Beweis: Konvergenz eines uneigentlichen Integrals < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Di 04.05.2004 | | Autor: | Veandune |
Hallo Mathe-Gemeinschaft,
ich habe noch immer allergrößte Schwierigkeiten mit dem Fach "Analysis" und komme deshalb mit folgender Aufgabe nicht zurecht:
"Zeige: Das uneigentliche Integral
[mm] \integral_{0}^{\infty} {sin(x^{2}) dx}
[/mm]
konvergiert."
Ich habe echt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann mir jemand den Lösungsweg verraten?
Noch etwas: Von den Integrationsregeln und dem Ableiten von Termen habe ich leider immer noch kein echtes Verständnis.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Veandune
> "Zeige: Das uneigentliche Integral
> [mm] \integral_{0}^{\infty} {sin(x^{2}) dx}
[/mm]
> konvergiert."
>
> Ich habe echt keine Ahnung, wie ich da vorgehen soll. Kann
> mir jemand den Lösungsweg verraten?
Es gibt das folgende Kriterium: (ich führe es hier ohne Beweis an, wenn nötig kannst du es mal selber versuchen)
Das Integral [mm]\integral_{a}^{\infty} {f(x)} \, dx}[/mm] konvergiert, wenn die Funktion [mm]f(x)[/mm] im Unendlichen von höherer als erster Ordnung verschwindet, d.h. wenn es eine Zahl [mm]\nu > 1[/mm] gibt, derart dass für alle noch so grossen Werte für [mm]x[/mm] die Beziehung [mm]\mid{f(x)\mid \leq \bruch{M}{x^\nu}[/mm] besteht, wobei [mm]M[/mm] eine von [mm]x[/mm] unabhängige feste Schranke bedeutet.
Und jetzt: [mm]F = \integral_{0}^{\infty} {sin(x^{2})} \, dx}[/mm]
Die Substitution [mm]x^2 = u[/mm] liefert:
[mm]F = \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du}[/mm]
Nun wird nach Ausführung einer Produktintegration (partiellen Integration)
[mm]F = \integral_{A}^{B} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du} = \bruch{cos(A)}{\wurzel{A}} - \bruch{cos(B)}{\wurzel{B}} - \bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B} {\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}} \, du}[/mm]
Hier streben mit wachsendem [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] [mm]\bruch{cos(A)}{\wurzel{A}}[/mm] und [mm]\bruch{cos(B)}{\wurzel{B}}[/mm] gegen [mm]0[/mm], ebenso gilt: [mm]\mid{\bruch{cos(u)}{u^\bruch{3}{2}}}\mid \leq \bruch{1}{u^\bruch{3}{2}}[/mm] (Vergleiche obiges Kriterium)
Somit konvergiert unser Integral [mm]F[/mm] nach dem oben angegebenen Kriterium. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Veandune |
Hallo Paulus,
Dankeschön für Deine Antwort!
Ich habe mir den Beweis schon ein paarmal durchgelesen, aber ich verstehe ihn noch nicht.
> Die Substitution [mm]x^2 = u[/mm] liefert:
>
> [mm]F = \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du}[/mm]
Gut! Das habe ich verstanden: Du ersetzt einfach [mm]x^2[/mm] durch [mm] u [/mm] und setzt das ein. Nach dem Ersetzen ergibt sich dann dieses Integral.
> Nun wird nach Ausführung einer Produktintegration (partiellen Integration)
> [mm]F = \integral_{A}^{B} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du} = \bruch{cos(A)}{\wurzel{A}} - \bruch{cos(B)}{\wurzel{B}} - \bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B} {\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}} \, du}[/mm]
Jetzt komme ich nicht mehr mit. Woher kommen denn auf einmal [mm] A [/mm] und [mm] B [/mm] als Integralgrenzen? [mm] A [/mm] müßte doch weiterhin gegen [mm] 0 [/mm] und [mm] B [/mm] gegen unendlich laufen, oder?
Aber das würde doch eine Division durch [mm] 0 [/mm] bedeuten und wäre somit hinderlich - Kann ich denn einfach so "Ersatzbuchstaben als Füllmaterial" einfügen?
> Hier streben mit wachsendem [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> [mm]\bruch{cos(A)}{\wurzel{A}}[/mm] und [mm]\bruch{cos(B)}{\wurzel{B}}[/mm]
> gegen [mm]0[/mm], ebenso gilt:
Das heißt doch, dass
[mm]F=\integral_{A}^{B}{\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} du = -\bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B}{\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}}}du[/mm]
ist - Aber wie kommst Du jetzt auf diesen Term (" [mm] f(x)=\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}}[/mm] " habe ich verstanden, aber es hapert bei mir am "Sprung zum Rest"):
> [mm]\mid{\bruch{cos(u)}{u^\bruch{3}{2}}}\mid \leq \bruch{1}{u^\bruch{3}{2}}[/mm]
> (Vergleiche obiges Kriterium)
Ja, wenn ich das dann mal gerafft habe, dann sieht man hier sofort, dass die Bedingung für Konvergenz erfüllt ist.
