt dann auch (viele Schüler werden sich freuen ;-)):

[mm] (x+y)^p=_px^p+y^p. [/mm]

Und damit hast du deine Aufgabe quasi bewiesen. [sunny]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]



Bezug
                
Bezug
Beweis Kongruenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:09 Mo 31.07.2006
Autor: Mukkelmann

Alles klar, damit hat es "klick" gemacht. Vielen Dank euch beiden! :)
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