Der Beweis ist sehr schön, allerdings geht er weit über meinen Horizont hinaus... :-|
Danke nochmal und viele Grüße in die Schweiz!
Vean
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Mi 05.05.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Vean
> Dankeschön für Deine Antwort!
>
Bitteschön
> Ich habe mir den Beweis schon ein paarmal durchgelesen,
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") vorbildlich!
> aber ich verstehe ihn noch nicht.
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") weniger vorbildlich! 
> > Die Substitution [mm]x^2 = u[/mm] liefert:
> >
> > [mm]F = \bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du}[/mm]
>
>
> Gut! Das habe ich verstanden: Du ersetzt einfach [mm]x^2[/mm] durch
> [mm]u[/mm] und setzt das ein. Nach dem Ersetzen ergibt sich dann
> dieses Integral.
>
Genau!
> > Nun wird nach Ausführung einer Produktintegration
> (partiellen Integration)
> > [mm]F = \integral_{A}^{B} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du} = \bruch{cos(A)}{\wurzel{A}} - \bruch{cos(B)}{\wurzel{B}} - \bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B} {\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}} \, du}[/mm]
>
>
> Jetzt komme ich nicht mehr mit. Woher kommen denn auf
> einmal [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] als Integralgrenzen?
... nun, jetzt muss einfach überprüft werden, ob das Kriterium, welches ich in meiner ersten Antwort gegeben habe, erfüllt ist. dort hiess es ja:
... wenn die Funktion [mm]f(x)[/mm] im Unendlichen von höherer als erster Ordnung verschwindet, d.h. wenn es eine Zahl [mm]\nu > 1[/mm] gibt, derart dass für alle noch so grossen Werte für [mm]x[/mm] die Beziehung [mm]\mid{f(x)\mid \leq \bruch{M}{x^\nu}[/mm] besteht, wobei [mm]M[/mm] eine von [mm]x[/mm] unabhängige feste Schranke bedeutet.
Dieses für alle noch so grossen Werte ist das Wesentliche: ich suche eben grosse Werte (und bezeichne sie mit [mm]A[/mm] resp. [mm]B[/mm], so dass [mm]\mid{f(x)\mid \leq \bruch{M}{x^\nu}[/mm]
Dabei ist zu beachten, dass ich nach der Substitution den Ausdruck rechterhand untersuchen kann.
d.h. das [mm]f(x)[/mm] im Kriterium ist jetzt der Ausdruck:
[mm]\bruch{cos(A)}{\wurzel{A}} - \bruch{cos(B)}{\wurzel{B}} - \bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B} {\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}} \, du} [/mm]
(Der ist ja identisch mit [mm]\integral_{A}^{B} {\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} \, du}[/mm])!
> > Hier streben mit wachsendem [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> > [mm]\bruch{cos(A)}{\wurzel{A}}[/mm] und [mm]\bruch{cos(B)}{\wurzel{B}}[/mm]
>
> > gegen [mm]0[/mm], ebenso gilt:
>
> Das heißt doch, dass
>
> [mm]F=\integral_{A}^{B}{\bruch{sin(u)}{\wurzel{u}} du = -\bruch{1}{2}*\integral_{A}^{B}{\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}}}du[/mm]
>
> ist - Aber wie kommst Du jetzt auf diesen Term ("
> [mm]f(x)=\bruch{cos(u)}{u^{\bruch{3}{2}}}[/mm] " habe ich
> verstanden, aber es hapert bei mir am "Sprung zum Rest"):
>
> > [mm]\mid{\bruch{cos(u)}{u^\bruch{3}{2}}}\mid \leq \bruch{1}{u^\bruch{3}{2}}[/mm]
>
Das kommt einfach daher, weil [mm]-1 \leq cos(u) \leq 1[/mm] gilt.
Das heisst also in Worten: der Betrag des Kosinus ist kleiner_gleich eins.
> > (Vergleiche obiges Kriterium)
> Ja, wenn ich das dann mal gerafft habe, dann sieht man
> hier sofort, dass die Bedingung für Konvergenz erfüllt ist.
>
> Der Beweis ist sehr schön, allerdings geht er weit über
> meinen Horizont hinaus... :-|
>
Das glaube ich nicht! Un wenn, dann kann doch jeder Horizont erweitert werden. Nötig dazu ist nur, dass man immer durchbeisst!
Vielleicht vergleichst du das Ganze auch noch mit dem Konvergenzktiterium für Reihen:
[mm]\summe_{x=11}^{\infty} \bruch{1}{x^{\alpha}}[/mm] konvergiert für [mm]\alpha > 1[/mm]
Wenn auch meine Erklärungen etwas ungelenk sind: falls du nicht alles nachvollziehen kannst, dann melde dich bitte wieder! Wie gesagt: der Horizont im mathematischen Bereich erweitert sich nur, wenn man durchbeisst, d.h. wenn man alle kleinen Schritte auch nachvollzieht und begreift!
|
|
|
|
